DB L. — GÉOMfiTRIB DB LA RifiLB

83 ESSAI SDR LA GÉOUÉTRIK

Abaissons du poiut a> des perpendiculaires coP, wQ sur les asymptotes; et observons que nous avons

OA = 2x', OB = ay' ; nous obtenons alors les relations

AP = m ^^^-^ y * BQ =m ^* "" ^

D'autre part, élevons au point M la droite RS perpendiculaire sur OM, nous trouvons

AR = 2AP, et BS = 2BO.

De cette remarque, nous pouvons déduire une détermination très simple au moyen de la règle et de l'équerre du centre de courbure, en un point M pris sur une hyperbole équilatère dent les asymptotes A, A' sont données de position.

Var le point donné M on trace une droite AB partagée par ce point et par les asymptotes en deux parties égales; soit Mcd la perpendiculaire à AB, On élève ensuite une droite RS perpendiculaire à OM ; les parallèles aux asymptotes menées par les milieux des segments AR et BS se coupent sur Mw, au centre de courbure cherché.

On observera que la droite Mo) pourrait, pour cette détermination du centre de courbure, n'être pas tracée; mais la présence de cette droite dans Tépure donne à la construction indiquée une vérification précieuse.

88. Détermination du centre de courbure, les éléments donnés étant quelconques. — Lorsque la conique proposée F est déterminée par des éléments différents de ceux que nous avons admis dans les paragraphes précédents, le procédé le plus général que nous puissions indiquer, pour la détermination du centre de courbure, consiste à déduire des données de la conique V les éléments mêmes que nous avons supposés connus.

Un exemple suffira pour faire comprendre ce que nous entendons par là.

Je prendrai le cas très simple d'une parabole P, déterminée par deux tangentes AT, AT' et par les points de contact M, M'; cet exemple me donnera Toccasion de faire connaître, une

constm«*tioa très eLéiginr.e dft Id. p.inbi:I?? p*r poùiîs *€ pur

Sort AB Li riLédLiii»* -la iri^r;.-iLe XAIT : tri*?ija:5 Le c^r^ logra rriTTi *^ MBCD ipdjr I«s potuti^ C «H D ŒLenoiis i-fix parallèles qIIeL^>CL♦:îILes OC' DI/; poi:^, par CT et îj' des droites CC DÎT, par^èles à âB. Lâk droite C TX est tafisente à la pardl)4jie P^ et $i nous prenoo» C^ ^ KD% le p<3in*: de coata^rt est préeiàéniea': le point

Cette prop«j©itioa qu.^ nous nous brimons à énoncer se dénLontre très siinplemeat par le calcul ; elle s'ésabliî:

aussi imméiii'ittrîi.ea.t par des eoasi ié rations gé«jmétriques 'ii versas et nv'ictUi.nient en montrant qa.e la traiisTersale ré»ripr»>qiiede CD' par rdpport au triangle MA3I se meut en restant parallèle a une tiire^T-tion fLxe.

Si l'on veut mainî:«^nant déterminer 1*^ «rentre de courbure de P, au point I. on peut opérer de la manière suivante. De Torthoeentre dn triangle AC^D^, on abaisse une perpendicnlaire A sur AD. La normale en I rencontre A en uu point J; on prend Iû* = 2JI; « est le centre de o^urbure.

89. Remarque relative au problème de l'intersection d'une droite et d'nne coniiiae. — On a sans doute observé que nous n'avions, à aucun moment, abordé certains problèmes qu'on a quelquefois considérés comme appartenant à la géométrie de la règle, mais qui ressortent

ruj. u.

} Matkau, 18%; t. \\ p &

B8SAI SUR LA GtOMÉTHIB

vraiment d'une géométrie supérieure ; nous entendons ici, par cette expression, la géométrie du compas. Tels sont les problèmes dans lesquels on se propose de déterminer les points communs à une droite tracée A et à une conique bien déterminée, par certaines conditions données; ou encore ceux oii Ton se propose le tracé, point par point, de coniques ayant avec une conique donnée un contact d'un certain ordre et vérifiant en outre quelques autres conditions (*), etc.

Tous ces problèmes exigent qu'une conique donnée soit tracée dans Tépure que Ton fait, ou que, à un certain moment on fasse usage Ju compas ; ce sont donc des problèmes du second degré, insolubles avec la règle seule. Mais le problème retombe au premier degré et ressort alors de la géométrie de la K'gle, dans le sens rigoureux que nous donnons à ce terme dans cet ouvrage, lorsque l'un des points communs à la conique et à la droite considérées est connu d'avance.

Nous donnerons, en terminant les problèmes relatifs aux coniques, un exemple remarquable de ce dernier genre de problèmes.