Problème

Fig. 62.

Connaissant le pied d'une normale A à

la parabole P, trouver le second point commua à delà V.

Soit A' {x\ y') le point symétrique de A par rapport â Ox; ayant fait la construction qu'indique ia figure (construction dans laquelle AA'B, ABC, AGI sont des angles droits) on obtient sur la normale

(*) Géomélrie de la Règle; théorèmes et problèmes sur les contacts des s 'étions coniques, par M. Piucker, docteur de l'Université de Bonn (Annales de Gergonne, t. XVII; 182o et 1S27; p, 37j.

A un point I; il est facile de reconnaître que I est le second point d'intersection de A avec P,

En désignant par as'', y" les coordonnées de G, on a en effet GR = — y^ = AH + A'G == y' + A'B tg a = j/' + 2p tg ot, ou

CH = - y' = 'P^^' + P^ (1)

D'autre part on a

a;' = OH+GI = 05' -f («/' + CH) tg « = a/

ou encore

Les formules (1) et (2) prouvent bien que

y"^ = 2pcc'.

Ainsi, I est le point cherché ; il s'obtient, en faisant seulement usage de la règle et de Téquerre. par la construction qu'indique la figure. Dans cette construction, on ne suppose nullement que la parabole soit tracée; cette courbe est déterminée par son axe, la tangente au sommet et un point A.

Mais, sans vouloir multiplier autrement ces considérations diverses, nous quittons avec cet exercice Tétude des sections coniques pour nous occuper des applications de la géométrie de la règle au tracé, par points et par tangentes, de certain' s courbes d'un ordre supérieur. Nous abordons ici un sujet plus intéressant et qui ne semble pas avoir encore été exploité, du moins avec la suite et la méthode que nous allons y mettre. Les chapitres que nous consacrons à cette étude compléteront la première partie de cet ouvrage ; nous développerons ensuite, comme nous Tavons annoncé, dans la seconde partie, les applications pratiques de la géométrie de la règle et de Téquerre aux questions diverses qui intéressent les opérations effectuées sur le terrain et quelques problèmes que soulève Tart de la guerre.

I8SAI SCn LÀ GÉOMÉTRIB