CM BA
ou
2MP.a = (OM — MP)(tf — a).
Cette égalité peut s'écrire
MP(a +y) = OM(y - a), on a donc
MP.OM.(a + y) = OM*(y — a). 0^}
Des égalités (2) et (3), on déduit
(4«* — y*)(« + y) = (4«' + 2/')(V ~ «) ou, tout calcul fait,
D'ailleurs les relations (4) donnent précisément y* =4«*; t/ représente donc bien le troisième terme de la progression d'Hippocrate.
Pour mener, comme le proposait Pappus, une transversale OQ telle que MP := MI, Dioclès, observant que 01 est alors égal à PQ, imagina de construire le lieu du point I, quand on suppose que, la transversale OPQ tournant autour du point 0, on prenne constamment 01 = PQ. C'est ainsi que la cissoïde s'est présentée pour donner la solution de ce problème de la duplication du cube.
Mais la cissoïde n'est pas, si l'on veut nous passer le mot, la seule duplicatrice ; Ton conçoit bien, en effet, que toutes les cubiques peuvent, plus ou moins simplement, jouer le même rôle et servir à la solution de ce problème. Il s'en faut même de beaucoup que la cissoïde soit la courbe qui se prête le mieux à cette solution, comme nous espérons le montrer.
96. Exemple d'une cubiqpie duplicatrice. — Considérons deux droites rectangulaires A, A', un point fixe 0, et soit effectuée la constructioiv (1, 4, 3, fig, 7i) dans laquelle les angles OAB, CEI sont droits. Cherchons le lieu décrit par le point I.
Posons
OG==d, 01 =p, .AOC = o),
Dl LA BiGLB ET Dl L'fiQCKIlIll
nous ayons alore
et, par suite,
d(i+tg'.o)
dtg'.
, pluB simplement,
En coordonnées cartésiennes, cette équation s'écrit
La courbe r qui correspond à cette équation affecte la fonue ^cénérale qu'indique la figure. Elle est constituée, abstraction taite du point double isolé 0, par une seule /
branche parabolique /
doublement inflécliie el tournant sa concavité vers la droite A. On peut aussi yérifierquej^ l'inflexion delà branche a lieu pour m = 3o", ce qui permet de déterminer ce pointtrès facilement et cette remar- '''"■ ^'" que trouve son utilité dans le tracé de la courbe.
Nous déterminerons tout à l'heure la tangente en un de ses points ; montrons d'abord comment elle peut servir de fiuplicatrice.
Uu point comnie centre, avec un rayon égal à d\Ji, décrivons un arc de cercle qui coupe F au point I'. Nous aurons
X* = d{d)/2f ou
Ainsi OB' est le côté du cube qui, en volume, serait le double du cube dont le côté est égal à OG.
Le tracé de la tangente à F, en un point pris sur cette courbe, se fait très simplement par la remarque suivante.
Soit I un point de la courbe; désignons par p et a les
coordonnées de ce point. L'équation connue delà tans'ente à une courbe, dans le système des coordonnées polaires, donne, dans cet exemple et après calcul fait,
- = cos* a j cos u)(cos' a-f- 3 s in* a)
— sin (I) sin* a | •
Parmi les solutions évidentes de cette égalité, on peut distinguer la suivante :
(0 = Qo®, — = — 2C0s' X sin a ;
po désignant la distance à l'origine du point où la tangente cherchée rencontre 01.
On a d'ailleurs
et 0P = -^^
cos*
sm a
et, par conséquent,
OQ = Po =
OP
PO
On obtient donc la tangente IQ en prenant OQ =
ji
Sur la figure, nous avons appliqué cette construction générale à la tangente inflexionnelle et, à cet effet, nous avons pris l'angle a égal à 3o®.
Nous aurons d'ailleurs occasion de signaler plus loin d'autres cubiques qui se prêtent d'une façon commode à la solution du problème qui nous occupe et dont le tracé s'effectue avec la règle et l'équerre ; mais voici, pour quitter ce sujet incident, deux solutions qui nous paraissent intéressantes et qui n'exigent que le tracé des courbes simples ; le cercle, l'hyperbole équilatère on la parabole.
97. Solution du problème de la duplication du cube par un arc de cercle et un arc d'hyperbole équilatère, — Prenons un angle droit yox et un point M; de M, abaissons les perpendiculaires MP et MQ, puis joignons PQ. Cette droite rencontre la perpendiculaire élevée à OM, au point M, en un certain point M'.
Soient x, y les coordonnées de M; x\ y' celles de M'; nous avons d'abord
X ' y d'autre part, l'équation de MM' prouve que
y{y' - 2/) + ^(«' —^)= 0. (2) Les relations ( ' ) et (2) donnent par combinaison pig, 73,
Le problème général, celui qui se propose de construire un cube qui soit à un cube donné dans un rapport donné, trouve dans cette relation une des solutions les plus simples, si nous ne nous trompons, qu'il comporte.
Toute la question revient évidemment à celle-ci : étant donné le point M', trouver le point correspondant M. Or le point M appartient : 1® au cercle y décrit sur OM' comme diamètre (éq, 2^, 2° à une hyperbole équilatère fi ayant pour asymptotes les droites M'R, M'S menées par M', parallèlement aux axes, et passant par l'origine (éq. i).
98. Duplication du cube au moyen de deux arcs ^Q paraboles. — Nous donnerons encore, pour terminer cette digression, une solution du problème de la duplication du cube au moyen de deux arcs de parabole.
Prenons un rectangle OAMB, projetons le sommet M sur A.B eu M'. Nous avons
MA
M'B" et par suite
MA* MB*
K8SM SUB LA GÉOlliTRIB
jrÂ*=AM.AR, M'B* = BS.BM,
WQ /MAy MT " \MB/
Gomme nous Tavons observé au paragraphe précédent, le problème revient, d'après cela, à déterminer le point M, connaissant M'. Or, lorsqu'on fait tourner autour de M'' les
deux droites rectangulaires AB et
M'M, les relationsj
p M'S« = MS . BS, M'R* = MR . AR, prouvent que Ton peut considérer M comme appartenant aux deux paraboles P,P' lesquelles se construisent point par point au moyen de la règle et de Téquerre, comme Tindique la figure, la construction relative au point M pouvant se reproduire pour tous les autres ^^- '^^' points de P et de P'.
On voit que cette construction réalise, avec la généralisation convenable, Tidée arithmétique qui avait conduit Hippocrate au problème des deux moyennes proportionnelles.
