LA STROPHOÏDE, LA TRISECTRIGB DE MAC-LAURIN ET LES CUBIQUES

CIRCULAIRES UNIGURSALES

09. — J'arrive maintenant au tracé de la strophoïde et je dois rappeler d'abord la définition de celte courbe. On sait qu'étant données deux droites, A, A' se coupant au point B, et sur celle-ci un point fixe A ; si Ton mène par A une transversale rencontrant A en G sur laquelle on prenne, à chaque instant,

CI = rc = GB, le lieu du point I, ou du point T, est une courbe du troisième

DE LA BÈGLK ET DE l'É^UBRRE

degré, présentant au point C un nœud droit; cette courbe est la strophoïde.

Lorsque les droites A, 1' sont rectangulaires, la cubique est symétrique par rapport à A' ; elle prend le nom de strophoïde droite ; dans Thypothëse contraire, on a une strophoïde oblique.

Hais cette génération, point par point, exige l'emploi du compas et nous voulons indiquer comment on peut construire la strophoïde avec la règle et Téquerre. Seulement, pour éviter certaines longueuï*s et des répétitions sans intérêt, nous aborderons immédiatement le tracé des cubiques circulaires unicursales, en indiquant les conditions spéciales que doit réaliser la figure pour que la construction signalée conduise au cas de la strophoïde ou à celui de la trisectrice de Mac-Laurin, courbes remarquables que nous avons plus particulièrement en vue dans ce chapitre.

100. — Le prob'ème en question comporte naturellement une infinité de solutions ; nous nous bornerons à exposer celles qui, parmi tous les tracés que nous avons imaginés, nous ont paru résoudre le problème qui nous occupe, d'une façon simple. Imaginons une droite A et trois points en ligne droite 0, 0', O' ; 0' étant situé sur A; puis effectuons la construction indiquée (i, 2, 3). Nous obtenons ainsi un point I ; cherchons le lieu décrit par ce point.

Ayant posé :

lO'o? = 0),

OC = d,

nous avons

0'AI = (i

Fig. 75.

sin a>

sin (6 — (I))

D'autre part

p = O'H — O'K = O'M cos (Ô — co)

G. DB L. — GioXÉTRlE DE LA RèOLE.

(ï cos 03,

par suite

BSSAI SUR LA GÉOMÉTIIIE

sin tù C08 (6 — cd)

— d' cos w.

sin (6 — w)

En convertissant cetle équation en coordonnées cartésiennes, ou a pour le lieu du point I (x sin ô — y cos ô)(a?' + !/') = s*^ ^ (^y* — ^^*) (A.)

+ (d -|" <^')JCtf cos 6.

A cette équation correspond une cubique passant par les ombilics du plan et présentant en 0' un point double ; en d'autres termes, ce lieu est une cubique circulaire unicursale.

Si le point 0' se trouve placé au milieu de 00% c'es(r-àdire si Ton suppose d = d\ les tangentes au point double, d'après l'équation (â), sont rectangulaires et le lieu décrit par I est une strophoïde.

11 est d*ailleurs bien facile de le vérifier. En effet, joignons O'I et menons O'A parallèle à A ; puis observons que la perpendiculaire abaissée de 0' sur MI, tombant au milieu

de ce segment, '^i letriangleMOr

est isocèle.

D'après cette remarque, nous pouvons dire que les angles

I et 2 sont égaux et il en résulte que le triangle O'AI est isocèle. Le lieu du point I est donc une

Fig, 76.

strophoïde ; la strophoïde est droite lorsque A est perpendiculaire sur OO'O".

101. — On peut obtenir l'équation des cubiques circulaires unicursales sous une forme plus simple de la manière suivante.

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERUE 99

Prenons un rectangle OABC, puis etO' étant deux points fixes, effectuons le tracé

I, 2, 3, lequel, au fond ^

est identique au précédent.

En projetant sur la di- y rection 01 les contours brisés OGO", OIMO% on a immédiatement a

? H : = a COS 0) h

sin (i) -f- h sin o), ou, en coordounées car-

, , . Fiof. 77.

tesiennos,

y{x^ + J/') = (6 — h)x'' + 6y« + axy.

Si nous supposons que nous ayons

b = h — b, ou h = 26, les tangentes au nœud sont rectangulaires et le lieu décrit par le point I est une strophoïde.

Cherchons à vérifier directement ce fait. Supposons donc que le point 0" (fig. 78) soit tellement placé que 0"B = BG ; alors Ta droite 00" coupe AB au point K en deux parties égales. D'ailleurs les triangles OAH, O^'BM étant égaux, nous avons AH = MB et, par suite, HK = KM.

La droite IK joint donc le sommet d'un triangle rectangle

Fig. 78.

au milieu de Thypothénuse ; par conséquent, le triangle IKR est isocèle. Mais alors ILO, lui aussi, est isocèle et Ton peut considérer le point I comme décrivant une strophoïde dans les conditions suivantes : les points K et sont fixes, et,

sur la transversale mobile IKL, rencontrant en L la droite fixe OC, on prend, à chaque instant, LI = LO.

Nous allons indiquer maintenant une construction qui est une application très particulière de la transformation conchoïdale des courbes que nous avons développée ailleurs (*) ; cette construction nous conduira, et c'est le principal intérêt qu'elle présente, à la détermination, tangente par tangente, des cubiques circulaires unicursales. Il convient d'observer comme on va le vérifier d'ailleurs, qu'elle n'exige, comme tous

les tracés que nous exposons dans cet ouvrage, que l'emploi de la règle et de l'équerre; mais elle est siugulièrement simplifiée si l'on s'accorde l'usage du compas à pointes sèches, instrument qui permet de déplacer, dans une épure, la position d'une longueur donnée, sans pourtant faire usage des arcs de cercles.

Fig. 79-