Tracénorinal des cubiques circulaires unicursales. — Les
cubiques que nous étudions ici peuvent être considérés comme des conchoïdales, courbes transformées do la droite et du cercle d'après la définition suivante.
Soient une droite A, un cercle F et un point sur F ; par menons une transversale OAB et prenons OI='AB ; il est facile de vérifier . que le lieu décrit par le point I est une cubique circulaire unicursale.
On obtient la stro.
phoïde en prenant pour A une droite passant par le centre de F.
Fig. 80.
(*) Nouvelle Correspondanre Mathématique, t. V, 18T9, p. 145.
DE LA nÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 101
Mais voici comment, le tracé du cercle F n'étant pa» accordé, on peut réaliser la construction précédente.
Imaginons une droite A et deux points quelconques 0, 0' ; par O' menons une droite mobile O'M et du point abaissons une perpendiculaire OM ; enfin, prenons 01 = AB. Le lieu du point I est une cubique circulaire unicursale.
Nous avons en effet ^ OM = d cos od,
(d + d') sin Ô
et
sin (6 — w) Finalement, Téquation polaire du lieu décrit par I est
(d + d) sin 6
— d cos
sin (6 — a>) ou, en coordonnées cartésiennes,
(x* + y*) (x sin 6 — y cos 6) =x^ d' sin 6 + y' (d + d') sin 6
-{- d xy cos 6.
Cette égalité représente une strophoïde quandona
d + 2 d' = o, c'est-à-dire lorsque A passe par le milieu de 00'.
103. Tracé de la tangente. — Comme nous Tavons annoncé ^*9* Sf,
tout à rheure, cette construction, point par point, des cubiques circulaires unicursales permet de les déterminer, tangente par tangente, comme nous allons Tindiquer.
Considérons deux positions infiniment voisines de la figure constituant la construction que nous venons d'indiquer.
Dans le triangle oaa' (fig. 81 )j nous pouvons
considérer n' et mm' comme deux transversales réciproques ; de telle sorte que les points t et ^sont isotomiques sur aa\
iOi KSSA1 8CB LA GÉOMÉTRIE
En passant à la limite, on est conduit, par ces considérations, au tracé indiqué (fig, 82).
Dans cette construction : oo'ml est un rectangle, mO est perpendiculaire sur ml et on a pris aO" = Oa. La droite O't est la tangente cherchée.
104. — Outre la cissoïde et la strophoïde, on peut citer, parmi les courbes célèbres qui se rattachent au groupe des cubiques circulaires uuicursales, la trisectrice de Mac-Laurin (*).
En général, on donne le nom de trisectrice à une courbe qui permet de résoudre le problème de la trisection d'un angle donné; il y a, naturellement, une infinité de trisectrices ; et ces courbes, lorsqu'elles sont combinées, pour la solution en question, avec une droite, sont au moins du troisième degré; celle dont nous allons dire quelques mots est une des plus simples que Ton puisse concevoir, elle correspond à la définition suivante : la trisectrice de Mac-Laurin est une cubtqtie circulaire droite possédant un nœud et les tangentes en ce point sont inclinées respectivement, sur l'axe de la courbe, d*angles égaux à 60^ et à 420^.
Nous voulons simplement indiquer ici le tracé par points
(*) D*aprèsun renseignement que je dois à robligeance de M. Schoute, professeur à Tuniversité de Groningue, cette courbe se trouve dans le Traité des fluxions, de Mao-Laurin (1749, pi. X, fig. 134, p. 198). Elle a fait récemment Tobjet de diverses recherches parmi lesquelles nous citerons:
1* Un mémoire de M. Schoute {Archives Néerlandaises, t. XX, 1885), ayant pour titre : Sur la constroction des courbes unicubsales par points ET PAR tangentes. Drus co mémoire se trouve exposé, entre autres choses, un tracé de la trisectrice par points et tangentes, d'après une construction due à M. Godefroy.
2* Une note de M. d*Almeida Lima dans le Jomal de sciencias mathematicas e ÂsironomicaSj publié par le D' Gomes Teixeira, Goimbra, 1885, p. 13), et intitulée Sobre una curva do terceiro grcu),
3<* Deux articles de M. Habich, directeur de l'école spéciale des constructions civiles et des mines de Lima, publiés dans la Gaceta Cientifica, année 1885, n*"* 9 et 12, p. 248, etc., avant pour titre : Division di; un
ANGULO en parties IGUALES.
4* Une note publiée par nous (Journal de Mathématiques spéciales 1885, p. 176).
5<* Voyez aussi notre Supplément au Cours de MathémeUiques spéciales, p. 1 13, et y Annuaire de l'Association française, congrès de Grenoble, 1885, p. 131.
D'après une note placée au début du premier article de M. Habich, que je viens de citer, la trisectrice a fait l'objet d'un travail du professeur M. Beraun, de Huànuco; mais cet opuscule ne nous est pas connu.
DE LA RÈGLK ET DE l'ÉQUERRE
et par tangentes de la trisectrice en ne faisant usage que de la règle et de Téqaerre; il nous suffira de particulariser le tracé général que nous avons fait connaître plus haut, de telle façon que les tangentes au nœud soient inclinées sur l'axe d'angles qui conviennent à la trisectrice en question.
A cet effet, prenons trois points en ligne droite 0,0', 0" et supposons que 00' =:30'0', puis faisons la construction (i , 2, 3, fig. S3.)
Ayant posé O'O" = a, on obtient pour
représenter le lieu décrit par le point I, l'équation :
Fig. 8S.
ou
COS a>
, en coordonnées cartésiennes,
Cette équation représente bien la trisectrice deMac-Laurin; sa discussion n'offre aucune difficulté et elle établit que la courbe correspondante a la forme qu'indique la figure.
Tracé de la tangente. -^ Il nous reste à trouver le tracé de la tangente en un point pris sur la courbe.
Soit I un point de la trisectrice, point qui correspond au point M de la droite A, comme nous venons de l'expliquer.
Projetons sur O'M en P, ' *
et menons IJ parallèle à 00"; nous pouvons observer que le
404 C8SAI SOR LA GtOltiTBIE
lieu du point J est une trisectrice égale et parallèle à celle qui est décrite par le point I et que, d'autre part» le lieu de P eçt le cercle décrit sur OC comme diamètre. Bnfin^ les deux points P, J sont isotomiques sur O^M.
D'après ces diverses remarques, si l'on considère deux positions infiniment voisines de la figure mobile, le principe des transversales réciproques prouve que les tangentes aux lieux décrits par J et P coupent A en deux points H. E symétriques par rapport à M.
Concluons donc que, après avoir pris en G le milieu de 00', on doit élever au point P une perpendiculaire PE à GP et prendre MK = HM; la droite KJ ainsi obtenue est parallèle à la tangente cherchée.
