CHAPITRE XI
LES CUBIQUES UNICURSALES NON CIRGDLAinES
Le Folium de Deecartes. — La Serpentine. — Le Trident de Newton. ^ La Cubique d'Agnesi. — Les Cubiques paraboliques et hyperboliques. — Les Cubiques simples. — Cubiques diverses.
Toutes les cubiques qui possèdent un point double pouvant s'engendrer, point par point, de telle sorte qu'une transversale issue du point double ne rencontre la courbe qu'en un seul poini^ leur construction ressort évidemment de la géométrie que nous développons ici; et, après nous être occupé, comme on Ta vu dans le chapitre précédent, des cubiques circulaires unicursales, n* us allons maintenant considérer quelques autres cubiques unicursales, mais non circulaires.
105. Le Folium de Descartes {% —Soient A, A' deux droites parallèles, OB une perpendiculaire commune ; menons une transversale mobile OA et, du point B, abaissons BG perpendiculaire sur OA. Prenons ensuite GA' =?= AG et soit I le conjugué harmonique de A par rapport au segment OA',
(*) Sur celte courbe on pourra consulter une intéressante notice bibliographique de Terquem, publiée dans les Nouvelles Annales, f84l, •p. 301.
DE LA «ÊGLE LT DE L*ÉQUÉftRE iOo
Nous allons reconnaître que le lieu décrit par I est ut foliuin de Descartes.
Nous avons en effet
0A'~0I"'"ÔÏ' et
OA' -f OA = 2OC.
Posons 01 = p, lOB = <o,
OBizirf; les égalités précédentes donnent alors OA' = 2d cos (0 d
cos U> Par suite, tout cal-
Fig, 85,
rul fait, réquation du lieu cherché est
d 3C0S (O — 2C0S' CD p 2C0S* co — I
OU, en coordonnées cartésiennes,
Il est facile de reconnaître, en prenant pour nouveaux axes les bissectrices OX, OY des axes Oa?, Oy, que la courbe qui correspond à cette équation est le folium de Descartes.
106. La tangente au Folium. — Si nous considérons deux positions infiniment voisines de la transversale OA, les quatre points 0, I, A', A formant une division harmo« nique et le point étant commun aux deux transversales considérées, nous voyons ainsi que les tangentes aux lieux décrits par les points I, A' et A concourent au même points
Le point A' décrit une strophoïde et la construction de la tangente au folium, au moyen de la règle et de Téquerre, se trouve ainsi ramenée à un tracé précédemment indiqué.
107. La transformation de Mac-Laurin. — Avant de considérer, comme nous en avons l'intention, le trident de Newton, la serpentine et la courbe d'Agnesi, nous devons dire quelques mots de la transformation de Mac-Lau-
lOtf
ISSiU SOB I.A CtOMÊTMB
rin (^), parce que nous déduirons de celle-ci la constructioa de ces courbes par points et par tangentes.
Imaginons une courbe quelconque U et deux points fixes A et B ; soit M un point de U. Joignons MA, puis menons BI parallèlement à AM; enfin traçons MI parallèle à une droite fixe Ajs. Nous obtenons ainsi un point!, Fig. 86. et le lieu décrit par
ce point est une courbe V, transformée de la courbe U.
Nous allons montrer que Ton peut très simplement obtenir la tangente à la courbe V au point I.
Considérons deux positions voisines du tracé précédent et prolongeons les droitesBI, Br jusqu'à ce qu'elles rencontrent Az aux points C et C', puis prenons BD* = rC = M'A.
