BD = IC = MA
Les deux triangles MAM', BDD' sont égaux ; d'autre part DD' et ir sont deux transversales réciproques du triangle BCC et l'on est ainsi conduit à la remarque suivante :
Soit MT la tangente à la courbe U au point M ; ayant pris
(*) Cette transformation a été récemment développée par M. Schoute clans un mémoire publié en 1885 au tome XX des Archives Néerlandaises et intitulé : Sur la construction des courbes vnicursales par points et par tangentes. Nous devons ajouter que la transformation que nous utilisons ici n'est qu'un cas très particulier de celle qui a été étudiée par M. Schoute, dans le travail cité.
DB La règle kt dk l'éqobrbc 107
BD = MA on mène D6 parallèle à MT jusqu'à sa rencontre en 6 avez A« ; soit 6' le symétrique de par rapport à C, 01 est la tangente demandée.
Voici une autre transformation des courbes, iransformatiou dont nous avons déjà parlé {*) et qui constitue encore un cas particulier intéressant de celle de Mac-Laurin.
Prenons deux axes rectangulaires Ox,Oy et, sur Ox, un point fixe A; soit U la
courbe que nous vou- /,
Ions transformer. A y V / '
cet effet, prenons sur U un point M ; menons MI parallèle à Oy et, par le point de rencontre B de AM avec Oy, une parallèle BI à Oac ; le point I correspond ainsi au point
M et en appelant : x, pig^ g^.
y les coordonnées de M ; X, Y celles de I, les formules de transformation sont
Nous allons démontrer que la tangente en M à la courbe U, la droite BC et la tangente en I au lieu décrit par ce point, sont trois droites concourantes (**).
Appelons Ç, tj les coordonnées courantes; les équations de MT et de IT sont
dx
(*) Journal de Mathématiques spéciales^ t8S5, p. 199.
(**) Cette romarquable construction nous a été indiquée par M. Gode- ^Yf architecte à Amsterdam, et elle peut être considéi^ comme la con- ^ence immédiate de celle que M. d*Ocagne a donnée {loc, cit, p. 265) ; ^Ue résulte aussi, si Ton veut, de considérations qui 8*appliquent & toutes ^ courbes déduites, d^ne courbe donnée, par la transformation de Mac-Lauriu. Mais, pour ne pas entrer dans ces considérations génères, nous donnons ici une démonstration directe du cas particulier dont nous avons besoin.
ESSAI SUm LA GÉOSitTRIE
Les formules (1) donnent
ix = dK. fl< rfy — dY)=zxdY + Ydx Des formules (2) et (3^ on déduit par combinaison
T.J + ÎY = 2xY + a(Y — y) ou, en tenant conipt^^ de la seconde formule (i),
Cette dernière égalité prouve que les deux tangentes considt^rées se coupent sur la droite BC.
Les principes que nous venons d établir vont s'appliquer maintenant comme on va le voir, à trois des cubiques eman|uables que nous avons en vue.
