Le trident de NeTvton. — Cette courbe est une
cubique possédant un point double à Tinûni et, parmi les
cubiques de cette espèce, celle-ci est caractérisée par ce fait
que son équation, lorsqu'on choisit convenablement les axes
de coordonnées, est
U et V désignant des fonctions entières de x; la première, du troisième degré; Tautre, du premier degré. Il y a, naturellement, au point de vue de la sinuosité, plusieurs formes de trident, suivant le nombre des tangentes réelles que Ton peut mener à la courbe parallèlement à Taxe Ox; mais nous n'avons à nous préoccuper ici que de la construction du trident par points et par tangentes.
Voici, parmi beaucoup d'autres, une génération que nous voulons indiquera cause de sa grande simplicité, mais elle ne conduit qu'à un trident particulier.
Autour d'un point fixe M on fait tourner une transversale qui rencontre les axes de coordonnées Ox, Oy aux points A, B; la construction ( 1 , 2, 3 ; fig. 90) conduit à un certain point I.
En désignant par a, p les coordonnées du point M, on trouve que le lieu décrit par I est une courbe représentée par
P(x - a) c'est l'équation d'un trident, dans un cas particulier.
Mais voici une génération qui donne le trident, en prenant le mot dans le sens général que nous avons indiqué tout à l'heure.
Fig. 90.
ilO
Considérons une parabole P rapportée à son axe Oy et à sa tangente principale Ox; soient A un point pris sur Taxe,
B un point fixe
donné sur la corde principale du point A ; effectuons
la construction
(1,2, 3;/î(7.^/) et cherchons le lieu (lu
Pig.
point I.
Soient X, y les coordon-
nées du point M; en posant
AB
FéqnaKon de BI est
Comme on a
ac =
ot
^pu\
rélimination de a?' et de y' entre ces Irois équations donne, pour réquation du lieu décrit par le point I,
x^ — ax* + 2a6»
2pX
Mais il importe de montrer que tout trident peut être engendré par ce procédé.
Considérons, à cet effet, l'équation générale des tridents
y= ■ ■ (Aetm;zfo)-
Si nous transportons les axes parallèlement à eux-mêmes a moyen des formules
!/ + X = Y, réquation précédente devient
AX« + B^X' + ex + D^ mX
DI LA n&«LK ET DB l'ËQUIBRE 111
6t si nous disposons de i. par l'égalité C'-\-lm = o, nous avons finalement, dans ce système d'axes, l'éqnatioa do trideat sous la forme
Y=iïi±|2i+2:. (2)
Nous pourrons donc idenliTier les équations (t)et{2) et il est ainsi démontré que la génération par points, que nous venons de donner, convient à tous les tridents.
Comme nous savons construire une parabole, par points et par tangentes, au moyen de la règle et de l'équerre, nous pouvons donc aussi, par application de la règle donnée dans un paragraphe précédent, construire le trident par points et par tangentes.
110. La courbe d'Agnesi. — Cette courbe, comme les précédentes, nous a déjà occupé (*) (loc. cit.); nous ne la
signalons ici que i
pour compléter cette I \0> I »
série de cubiques remarquables et pour faire observer qu'on peut la construire, par pointa et par tangentes, sans autre instrument que la rfegle etl'équerro.
Soient O, 0', 0° trois points en ligne droite et tels que O'O = 00". Si nous
effectuons la construction (i, 3, 3, 4; fig. 92), le lieu du point I est une courbe d'Agnesi.
En élevanfau pointM une perpendiculaire MT à CM jusqu a sa rencontre en T avec BG, la droite TI, d'après la remarque de M. Godefroy, établie plus haut, est la ta ngente cherchée.
[•] On trouvera (Journal de Mathémaliqtte» êpèciatei. I86J, p. IM et 200 quelques déToloppemeDls cl cerWns détails bibliographiques sur cca trois courbes.
tl2
B8AAI SUR LA GÉOMtTRll
/Mflf. 93.
