Les cubiques unicursales générales. — Voici
pour faire un dernier emprunt à Tintéressant mémoire de
M. Schoute, une description par points et par tangentes qui
permet de tracer les cubiques unicursales droites.
Prenons quatre points en ligne droite A, B, G, D, puis
effectuons la construction (1,2, 3» 4; fig- 93) dans laquelle, bien en le u du, les droites MB et MD«sont rectangtilaires. Si nous posons :
AB = (i, AC = ft, BD = c; CI = p, IGD = o), MBD= a.
Nous avons
a tg a = 6 tg (I), et c cos" a = p cos <!)-{-& — a« L'élimination de k entre ces deux équations donne
^ ' a* 4- 6* tg* ù>
ou, en coordonnées cartésiennes,
x{a*x^ + bY) = {a + c — b)a*x* + (a ~ b)bY'
C'est réquation générale des cubiques unicursales droites, quand on prend : 1® pour origine, le point double, 2® pour axe des x, l'axe de symétrie.
En faisant varier la disposition des points A, 6, G, D on peut ainsi décrire un grand nombre de cubiques remar* quables.
La tangente au lieu décrit par le point I se détermine très simplement en observant, avec M. Godefroy, que les tangentes en M et I, aux lieux décrits par ces points, se coupent sur la droite NH. Gette propriété peut s'établir par des considérations géométriques analogues à celles qui sont développées dans le mémoire de M. Schoute, ou directement, on suivant la méthode que nous avons indiquée plus haut» dans un cas semblable.
il2. Les cubiques simples. — Nous désignerons ainsi celles qui^ dans un système convenable de coordonnées
DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 113
cartésieDnes rectangulaires, peuvent être représentées par une équation aussi simple que possible, c'est-à-dire par unq équation binôme.
Il n'existe que trois cubiques simples correspondant aux
équations :
x^ — hy^ = G, (A)
xy^ — h^ = o. (G)
La première est constituée par deux bras paraboliques et elle présente à Torigine un point de rebroussement; la deuxième est formée de deux bras paraboliques présentant une inflexion à Torigine, point qui est centre de la courbe. Ce sont les deux cubiques simples paraboliques.
Quant à la troisième elle affecte la forme de deux branches hyperboliques asymptotes aux axes de coordonnées; elle admet un point de rebroussement à Tinfini dans la direction Ox; c'est la cubique simple hyperbolique.
113. Cubique simple parabolique à point de rebroussement. — Prenons un angle droit yox, une droite A parallèle à oy, puis effectuons la construction (i, 2, 3,
4; fi9' 94).
En posant OC = h, BOa? = a, on a immédiatement
X = h cotg' a, — y = h cotg' a.
L'équation du lieu décrit par le point I est donc
Tracé de la tangente. — Prenons un point M {x, y) sur la courbe (A) ; l'équation dé la tangente en ce point est
3Xaj* — 2hyY — hy* = o,
"ïx
Fig. 94.
(•) Cette parabole cubique a été quelquefois désignée par Tépithète de parabole Neilienne, du nom du géomètre Guillaume Neil qui la signala comme une courbe rectifiable parce que son équation vérifiait les relations dififérentielles indiquées par Wallis pour ces sortes de courbes (Nouvelles Annales ^ 1844, p. 423).
G. DE L. — GéOMÈTEIE DE LA RÈGLE.
D'une façon générale, on peut observer que si Téquation
d'une courbe est
celle de la tangente au point te, y) est
L'équation (a) étant vérifiée
y par X = o, Y — =^ -, on voit
que la tangente à (A) s'obtient P,.^ ^. en prenant OQ = — et en joi-
gnant le point Q au point M considéré sur la courbe.
