Remarque. — La cubique mixte qui vient de nous
occuper affecte deux formes très différentes suivant que son point double est : isolé, ^2 comme dans le cas que nous avons examiné; ou situé sur les branches réelles de la courbe, comme dans celui que nous allons signaler.
C<insidérons un angle droit
yox et soient A, A' deux paral-
P^9' ^0% lèles à Oy; si nous effectuons
la construction (i, 2, 3; fig, 402) nous obtenons un point I,
dont le lieu géométrique, si l'on pose OA = d, AB = d' est
une courbe représentée par l'équation
yt {d — x) = d'x\
Cette courbe est constituée encore par deux branches mi^çiteSj mais, dans ce cas, elles passent par le point double.
DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 119
119. La cubique conchoïdale. — Parmi les cubiques unicursales que Ton rencontre le plus fréquemment, nous citerons encore celles qui sont constituées par une branche conchoïdale et un point double isolé. Voici un exemple très simple de ces sortes de cubiques.
Considérons un angle droit yox et une droite A parallèle à Oy; effectuons la construction (i, 2, 3, 4, 5; fig. 103), le lieu du point I, comme on le vérifiera sans peine, est une cubique ayant pour équation
ce
La courbe qui correspond à cette équation a la forme générale qu'indique la figure.
120. La conchoïdale circulaire. — Mais, parmi les conchoïdales, il y a lieu de remarquer celle qui est circulaire et qui s'obtient par la construction suivante.
Soit GAB un triangle rectangle isocèle; on projette en Q et en P, sur ses côtés AB, AG, un point M mobile sur l'hypoténuse BG. La perpeudiculaire abaissée de M sur PQ va passer (*) par un point fixe 0, quatrième sommet du carré construit avec le triangle proposé GAB, et ^•^- '^^•
elle rencontre PQ en un point I dont le lieu géométrique est une cubique circulaire unicursale ayant pour équation, dans
1*) Voyez Nouvelles Annales 1843, p. 228.
le système yoo^^
(y-x) (y^J^x^) + h(y^-^x^-xy) = o, (AB = AG = ^) courbe représentée, dans le système YOX, par Téquation
X (X« + Y«) = A "Il (Y« + 3X«).
L'asymptote réelle s'obtient en menant par 0', milieu de OD,
une parallèle à BG (*); le sommet 0' est au milieu de AD; les poipts B et G sont deux points d'inflexion réels de la courbe. La forme de celle-ci se trouve ainsi nettement indiquée.
Le tracé de la tangente se fait assez simplement en observant que l'on peut considérer le lieu du point I comme étant la podaire du point par rapport à une certaine parabole, enveloppe des droites PQ; parabole qui a pour sommet et pour foyer D ; ce qui la détermine complètement,
121. Le Folium parabolique droit. — Gette courbe est une cubique unicursale caractérisée par les faits suivants
1® Elle admet une direction asymptotique unique ; 2« Elle est droite ; 3® Les tangentes au nœud sont rectangulaires.
Gonsidérons un angle
droit yox et une droite
A parallèle àoy; posons
OA = A. Si nous efiFec-
^*^- -'^^ tuons la construction
(i, 2, 3, 4 ; fig. 40S) nous obtenons un point I dont le lieu est
une courbe correspondant à l'équation
(*) La courbe qui nous occupe ici a élé, comme la plupart des cubiques simples, distinguée par Newton dans son énumération des lignes du troisième ordre et par Euler dans sa magistrale introduction à l'analyse infinitésimale. Elle a fait l'objet d'une note (N. A., 1843, p. 316) ; le lecteur qui se reportera à celte note voudra bien rectifier la construction indiquée pour Tasymptote.
L'erreur en qpiestion a d'ailleurs été relevée (iV. A., 1844; p. 299).
DE LÀ RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 121
Si Ton prend OJ = IM, le lieu du point I est une cubique que nous avons examinée plus haut (x* — Ay* =: o) et nous savons construire la tangente à cette courbe au point J. L'application du principe des transversales réciproques permet de tracer la tangente au folium parabolique, au point I.
122. Le Folium parabolique oblique. — Cette cubique unicursale admet, comme la précédente, une direction asymp totique unique et* un nœud droit; mais elle n'a plus d'axe de symétrie.
Exposant OA = a, OB = b et, en exprimant les diverses lignes de la figure au moyen de l'angle co, on trouve sans peine l'équation polaire du lieu décrit par le point I a ^ atffo) — b
p= tgw —
COSco ^ COS (0 Fig. 406
L'équation cartésienne est donc
05' = a(a;' — t/*) + bxy^ et celle-ci prouve que la cubique correspondante est un folium parabolique oblique, courbe que nous avons définie tout à l'heure.
