CHAPITRE XII

LES QUARTIQUES UNICURSALES

Toutes les courbes unicursales sont évidemment susceptibles d'être tracées, point par point, au moyen de la règle et de réquerre parce que, à un élément mobile, donné et convenablement choisi, ne correspond qu'un seul point de la courbe. Nous avons déjà fait cette remarque au chapitre précédent, mais nous y insistons encore à cause de son importance et nous allons montrer de nouveau, sur des exemples divers, l'application de cette idée générale.

Nous considérerons uniquement quelques quartiques unicursales-

123. Le Folium double. — Le Folium double est une quartique caractérisée par les propriétés suivantes :

1® Elle admet les directions isotropes comme directions asymptotiques doubles;

2** Elle possède un point triple présentant la partieularilé d'un rebroussement pour deux des bras qui passent par ce

point.

Il résulte de cette définition qu'en prenant l'origine au point triple, la tangente de rebroussement pour axe des y et des axes rectangulaires, l'équation du folium double est

(£C« + y*)* = ir*(aû5 + ày).

Voici comment on peut construire cette courbe point par ^^' *^'^' point avec la règle et Téquerre.

Imaginons un angle droit A.OB et soit (i, 2, 3, 4; fiq. 407)

une construction conduisant au point ï. En posant ^» OA = a, OB = h,

AI = p, MAO = (o, nous avons, par application du théorème des projections,

AM = a cos (o -|- 6 sin w et comme

Fig. 408

p = AH cos 0) = ALI cos*

nous pouvons écrire

p = a cos' 0) -j- 6 sin co cos* o).

C'est l'équation polaire du lieu décrit par le point I ; l'équation cartésienne est donc

{x^ +- y*)* = £C*(aa; -f by).

On peut distinguer deux espèces de foliums doubles : le folium droit, et le folium oblique ; suivant que la tangente de rebroussement est ou n'est pas un axe de symétrie.

Le folium double droit, qui correspond au cas particulier où

DE LA RÈGLE ET DE l'ÈQUERRE 123

l'on suppose a = bf est une courbe bien remarquable (*);

les constructions (i, 2, 3, 4) des

figures 108 et 109 conduisent encore

au tracé du folium droit^ point par

point.

Dans cette dernière figure, on suppose 00' = O'O'.