Le limaçon de Pascal. t^^Q
— On sait que cette courbe se construit très rapidement, point par point, conformément à sa définition, si Ton s'accorde l'usage du compas à pointes sèches, puisqu'il suflSt de porter sur un rayon vecteur mobile, à partir d'un point qu'on détermine, une longueur constante.
Mais on peut aussi, par le seul usage de la règle et de l'équerre , construire ces courbes ; le tracé (1.2.3.4.
^îfy* f^O) donne un . o ©♦ o- o-
point I qui est un Fig. 440.
point d'un limaçon, considéré comme étant la podaire du point par rapport à un cercle qui serait décrit du point 0", milieu de O'O'", comme centre, avec CC pour rayon.
Pour le tracé de la tangente (**) au limaçon, menons 0"J parallèle à MI, et prenons J'isotomique de J sur CI; la tangente au lieu décrit par I sera partagée en deux parties égales par les tangentes 6, 6' aux lieux décrits par les points J et J' et cela par application du principe des transversales réciproques. Les points J et J' décrivent des circonférences ; les centres sont : le milieu du segment 00'' pour l'une ; et 0, pour l'autre; or, nous savons, avec la règle et l'équerre.
(*) Noos nous proposons de publier prochainement une étude du foUum double ; nous donnerons alors diverses coDstmctions de la tangente à cette courbe.
(**) Magnus a donné (Journal de CreUe, t. IX, 1832, p. 135) une construction de la tangente à la cardioîde; mais, cette construction exige remploi du compas, et elle ne s*applique gu*à ce limaçon particulier.
tracer les tangentes 6, 0'; nous saurons, par suite, construire celle du limaçon au point I.
125. La Lemniscate (*). — Prenons sur deux axes rectangulaires donnés oj, oy, deux points fixes A et B, puis effectuons la construction (i, 2, 3, 4); le lieu du point lest
une lemniscate.
En effet, on a p = OB' cos 0),
p =: OA' sin 03 :
et
OA'.OB'nzO A.OB.
En posant OA = a, OB = 6 on obtient ainsi l'équation
qui représente le lieu décrit par I ; la courbe qui correspond à cette équation passe doublement par les ombilics du plan; de plus, le point est un centre de la courbe et un nœud droit; le lieu considéré est donc une lemniscate (C. M. S., t. II, p. S39).
On voit, en un mot, que nous venons de considérer la lemniscate comme la podaire du centre de Thyperbole équilatère et, de cette génération remarquable, on déduit très simplement, comme nous allons le montrer, la normale, et par suite, la tangente à la lemniscate.
D'une façon générale, on sait (C. M. S,, t. II, p. 33) que si Ton considère une courbe quelconque U et, par rapport à cette courbe, la podaire d'un point 0, la normale au lieu
(*) On sait que la lemniscate représente un cas particulier des ovales de Cassini; voici, sur cette courbe célèbre quelques détails bibliographiques que nous empruntons à l'une de ces notes si intéressantes que le savant Terquem a jetées çà et là dans les Nouvdles Annales.
« Le nom de celte courbe dérive du mot grec Xejiviaxoç qui signifie une bandelette nouée en hait. Fagnano, (vers 1750) a découvert les principales propriétés de cette ligne qui est d'une si grande utilité dans la théorie des fonctions elliptiques. Les démonstrations du géomètre italien sont géométriques ; la théorie analytique est due à Euler {Mémoires de SainUPétershourg^ t. V, p. 351 ) . »
D£ LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE
décrit par le point I passe par le milieu o) de MO, M étant le point de contact de la tangente considérée MI.
Cette remarque étant faite, reportons-nous à la figure 111; A'B' enveloppe une hyperbole ayant pour asymptotes Ox et Oy ; le point de contact de A'B'
avec cette hyperbole, c'est ^ Fit/' in bis.
le milieu M de A'B', déterminé comme l'indique la figure. En achevant le rectangle qui correspond au triangle OIM on obtient un certain point G; IG est la normale à la lemniscate.
126. Le Trifolium droit. — Gette courbe est caractérisée par les propriétés suivantes ;
1*^ Elle n'a pas d'autre direction asymptotiqne que les directions isotropes;
2® Elle admet un axe de symétrie A et un point triple dont les tangentes sont : la perpendiculaire A' à l'axe A pour Tune des branches et les bisseclrices des droites A, A' pour les deux autres.
D'après cela, l'équation du trifolium droit est
On a pris pour axes les droites A, A' que nous venons do définir et, dans cette écjuation, A désigne une constante.
Soit 00' un segment donné, effectuons la constructiou (i, 2, 3, 4; fig. ii2), construction dans laquelle M' est le symétrique de M par rapport à 00', et cherchons le lieu du point I.
En posant 00'=eZ,OI = p, M00'=o), on a
p=(^C0S<») — 2d3in*a)C0S (1),
ou
(«2 + y^Y = dx(x^ — y*). ^^^0' /'^. V-
Le lieu du point I est donc un trifolium droit, courbe
lit) ESSAI SUR LA GÉOMÉTRIE
définie comme il vient d'être dit. Pour sa forme et pour le tracé de la tangente en un point pris sur elle, nous renverrons à notre Traité de Géométrie analytique (p. S12).
127. Le Folium simple. — Parmi les quartiques remarquables, nous signalerons encore le Folium simple ; cette courbe correspond à la définition suivante :
1® Les directions isotropes sont les seules directions asymptotiques de la courbe ; 2** Elle possède un point triple et les tangentes en ce point 1^ sont coïncidentes.
D'après cette définition, en prenant convenablement les axes, réquation du Folium simple est y X ix* + y^Y = ka^ (1), A étant une con- Fiq. H3. gtante.
Soit 00' un segment donné; effectuons la construction (1, 2, 3, 4, fig. U3\ nous obtenons un point I, et en prenant
00' =zd, 01 = p, MOO' = ù),
nous avons
OM = d cos 0), MI = d sin* w ces (o ; par suite,
p = d cos* co. (2)
En convertissant cette équation en coordonnées cartésiennes, et en supposant A = rf, nous obtenons bien l'équation du
M Folium simple.
Tracé de la tangente, — De l'équation (2) on peut déduire une propriété remarquable de la normale en un point pris sur le Folium simple. Mais, comme nous allons le montrer, cette i'ig- ^tà. propriété appartient
aux courbes, plus générales, qui correspondent à l'équation
D£ LA KÈGLE ET ]« LÉQCEA&E li
dans laquelle p désigne un nonibre entier et positif.
Prenons deux points fixes 00' et répétons, comme l'indique
la figure, p fois la construction visée plus haut. Des points
Hj, I^ nous déduisons des points analogues H^, I,; et, ainsi
de suite, jusqu'à ce que nous arrivions aux points Hp, I^.
Nous avons alors
OHi = d cos* w,
OHj = d cos* <D, . . . OH^ = d cos*p o;
OIi = d cos' CD, 01» = d cos^ <D, . . . Olp = d cos*^+* co,
Le lieu décrit par le point Tj, est donc une courbe fp représentée, en coordonnées polaires, par l'équalion (1).
Cherchons à déterminer la normale en un point I, pris sur cette courbe fp.
On sait (C. M, S., t. II, p. S75) que l'équation de la normale est
— = — cos (<!) — co,) -\ — ■ sin (d) — Wj) • P Pi ^ Pi
Appliquons cette relation (1); nous obtenons, après calcul,
d 20 + 2 . /, cotff «oA .
- cos*'' CD- = -= — ; — cos <j) + ( te CD, -, — I sin w •
Parmi les solutions remarquables de cette équation, on observera la suivante :
(i) = G, p = ; UJtlp.
D'oîi nous concluons qu'en prenant sur OHp un point N tel que
ON 2p4-i
OHp""^p+l'
N est le pied de la normale.
En particulier, si nous revenons au folium simple /i, (/ig, 143) supposant par conséquent p = i, nous voyons que le pied de la normale au point I s'obtiendra en prenant
