ON = - OH

Parmi les conséquences remarquables de cette construction,

on peut observer que le rayon de courbure au "point est nuL

128. Remarque. — Il est naturel, après avoir considéré les courbes qui correspondent à l'équation (1) du paragraphe pré-

ESSAI «iUn LA GÉOMÉTRIE

cèdent, crexaminer celles qui sout représentées par Téquatiou

p = dcosV(o; (2)

puis, de supposer, dans les formules .(1) et (2), p positif ou négatif. De la sorte, le problème qui nous occupe se trouvera donc résolu pour toutes les équations

p z=: d COS" (D, (3)

quel que soit l'entier m, positif ou négatif.

Pour avoir les courbes (2), il faut projeter les points Hj, H,, ... Hp, non plus sur OM, mais sur la droite qui va du point M au milieu de 00'.

Le degré de ces courbes s'élève très vite; le cas le plus simple, celui qui correspond à p = i, donne déjà une courbe du sixième ordre; cetle courbe a la forme d'un double ovale et l'on trouve, soit par la considération de l'équation de la tangente en coordonnées polaires, soit par celle de la normale, d'élégantes constructions pour le tracé de ces droites. Sans nous attarder sur ces détails faciles à vérifier, nous allons, pour donner un nouvel exemple remarquable de cette méthode, l'appliquer au cas particulier où dans l'équation (3) on suppose m= — 2. On obtient ainsi une quartique très

simple qui a déjà fait l'objet de notes diverses (*) parce qu'elle présente cetle particularité, toujours recherchée, d'avoir des points d'inflexion qui peuvent se déterminer par la règle et le compas. Nous allons montrer que les tangentes de cette quarlique se déterminent bien simplement avec la règle et l'équerre.

Prenons trois points en ligne droite 0, 0', 0" et tels que O'O =

00" = - ; puis effectuons la con- Pig- ^^o struction (1, 2, 3, 4, S, fig. iiS)\

nous trouvons ainsi un point I dont le lieu est une courbe

{•) Nouvelles Annales, 1843, p. 232 1845, p. 319; 1846, p. 214.

U représentée par l'équatiou

' COS* (i>

Proposons-nous de déterminer la tangente au point I {?u ^1)1 à cette courbe.

L'équation de la tangente à une courbe, en coordonnées polaires (voyez notre Cours de Mathématiques spéciales, t. II; p. 573), étant

— = — cos (o) — Wj) -j- ( — ) sin (w — ot>,) ; P Pi \pi/

nous avons, dans le cas présent,

— = (i -j- cos 2fûi) cos (o) — o)j) — 2 sin 20)1 sin (o) — (Oj). En faisant co = 90®, dans cette relation, nous trouvons que

la tangente en I coupe Taxe des y en un point T, tel que

OT = — 01 sin û)i.

De cette remarque nous pouvons conclure qu'en prenant le point r symétrique de I par rapport au centre et en élevant en V une perpendiculaire à l'I, cette perpendiculaire va couper Taxe Oy au même point T que la tangente cherchée.

En prenant l'équation de la normale^ on arrive à une conclusion qui est aussi très simple et que l'on pourra : soit vérifier directement, soit déduire du tracé précédent (*).

Voici quelle est cette propriété.

Élevons au point I une perpendiculaire au rayon vecteur; cette droite rencontre Taxe en un point K; si nous prenons KN = OK, IN est la normale cherchée (**).