Les quartiques py
riforznes. — Ces quartiques affectent la forme d'un simple
(*) Nous aurons d*ailleurs occasion, dans la deuxième partie de cet ouvrage, d*utiliser la propriété géométrique assez curieuse que nous rencontrons ici.
(••) Dans l'article que nous avons cité plus haut et qui est inséré dans le tome Y des Nouvelles Annales (1846), on trouve une construction de la tangente à la courbe qui vient de nous occuper, mais cette constniction
130 ESSAI SUR LA GftOMÉTRlE
foliuru préseutaut un axe de symétrie et uu point de rebroussement ; elles correspondent à Téquation
X* — ax* + b*y^ = o, dans laquelle a et 6 désignent deux loni» ueurs données. Ces courbes ont faitTobjet, du moins dans dvs cas particuliers que nous signalerons tout à Theure, de diverses recherches (**»). Elles offrent plus d'une propriété remarquable : 1® on peut les construire par points et par tangentes, très simplement, avec la règle et Téquerre : 2° toutes ces courbes se déduisent de
^T Tune d'elles par
A \ voie projective;
^ ' ' ^ 3° on peut déter-
miner le point le plus haut de la courbe et ses points d'inflexion; 4® Taire de la courbe peut être calculée, elle se déduit en celle du cercle générateur eu multipliant celle-ci par un rapport connu, etc..
^'*^- ''^- ^ Nous allons
établir ces diverses propriétés.
est moins simple que celles que nous proposons ici et, de plus clic exige l'emploi d'arcs de cercle. ' '
Dans une note qui accompagne cet article, note non signée mais qui est évidemment due h Terquem, il est dit: « Descartés [Œuvres t. V, p. 336, édition Cousin) a imaginé un instrument formé de deux règles à l'aide duquel il construit d'un mouvement continu et simultanément les courbes données par les équations polaires
DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUSRRE l3l
i^ Génération des pyriformes. Imaginons un cercle et deux diamètres rectangulaires AB, CD, puis effectuons la construction (1, 2, 3, fig, ii7) ; nous obtenons ainsi un point I. L'équation du lieu géométrique décrit par ce point est facile à trouver. Prenons pour axe des a? le diamètre AB et pour axe des y la tangente en A au cercle et posons
lAB = a, AH = 6, AB = a.
Nous avons d'abord
ou
D'ailleurs
6» tg*a = x(a — x).
y = x tg a ; le lieu du point I est donc une courbe, aHectant la forme qu'indique la figure et correspondant à Téquatiou
hhf = x\a — x). (P)
2® Les pyrif ormes sont projectives. En effet, si Ton transforme l'équation (P) au moyen des formules
by =: aY, x = X, (1)
on a
Cette équation (P') représente une pyriforme particulière; c'est celle qui a été étudiée par M. 0. Bonnet (loc. cit.), en supposant a = i . Mais, lorsque a varie, toutes les courbes (P') sont homothétiques et l'on peut, sans restreindre la généralité des propriétés de la courbe étudiée, faire l'hypothèse a = I .
Quant aux courbes (P), elles se déduisent toutes, par voie projective, d'une courbe (F), en supposant : 1® que 6 varie, 2° que Ton donne à a la même valeur dans (P) et dans(P').
En effet, on a reconnu, dans les formules (1), celles qui servent à transformer l'ellipse en cercle. La méthode classique qui sert à l'étude de l'ellipse, considérée comme la projection du cercle s'applique donc aux pyriformes et les propriétés signalées par M. 0. Bonnet pour la pyriforme particulière (P'), celles qu'on pourrait encore trouver pour
Cî^tle courbe, s'appliquent» avec les modifications ordinaires, aux pyrifonnes plus générales que nous avons définies tout
à l'heure.
S^ Points d'inflexion, etc.. Pour n'en citer qu'un exemple, M. 0. Bonnet a démontré que les points d'inflexion de (P') avaient pour coordonnées.
X = «^^=-^. Y=±îv/6v/3-9.
Pour une pyriforme quelconque les points d'inflexion ont pour coordonnées
Mais il faut observer que lu détermination de ces points exige l'emploi du compas.
Il en est de même du point le plus haut des pyriformes. Ce point a pour coordonnées
3a 3av^3
pour la courbe (P'); pour une pyriforme quelconque ce point est représenté par
3a 3aV3
¥ Quadrature des pyriformes, La mélhode des projections
permet encore de déterminer l'axe de la courbe, par des considérations géométriques que nous allons donner. On évite ainsi le calcul, relativement péni- B ble, de l'intégrale définie
Fig.'is.
% I '^\/x{a — x)dx.
Prenons d'abord la pyriforme de M. 0. Bonnet, courbe qu'on obtient en supposant 6 = a, auquel
cas A est tangente au cercle générateur au point B.
DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 133
Si nous appliquons la construction exposée plus haut, au cas particulier visé en ce moment, nous trouvons sur le rajon vecteur AM deux points I, T de la courbe et les propriétés élémentaires de la figure donnent
