FI' = QI
On conclut de cette remarque, reconnue autrement par M. 0. Bonnet, que Vaire de courbe considérée est la moitié de celle du cercle générateur.
Pour une pyrifoime quelconque Taire s'obtient en multipliant celle de (P'j par le rapport-; concluons donc que Vaire totale d'une pyriforme quelconque représentée par Véqualion (F) est égale à -^ •
5<* Tracé de la tangente. On a dû observer que le tracé, point par point, que nous avons donné pour les pyriformes présente ces courbes comme des transformées du cercle par la méthode de Mac-Laurin. Le tracé de la tangente peut donc être effectué, avec la règle et Téquerre, conformément aux principes que nous avons déjà utilisés. La fig. 117 rappelle comment ces principes ont été appliqués pour obtenir la tangente IT à la py ri forme (*).
130. Réflexions générales. — Beaucoup d'autres quartiques, et aussi certaines courbes d'un ordre plus élevé, sont susceptibles d'être tracées par points et par tangentes au moyen de la règle et de Téquerre. La Kreuzcurve et la quartique y4 dont nous avons parlé ailleurs (Journal de Mathématiques spéciales i8^o, p. 272 et 1886, p. 202); la rosace à quatre feuilles (voyez notre Géométrie analytique^ p. o97); la Kohlenspitzencurve de M. Schoute (Archiv von Griinert, 188S); les hypocyclo'ides à trois ou quatre rebrou^sements etc., et leurs podaires, donneraient lieu à d'intéressantse déve-
(•) Pour la construction, point par point, des pyriformes, avec la règle et réquerre, il est bien entendu que le cercle dont il a été question ne doit pas être tiacé. On détermine d'abord le point P par le moyen de deux droites rectangulaires issues des extrémités A etB du diamètre AB; pnis le point M, etc.
loppemeuts dans Tordre d'idées qui dirige ce travail; mais •cette exposition nous entraînerait bien loin. Nous avions eu aussi la pensée, à laquelle nous renonçons, pour le môme motif, et avec plus de regrets, de terminer la première partie de cet ouvrage par l'exposition de certaines méthodes de transformation permettant de multiplier, à Tinfini, les tracés de la règle et de Téquerre dans la construction des courbes, par points et par tangentes. Nous donnerons un seul exemple des applications auxquelles nous venons de faire allusion, en prenant l'idée de la transformation réciproque, dans la géométrie cartésienne.
131. Théorème. — Si, au moyen de la règle et de réquetre^ on sait construire ^ par points et par tangentes, la courbe U, d'ordre p, qui correspond â l'équation
f (x, y) = 0, on peut aussi, dans ces mêmes conditions, construire la courbe U, d ordre 2p, qui correspond à V équation
Sur les axes Ox, Oy on donne quatre points A, A.'; B, B\ tels que
OA = A'O = a, OB = B'O = 6;
et soient
deux points correspondants, dans ta transformation réciproque cartésienne: nous avons alors
a;X = a», yY = b^;
telles sont les formules de la transformation en question.
Les points p et P, sont conjugués harmoniques par rapport au segment A A'; de même, g et Q sont conjugués harmoniques, par rapport aux points B et B'.
D'après cela, au point m correspond un point M et les constructions qui conduisent de m à M n'exigent que l'emploi de la règle et de l'équerre.
La détermination de la tangente est plus délicate.
Il s'agit de montrer comment, connaissant la tangente en
DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 135
m-du, on peut, avec la règle et Téquerre, construire la tangente en M à la courbe U, transformée de u.
Les formules (L) donnent
xdX + Xdx = o, ydY + Ydy = o,
(IVu
X /dY\
Fig. 419.
Soient mt la tangente donnée, MT la tangente inconnue; on
a donc
du ^,,„ dX
La relatiou (1) devient
Ei — ll 0/}'~"0P'
Ainsi la ponctuelle (0, /, p) est liomolhétique à la ponctuelle (0, T, P) et cette remarque permet de déterminer le point T, connaissant les quatre points (0, /, p, P) de plusieurs façons, toutes, très simples.
Mais la difficulté inhérente au sujet que nous traitons et H laquelle nous avons fait allusion tont à l'heure, tient à
ce que nous ne nous accordons que Tusage de la règle et de l'équerre et, cette condition étant imposée, nous avons à montrer comment nous déterminons le point inconnu T. Prolongeons pm jusqu'à sa rencontre en H avec MQ et, joignons H au point t' symétrique de t par rapport k p; Œ rencontre oy en 6 et nous avons
D'autre part, la droite MT rencontre oy en un point 0' et nous pouvons observer que
TP MP ou OQ
Comparant (:2) et (3) nous en déduisons
OQ = Qe'.
Les deux points ô, 6' sont donc symétriques l'un de l'autre par rapport à Q.
De cette remarque résulte une construction de la tangente MT, par des tracés qui n'exigent, comme l'on voit, que l'emploi de la règle et de l'équerre.
