CHAPITRE I

LES PREMIÈRES APPLICATIONS ; LA FAUSSE KQLERRi ET LE CORDEAU

Il n'entre nullement clans notre plan de reproduire ici la description des instruments d'arpentage, non plus que leurs applications classiques. Nous insisterons seulement dans ce premier chapitre sur deux instruments moins connus, et qui sont pourtant, croyons-nous, d'une utilité pratique incontestable; nous voulons parler de la fausse èqiierre et du cordeau,

1. La fausse équerre et le cordeau, — En principe, la fausse équerre est composée d'un piquet vertical sur lequel on peut fixer deux tigJ^s horizontales, naunies d*alitlades, faisant entre elles un angle quelconque (*).

Le but de cet instrument est de reproduire, en différents points, un angle déjà observé.

Quant au cordeau, c'est l'instrument d'arpentage le plus simple qu'on puisse imaginer; un ruban d'acier divisé en parties égales, comme celui dont se servent les géomètres arpenteurs, ou même une simple ficelle terminée par deux petits piquets en bois, voilà tout l'instrument, Nous emploie-

(*1 On trouve, dans une ancienne géomélrie, celle description de la fausse équerre. « Il suffit de pratiquer sur la têle d^un gros piquet, deux entailles droites qui se coupent d'une manière quelconcpie, ou de fixer en croix, sur le bout d'un bâton, deux morceaux de bois qui fassent un angle quelconque et qui portent trois épingles plantées perpendiculairement, une au point de croisement, les deux autres vers les extrémités des côtés d'un des quatre angles formés. » [Géométrie appliquée à lindustrie, par Bergery, ancien élève de TÉcole Polytechnique, professeur à rÉcole d'artillerie de Metz, ... Bachelier, 18Î5; p. 70).

Cette description de la fausse équerre la montre bien, croyons-nous, sous son jour véritable. Telle est, en effet, Textrême simplicité de cet instrument qu'on peut, à un moment donné, réaliser celui-ci sur le lieu même de Topération. On observera notamment la différence essentielle qui distingue la fausse équerre des difiérenls graphomètres. Ceuxci ont pour but de mesurer des angles ; la fausse équerre se propose simplement de relever un angle donoé pour le reproduire en un autre point du terrain, sans que la valeur de cet ans^le ait besoin d'être connue.

TOUS pourtant, daus quelques solutions, un cordeau un peu plus compliqué, portant certaines divisions ou, pour mieux dire, certains points de rçpëre et que nous nommerons le cordeau divisé; il peut, d'ailleurs, ôtre obtenu sans diflSculté avec une corde quelconque, comme nous Texpliquerons plus loin.

2. Réflexions générales. — L'utilité des développements dans lesquels nous allons entrer, et qui n'est peut-être pas suffisamment apparente, est surtout motivée par la simplicité extrême des instruments qui sont en jeu dans les solutions que nous allons exposer.

A ce propos, il est bon de noter ici, au moment où nous péuétrons dans l'exposition des applications pratiques de la géométrie de la règle et de l'équerre, qu'il n'est pas indifférent de savoir résoudre un problème d'arpentage par des procédés 1res divers. En effet, quand il s'agit d'obtenir sur le terrain certains résultats, les conditions matérielles qui sont imposées à une solution connue, bien que celle-ci soit irréprochable au point de vue théorique, peuvent la rendre absolument illusoire et vaine.

Cette observation, Servois, dans le livre que nous avons cité, l'a produite, à plusieurs reprises, y insista-nt avec raison; nous l'avons eue, nous-mêmes, l'estimant fort judicieuse, constamment présente à l'esprit dans la rédaction de la seconde partie de cet ouvrage. C'est précisément, pour répondre aux besoins si divers de la géométrie pratique, que nous nous sommes efforcé de multiplior et de varier autant que possible, sans toutefois sortir de la simplicité qui s'impose tout naturellement à cette géométrie, les solutions des problèmes fondamentaux de l'arpentage. Dans la géométrie théorique, on s'attache, et avec raison, à trouver la solution la plus élégante; il n'en est pas toujours ainsi dans la géométrie pratique et telle solution, bien qu'elle exige plus de tracés et plus de calculs, peut pourtant, dans certains cas, ôtre celle qu'on doit préférer, du moins dans les conditions matérielles où le problème se présente.

Cette remarque générale étant faite ici, pour n'y plus rêve-

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nir, nous abordons l'exposition des solutions de quelques problèmes d'arpentage, solutions obtenues par l'emploi de la fausse équerre et du cordeau.

3. — Problème 1 (*). Prolonger une droite au delà d'un obstacle.

Ce problème est 1 un de ceux auxquels s'appliquent le mieux la fausse équerre et le cordeau.

La fig. m montre suffisamment, sans qu'il soit besoin d'eutrer dans des explications qui se présentent d'ellesmêmes à l'esprit, comment la repétition de l'angle 6 permet de résoudre cette question

classique. On suppose bien T

entendu que, avec l'aide du

cordeau, la longueur AB ait été — 'St^4^^^1-/So___a ' reportée de G en D. /

Mais il est bon d'observer, à b ^^ -^

propos de ce problème, que la ¥ig. 4%o.

fausse équerre permet de le résoudre dans des conditions qui ne se prêteraient pas à l'usage de réquerre ordinaire. On voit d'abord {fig. i^i) comment on peut trouver le prolongement b^ — ^

^ de A en faisant marquer à la fig. m.

fausse équerre un angle obtus; et même ce procédé est, ians la pratique un peu plus simple parce qu'il exige seulement que des jalons soient plantés aux points A, B, G, D. Dans le cas de la fig. 422 on a précisément appliqué cette seconde manière; on voit qu'en supposant, et ô

cette disposition se présente fréquem- ^^' ^^^'

ment sur le terrain, l'obstacle considéré environné lui-même

(*) Daus ce problème, auquel nous reviendrons d*ns le chapitre III, et dans plusieurs de ceux qui sont traités dans ce chapitre, il est souscntendu que les solutions nécessitent seulement l'emploi de la fausse %ierre et du cordeau. S'il ne doit être fait usage que de Tun ou de Vautre de ces instruments, l'énoncé fait alors mention de cette particularité.

d'autres obstacles rendant les mouvements de l'équerre ordinaire inefficaces, la fausse équerre résout le problème posé avec la môme facilité que dans le cas, plus simple, que nous avons examiné d'abord.

Nous reviendrons d'ailleurs sur ce problème dans un chapitre suivant, pour le résoudre par des procédés très variés.

4. — Remar^ie I. Si l'on veut évaluer la longueur de la droite AA' qui est renfermée dans l'obstacle considéré, on observera (fig. 120) que l'on a

A'D' -- BG - A A' ^ DD'; il suffira donc de mesurer avec le ruban divisé les longueurs BG, A A' et DD'; on appliquera ensuite la formule précédente.

Dans le cas où l'on opère comjne l'indique la fig. 122, la longueur AD se calcule par la formule

Al,= BC.2-^

Remarque II. Dans le cas que nous avons soulevé tout à l'heure, et dan-s lequel nous avons supposé que l'obstacle considéré se trouvait dans le voisinage d'autres obstacles, onpeut imaginer que ceux-ci soient tellement multipliés que les solutions données soient, l'une et l'autre, impraticables; les jalonnements nécessaires ne pouvant être réalisés. Voici une solution qui pourrait alors être essayée. Par le point A, traçons deux jalonnements AB, AG, faisant avec AA', des angles 6, 6' que l'on peut successivement relever

B avec la fausse équerre. En un point G, arbitrairement choisi sur AG, portons la fausse équerre dont les branches font l'angle et, dans la partie accessible, Fig, 4ft3. jalonnons les droites GD,

GB telles queBGD = 6. Transportons-nous ensuite au point B et, en partant de ce point, jalonnons la droite BD faisant avec BG l'angle 0'. Le point D ainsi obtenu appartient au prolongement de A A'.

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Si Ton observe que, dans cette solution, la position du point A, les angles et 6', la longueur AG et la direction de GB sont autant de quantités arbitraires, on reconnaîtra qu'elle offre, malgré sa complication relative, pour certains cas difficiles, comme ceux que nous avons prévus tout à l'heure, de réelles ressources.

Quant à la longueur de AD, elle se calcule on appliquant au quadrilatère ABGD le théorème de Ptolémce, et l'on a

AB.GD -h AC.BD