Ajuster un jalon entre deux jalons donnés

— Parmi les problèmes qui rentrent dans les premières applications de Tarpentage, il en est un que nous voulons traiter en terminant ce chapitre ; c'est celui qui a pour objet de placer un jalon G, en ligne droite avec deux autres

jalons A, B, sur un segment donné AB.

Dans la pratique, on opère par tâtonnements et de la manière suivante. On fixe, dans le voisinage de la droite AB, un jalon G'; puis on dispose deux jalons G' et G'", l'un sur G'A, l'autre sur G'B ; opération possible au moyen de deux visées successives. Si les jalons G', G*, G'" sont sur une même ligne de visée, c'est que le point G' a été bien déterminé, tout d'abord. Sinon, on constate que le point G' doit être rapproché de AB, vers la droite, ou vers la gauche, de l'observateur. De là, quelques tâtonnements, mais

Fig. 43i.

ils aboutissent rapidement.

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQ(7ERRE 151

La difficulté du problème qui nous occupe tient à ce que l'on suppose les extrémités A et B inaccessibles; s'il n'en est pas ainsi, si l'on peut notamment opérer sur le terrain oîi pénètre le prolongement de AB, toute difficulté disparaît. En eflfet, on peut toujours par une ligne de visée, fixer le jalon K sur le prolongement de AB; puis, ce jalon étant fixé, l'observateur revenant se placer entre A et B pourra, par une nouvelle visée, ajuster un jalon K', en ligne droite avec les jalons B et K. Mais, si nous supposons que AB ne puisse être prolongée, ni dans un sens, ni dans l'autre, alors (au point de vue théorique, tout au moins) la petite difficulté signalée existe, et voici comment on peut la tourner (♦).

Une première solution se présente immédiatement à l'esprit: elle consiste à jalonner par les extrémités A et B de la droite donnée, et, bien entendu, dans la partie accessible, des alignements deux à deux parallèles. On obtient ainsi un parallélogramme ABmn dont la seconde diagonale mn passe par le milieu de AB. En répétant ^

une seconde fois cette construction, on ^y^f\

obtiendra donc deux droites mn^ tiiri pas- J5<^ / / \

sant, Tune et l'autre, par le milieu de *^€^-l-SyL 1 \ iB. Le point de croisement G des deux \ / / \L^ diagonales ainsi tracées se trouve net- \//'/'^^^ tement déterminé; en ce point G, on ^'^'^^ pourra donc placer un jalon qui sera Fig^ 435,

situé sur la droite AB, au milieu de ce segment.

Voici une seconde solution. Elle exige, il est vrai, plus

(*) c Les personnes qui ne sont pas habituées à opérer sur le terrain dit Bergery [loc, cit. p. 105) trouveront peut-être quelque difficulté à planter un jalon dans un alignement dont les extrémités sont inaccessibles. » Bergery décrit alors un procédé par tâtonnements qui permet de résoudre pratiquement cette opération pour laquelle il n'indique pas d'ailleurs de solution théorique. La vérité est que les personnes qui se livrent aux opérations d'arpentage, étant habituées à ces difficultés, les résolvent instantanément par l'habileté personnelle qu'elles ont acquise; sans avoir recours à la méthode pratique de Bergery, ou à toute autre. Encore bien moins feront-elles usage des solutions rigoureuses que nous indiquons ici, lesquelles ne trouveraient une application réelle que dans le cas où l'on voudrait obtenir plus d'exactitude, ou dans celui où l'on doit considérer des distances relativement grandes.

cralignements, mais elle ne nécessite pas le tracé de parallèles, opération toujours délicate ; de plus, au lieu d'indiquer la position du troisième jalon, justement au milieu de AB^ particularité qui peut offrir quelques inconvénients, elle permet de placer ce jalon en un point quelconque du segment AB. Elle prend pour base lo théorème de Pappus {Première partie, § 19).

Supposons que l'on veuille fixer un jalon sur le segment AB. On choisira arbitrairement deux points m et n qui constituent, avec A et B, le quadrilatère auquel on se propose d'appliquer le théorème que nous venons de rappeler.

Ayant alors tracé les alignements qu'indique la figure, on obtient deux points 0, 0'; et la droite AA' coupe mn en un point C qui est rigoureusement en ligne droite avec les points A et B.

Mais voici, au sujet de ce problème, un cas particulier présentant plus d'in- ^' ' té rôt, parce qu'il se rencontre dans la

pratique de l'arpentage et qu'il ne peut être résolu par la méthode des tâtonnements. Il peut arriver que certains accidents de terrain : arbres^ maisons, talus, etc., cachent à l'opérateur, dans la partie du terrain où il doit fixer le troisième jalon, les points A et B, extrémités de l'alignement considéré. Nous allons examiner ce cas particulier.

15. — Ajuster un jalon entre deux jalons donnés inaccessibles et invisibles pour certaines parties du terrain. — Soient A et B les deux points qui sont visibles dans les parties du terrain voisines de P et de Q, mais non dans celle qui environne le point 0, point inconnu et oîi doit être planté un jalon en ligne droite avec A et B.

Traçons RS parallèlement à PQ. Nous avons

OM m op

ON ~ IS ~ ÔQ* Le problème se trouve ainsi ramené au suivant:

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 153

Étant donnée (fig. 137) une ponctuelle (P, Q; M, N), déterminer sur cette ponctuelle, un point qui partage les segments PQ et MN, dans le même rapport. ,/A

Pour résoudre cette dernière ques- // ?

tion, menons parles points M, N deux / / |

alignements parallèles et, avec le cor- /' / 1

deau, prenons MP' = MP et NQ' = NQ ; ' "

le point 0, déterminé comme l'indique la figure 138 est le point cherché. ) ' ,

Au problème qui vient de nous oc- ; .; / /y''

cuper, correspondent, sans sortir des j4^''

limites de la Géométrie de la Règle, Fig. 437,

de nombreuses solutions; celle que nous venons d'exposer et à laquelle nous nous tiendrons, est la plus simple, parmi celles que nous avons imaginées. On observera peutôtre qu'elle est encore assez compliquée; mais il faut reconnaître que la '^ m ô ^ question qui vient de nous occuper ^ig- ^38.

offre une certaine difficulté relative, et elle ne semble pas comporter, si nous ne nous trompons, de solution sensiblement plus simple, que celle que nous venons d'exposer.