BG = — AB

lO

19. La Solution de Vauban. — Servois (loc. cit. p. 60) s'occupant du problème de la distance d'un point à un autre point inaccessible dit : « On connaît la méthode attribuée à Vauban ; elle suppose la construction d'angles droits, ou au moins d'un angle égal à un autre et requiert un chaînage assez long. » Mais il ne donne aucun renseignement sur cette construction.

Le procédé que Vauban indiqua.it (*) pour mesurer la

(*) Vauban, Traité de tattaque des places. Je dois ce renseignement à robligeance de M. Louis liège d'Iray, lieutenant d'artillerie. L'exemplaire de Vauban que possède cet officier n'est pas daté; il a été imprimé chez Barrois et Magimel, quai des Augustins, à Paris. La question présente y est exposée au chapitre VI, lequel traite de l'ouverture de la tranchée, p. 50.

D'après les renseignements que nous communique à ce propos M. d'Iray, la première édition de l'ouvrage de Vauban, a dû être ceUe qu'a éditée Jombert, rue Dauphine, à Paris; Elle date de 1769. La biblio- ' thèque de l'Ecole de Saumur possède un exemplaire de l'ouvrage en question ayant pour sous-titre : Nouvelle édition revue, rectifiée, augmentée de développement^^ de notes et de planches; par F. P. Foissac, chef de brigade au corps du génie de la République française; à Paris, chez Magimél libraire pour l'art militaire et les sciences et les arts, quai des Augustins, pf^ès le Pont-Neuf; l'an troisième de la République.

Dans cette édition, la question est traitée au chapitre VI, p. 131 ; mais le texte de Vauban a, en grande partie, disparu; l'ouvrage a été profondément remanié, mis au goût du jour, et, comme nous l'écrit M. d'Iray, c'est presque autant un ouvrage de Foissac, écrit sur le cadre du livre de Vauban, qu'une édition de Vaubaii.

Aux renseignements qui précèdent, nous ajouterons encore les suivants qui nous ont été communiqués par M. Bertrand, capitaine du génie à la section technique da ministère de la guerre.

Le manuscrit de Vauban sur l'attaque des places a été rédigé pour le duc de Bourgogne et présenté à ce Prince en 1704 ; la bibliothèque du ministère de la guerre possède cet ouvrage précieux revêtu de la signature de l'auteur. Des copies n'ont pas tardé à circuler dans toute l'Europe et une première édiiion parut à la Haye, imprimée par de Hondt, en 1737.

La dernière édition est celle qui fut publiée en 1829 {Traité des sièges et de l'attaque des Places par le maréchal de Vauban; nouvelle édition entièrement conforme au manuscrit présenté par l'auteur au duc de Bourgogne; par M. Augoyat, chef de bataillon du Génie; Paris. Anselin successeur Oq Magimel).

Nous devons ajouter que la solution de Vauban se trouve expos<îe,

distance de Fouverture de la tranchée au chemin couvert n*est autre chose que la solution exposée plus haut (§ 18; 2®). Nous croyons intéressant, ne serait-ce qu*au point de vue historique de rapporter ici, dans ses termes mêmes, la solution de Vauban. Il convient toutefois d'observer, comme le fait Servois, et la remarque a son importance, qu'elle n'exige nullement l'emploi de l'équerre ordinaire. Il suffit que les droites AB, CD (fig, i4i) dont il est question soient parallèles ; pour atteindre ce but, la fausse équerre suffit. Quant au chaînage nécessaire, contrairement à ce qu'en pense Servois, il est fort rapide ; il faut observer, en effet, qu'il se réduit au relevé de la longueur GF et que les piquets fixés sur BG ne sont pas déterminés par des chaînages, mais simplement par un cordeau, plus ou moins long, que l'on porte successivement de B en B', de B' euB", etc.; opération simple et rapide.

Quoi qu'il en soit, voici la solution en question; elle s'applique également bien aux grandes et aux petites distances. On observera seulement, dans le cas des grandes distances, qu'il faut augmenter le nombre des piquets placés sur BC. On peut, par exemple, placer dix piquets équidistants entre B etC; E représentant le dixième piquet, il suffit alors démultiplier GF par 10.

« Soit (fig. 441) A l'angle du chemin couvert et B le lieu où l'on veut ouvrir la tranchée après avoir pris garde à se mettre en lieu oîi l'on puisse avoir l'espace nécessaire à l'opération, il n'y a qu'à former l'angle droit B et tirer la ligne BG (avec des piquets) de 6o ou 8o toises, plus ou moins. Vous couperez cette ligne en 3 ou 4 parties égales. Cela fait, sur son extrémité C, formez un autre angle droit BGD alterne au premier et tirez la li^ne CD indéterminément, alignez l'un des piquets de la transversale BG, comme E, avec l'angle du

antérieurement, dans Touvrage, intitulé : R. P. CI. Fr. Millet Dechales, e Societate Jesu, Cursus seu mundus mathematicus universam Mathesin tribus tomis complectens. ^ Lugduni M DG LXXIV. On trouve la solution, exposée depuis par Vauban, dans le rolume elle, à la page adldulivreP'' et dans la partie intitulée Geometriœ praclicœ.

L'ouvrage en question a été cité par Chasles (Aperçu historique; pp. 272 et 433) ; U lui donne la date do 1690. — L'édition que nous avons eue sous les yeux est antérieure, comme l'on voit, à celle que Chasles a consultée.

chemin couvert A, Vous aurez deux poiots qui serviront h faire trouver dans leur alignement le point F sur la ligne CD. Mesurez ensuite CF avec une toise pour connaître sa longueur; ensuite, si CE est le tiers de BE, prenez trois fois la longueur GF, vous aurez la distance AB connue en toises. »

20. La largeur de la rivière (Cas particuliers). , — Les solutions que nous venons de reproduire supposent, toutes, la possibilité d'effectuer, sur la rive oîi Ton est placé, des tracés exigeant l'emploi d'une certaine étendue de terrain. Nous examinerons ici quelques cas particuliers, se rencontrant dans la pratique, et pour lesquels les solutions précédentes pourraient se trouver en défaut.

A l^Nous supposerons d'abord

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ qu'on arrive en B, à la rivière

qu'il s'agit de traverser, par une route A, normale à sa direction, et bordée de terrains dans lesquels on ne peut pénétrer ( groupes de maison s , marécages , coUi nés, etc....). On vise le point A, opposé à B, et, après Fig, U5, avoir jalonné la direction AB,

on relève, suivant BOA', ave c la fausse équerre, l'angle BOA.

La largeur est égale à BA'.

2^ Admettons maintenant

que , dans les conditions

précédentes, la route A soit

I oblique à la direction de la rivière. Alors, on peut exécuter le tracé indiqué par la jQgure 146, et, après avoir effectué le jalonnement OC, perpendiculaire à Fig, U6, OA, et le jalonnement BG,

élevé perpendiculairement à la direction de la rive, au point B,

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 161

au point A déjà visé, on a

AB = 21!

BG

3® Imaginons enfin que l'on ne puisse opérer que sur une bande de terrain, assez étroite, située entre la rivière et un terrain U, inaccessible. Soient , . A deux points opposés; on vise A, d'un point P arbitrairement choisi; soient PQ la perpendiculaire à AP, et OQ la perpendiculaire abaissée de p- ^^7

sur PQ.

Les triangles semblables AOP, OQP donnent

OP

En prenant le point P, suffisamment près de 0, on aura un triangle OQP aussi petit que l'on voudra et cette remarque permet de voir que la construction indiquée sera toujours réalisable, si restreinte que soitla partie accessible du terrain. Pour rendre l'approximation obtenue aussi bonne que possi* ble, on doit choisir P de façon que Q soit à peu près sur la ligne de séparation de A et de U ; en général, on doit éviter, autant du moins que les circonstances le permettent, de prendre sur le terrain une base de trop grande, ou de trop petite dimension. Dans le premier cas, les mesures sont longues, et il y a perte de temps; dans l'autre cas, les erreurs commises sont relativement plus grandes, et les résultais obtenus n'ont pas une approximation suffisante.

Remarque. *- La traversée d'un fleuve se présente, à tous les points de vue, dans des conditions préférables lorsqu'elle peut s'effectuer devant une lie. A ce propos, un problème surgit, que nous allons résoudre; c'est celui dans lequel on se propose de déterminer la largeur du bras qui est situé de l'autre côté de l'Ile.

Ayant jalonné une droite A, perpendiculairement à la direc-

(i. DE L. — GÉ03IETRIE DB L\ RÈGLE. 11

IM K881I sttB LA Glmuknvt

tion de la rivière, et passant par le point G, extrémité de rile; d'un point 0, arbitrairemeat choisi sur la rive accessible on vise : !• l'extrémité C; 2" le point D qol, sur la rive opposée, est déterminé par Tobservateur placé sur A et visant C dans une direction perpendiculaire à A, Avec la fausse équerre, on relève successivement les angles HOC, HOD que l'on reporte en HOC, HOD'.

La droite CD' représente la largeur demandée.

Si la rive de l'Ue qui est invisible est supposée sinueuse, la distance cherchée pourra être plus faible que GO; mais, dans tous les cas, on est assuré de pouvoir traverser le second bras avec un pont dont la longueur est, tout au plus, égale à CD; c'est un renseignement qui n'est pss inutile et que l'on peut désirer connaître, avant de commencer le passage.

21. — Examen du f»s où les rives ne sont pas parallèles. — Soient &, A' les rives que nous ne supposons plus parallèles; il s'agit de jeter, sur elles, un pont partant d'un point déterminé 0.

On rencontre une première difficulté qui lient à ce que la direction du pont devant être perpendiculaire à A', pour des raisons évidentes, il faut, avant tout, déterminer la direction de A' par une droite tracée dans la partie accessible du terrain. Nous donnerons, dans un chapitre suivant, diverses solutions du problème qui se présente ici ; mais, sans renvoyer à cas solutions, nous indiquerons, dès maintenant, celle qui nons parait la mieux appropriée an cas présent.

Du point 0, visons sur A' deux points A et B ; puis ayant relevé l'angle AOB marchons sur A jusque ce que nous trouvions un point C tel qne AO'B = ÂOB. Le quadrilatère

H LA ftiGLI KT DI L'tQCIKBI 163

AOB'B étant inscriptiblo, si l'oD relère l'angla BOO* et ai, par le point C, on trace Ça tel que AO'j; = BCO = BAC,

la droite O'x est éîidemment parallèle à &'. Le pont jeté, da point 0, doit donc avoir la direction de la droite Os, droite perpendicnlaire à 0'«.

Il faut encore déterminer la loogaenr de ce pont. Le point P qui, sur 4', représente l'extrémité du pont, peut être déterminé par la ligne de

visée sO; il snEQt d'observer an arbre, une pierre, ou le moi ndre obj et, pla ce, BQF A', dans le prolongement de sO. Il est donc possible de déterminer avec l'équerre ordinaire le point Q, où P se projette sar &. Les angles POR, OQR étant droits, on a a PO = ORx52.

Cette relation permet de calculer PO.