AB.BM = GB.BH

Cette égalité permet d'évaluer BM, quand on a relevé, par un chaînage, les longueurs accessibles AB, CB et BH.

27. Prolonger une droite AB dont les extrémités sont séparées par un obstacle. — Le théorème qui vient de nous servir dans la solution précédente peut être utilisé dans le problème que nous allons considérer maintenant. Ce problème peut se définir ainsi : Deux poinls A et B sont situés de part et d'aulre d'un obstacle U qui rend l'un d'eux invisible pour l'observateur placé dans le voisinage de l'autre; on propose de jalonner les prolongements do la droite AB, de part et d'autre de l'obstacle.

Prenons arbitrairement un point G, puis, avec l'équerre, effectuons les constructions (1, 2, 3, 4, S, 6, 7, 8); la droite A ainsi obtenue représente Tun des prolongements demandés. 11 va, sans dire, que le point G sera choisi de façon à

permettre le tracé des alignements dans les régions accessibles du terrain sur lequel on opère; si l'on veut avoir l'autre prolongement, celui qui passe par A, on de- *^' vra répéter, au point

A, les opérations correspondant aux lignes 6, 7 et 8, qui ont été jalonnées pour obtenir A.

28. — Remarque. Si l'on rencontrait, dans le voisinage de B, un second obstacle V, on profiterait de la droite HD qui, dans la partie accessible, est parallèle à AB, pour effectuer

DE LA RÈGLE ET DE L*ÉQUERRE i69

le tracé de A, comme l'indique la figure 458, Nous exami-

Fig, 458,

nons d'ailleurs, plus loin, et avec plus de détails, le cas des deux obstacles.

29. La solution par les alignements. — Nous allons supposer maintenant que Ton n'ait à sa disposition aucun instrument d'arpentage et nous nous proposons de résoudre le problème qui nous occupe par de simples alignements. Le nombre des solutions du problème ainsi posé est indéfini; les théorèmes relatifs à trois points en ligne droite (*) théorèmes que la géométrie élémentaire procure avec abondance, fournissent autant de réponses à la difficulté en question. Le livre des Porismes, notamment, est plein de propositions susceptibles d'être appliquées au cas présent; mais il suffît de signaler cette mine, sans qu'il y ait intérêt à énumérer toutes les ressources qu'elle renferme et nous nous ' bornerons à signaler quelques solutions, plus particulièrement simples.

La première qui se présente à l'esprit, solution donnée par Servois (**), par Bergery (***), et probablement par tous ceux qui ont écrit sur cette matière, est celle qui prend pour base la belle propriété des diagonales du quadrilatère complet. Voici d'ailleurs le détail des opérations qu'il faudra faire sur le terrain, quand on voudra l'appliquer.

On choisit, entre les points A et B, arbitrairement, un point

(*) Par exemple, celui que nous avons démontré dans la première partie (§§ 19 et 20).

(••) Loc, cit., p. 31.

(♦••) Loc. cit., p. 10

Gy plus voisin de B que de A et d'autant plus voisin de A,

que Tobstacle proposé a une plus petite étendue. On effectue alors les alignements (1, 2, 3, 4, 5, 6) indiqués par la figure. La droite NP va passer par le point C, conjugué harmonique ^vCL ^ de G par rapport

au segment AB. En Fig. 459. ' répétant une secon-

de fois (*) la construction précédente, on obtient finalement deux droites telles que NP qui, par leur intersection, déterminent un point du prolongement cherché A. Ainsi, on pourra, par de simples alignements, se procurer autant de points que Ton voudra du prolongement cherché.

Quant à la distance AG' elle se calcule par la formule

AÎr "^ AB"'ÂG' une table des inverses des nombres entiers, table dont nous nous occuperons dans le chapitre suivant, permet de calculer très rapidement la longueur AC'. Si Ton n'a pas à sa disposition la table en question, on fera le calcul de AG' au moyen de la formule précédente.

Deuxième Solution. — On peut obtenir le point G', dont il est question dans la solution précédente, par une seule opération comme nous allons le montrer. Cette seconde solution n'est pas, somme toute, sensiblement plus simple que celle qui est indiquée ci-dessus, mais elle donne lieu à une certaine vérification, présentant un intérêt pratique.

Gonsidérons, comme tout à l'heure, un quadrilatère com-

(*) Dans ce second tracé il faut observer que les jalonnements 1, 2, 3 peuvent servir et qu'U suffit, par conséquent, de modifier la position du point Q sur MG.

DE LA BÈGIiX ET DE l'ÉQUERRE 171

plet dont les points donnés A etB sont deux sommets; puis joignons le point 0, point de concours des diagonales aux points A et B; nous obtenons ainsi quatre points I, H, K, L. II est facile de reconnaître que les droites HE et IL concourent au point G'. En effety la figure ABMOEH constitue un quadrilatère

Fig. 160.

complet et la diagonale EH doit couper AB au point conjugué harmonique de G; c'est-à-dire au point G'. Gette remarque s'applique, bien entendu, à IL et Ton a, de la sorte, trois droites KH, NP, IL concourant en G'. De là, résulte, pour le point G', au point de vue pratique, une détermination plus sûre.

On peut résumer les deux solutions précédentes en obser Tant qu'à un point Q pris sur MG correspond une droite NP passant par le conjugué G'; pour déterminer celui-ci, il faut prendre deux points tels que Q et l'on obtient deux droites telles que NP; c'est la première solution. Mais, si l'on choisit pour second point Q, le point lui-même, chose naturelle au fond, alors, on a la seconde solution. Gelle-ci n'est donc en définitive qu'une réalisation particulière de la première, accompagnée d'une remarque pouvant d'ailleurs s'appliquer à la construction obtenue en prenant sur MG, pour second point Q, un point quelconque.

Troisième Solution. — Une solution un peu plus rapide, et

BSSAI SUR LA GÉOMÉTniE

Fig, i64.

bien distincte des précédentes, est celle qu'on obtient en

appliquant le principe de la transformation homologique (*).

La figure montre comment on a obtenu le point G sur le

prolongement de ÂB, au moyen des deux triangles homologiques ^ iwnp,mVp'.Le8 ■ jalonnements peuvent être effectués dans l'ordre (1, 2, ...8) indiqué; et, comme la direction des

alignements 1, 2, 3, 4, la position de la droite 5, et même la direction de la droite 6, restent arbitraires, on voit qu'il y aura moyen, dans la plupart des cas, même dans ceux qui offrent une certaine difficulté pratique, de disposer les jalonnements de façon à déterminer la position du point C.

Le calcul de BG est moins simple que dans les solutions précédentes. Il faut avoir recours au théorème de Ménélaiis qui donne ici

np.mPi.

Il y aurait cinq droites à chaîner pour obtenir BC; cette formule paraîtra donc compliquée, du moins, comparée à celle que nous avons donnée dans la première solution.

Nous voulons borner à ces trois procédés (qui n'en forment réellement que deux, comme nous l'avons fait remarquer) la solution du problème de l'obstacle, par des alignements. On observera certainement que ces procédés offrent, dans la pratique, une certaine complice (ion qui tient au nombre assez

(*) On sait que le théorème en question est dû à Desargues; voyez CEuvres de Desargues, réunies et analysées par Poudra; Paris, 1864, t. I, pp. 513, 430. On trouvera une analyse de Touvrage cité dans (è tome IlJt série II, des Nouvelles Annales,

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 173

grand des alignements qu'ils nécessitent. Mais la raison de cette complication est naturelle, et il parait difficile d'imaginer, sans autre instrument que le jalon, une solution plus simple que celles que nous avons fait connaître dans ce paragraphe. Il n'en est plus de même quand on s'accorde le droit de mener des parallèles, opération qui peut se faire, très rapidement, avec la fausse équerre ou avec l'équerre ordinaire. On peut alors, par l'emploi simultané des alignements et de l'équerre, obtenir des solutions très simples du problème en question. Nous allons en indiquer quelques-unes.