Les solutions par l'équerre et les alignements

—Les solutions que nous allons développer dans ce paragraphe se distinguent de celle que nous avons donnée plus haut (§ 23) en ce que l'on ne fait usage de l'équerre que pour mener des parallèles, et non pour élever des perpendiculaires. Il y a là, au point de vue pratique, une différence que l'on appréciera, sans que nous ayons besoin d'y insister. II résulte, notamment des conditions dans lesquelles nous nous plaçons ici, que la fausse équerre, pour les solutions que nous avons en vue, est tout aussi bonne, pour ne pas dire meilleure, que l'équerre ordinaire; car, bien que la fausse équerre puisse servir, comme nous l'avons montré, au tracé des perpendiculaires il faut reconnaître qu'elle n'arrive pas à ce tracé sans un certain effort et Ton doit considérer la fausse équerre comme étant, avant tout, l'instrument des parallèles.

Première Solution. — Considérons un triangle ABC, et soit AD une droite a

quelconque issue de A et rencontrant BC en D ; menons MN m^— / v-'-^?^

parallèlement à BC et joignons enfin BN

qui coupe AD en P, ^:^ ^ — ^^^'^' ^

puis MP ; celte der- " v ^«(/. '«-^

nière droite coupe BC en un point Q qui reste fixe quand MN se transporte parallèlement à elle-même (*).

(*) Cette propriété fût partie de trente-huit lemmes de Pappus sur les

174 BSSAl SUR LA GÉOMÉTRIE

En donnant à MN deux positions arbitraires on obtient le point Q et Ton achève la construction en menant par Q une parallèle à MN.

Il reste à indiquer comment on évalue BQ.

De la relation

BD*=:DQ.DC, on déduit

BD* = (BQ - BD)(BG - BD), ou

BQ ""BD ~ BG' Cette formule permet, dans tous les cas, de calculer BQ; mais si l'on possède la table des inverses, à laquelle nous avons déjà fait allusion, le résultat sera lu immédiatement sur cette table.

Seconde Solution. — Voici une seconde solution; elle exige, il est vrai, un emploi plus continu de la fausse équerre, mais elle présente Tavantage de donner un point G symétrique du point Â, par rapport à B, ce qui, à l'occasion, peut être utile.

Dans tous les cas, pour mesurer BC, on n'a aucun neuve au chaînage à faire, puisque BG = AB.

"o Ayant détermi- ,^^ né, quelque part,

les extrémités M, N d'un segment parallèle à AB, on effectue les alignements (1,2,... 7). Les droites 4 et 7 concourent en un point G situé sur AB et tel que BG = AB.

Porismes d^Euclide (Voyez: ks trois livres des Porismes, p. 89; proposi"

tion VII).

EUe se démontre immédiatement en observant <iae l'on a

MI BD , .MI DQ — = — « et aussi — = — .