PC SP AR

QG "" AS'RQ' On connaît donc le rapport des segments PC, QC et leui' somme ; le point G se trouve ainsi déterminé. Mais cette solution exige plusieurs chaînages.

(*) Cette lettre a été omise sur la figure.

Si la droite RS rencontre PQ dans les limites du terrain (et Ton peut toujours, par quelques tâtonnements, faire en sorte qu'il en soit ainsi ; il suffit de rapprocher suffisamment Q du

point inconnu C), on a

et la table des inverses, dont nous parlerons bientôt, par un calcul rapide, donne G'C.

Pour prolonger AB au delà du second obstacle, on pourra mener, par les points P, Q, des parallèles A, A' à AB, c et, après avoir jalonné

Fig. 46â nne droite G'QT', on

prendra sur celle-ci un point G^ la longueur C'C* étant calculée au moyen de Tégalité

On peut d'ailleurs, la chose est manifeste, obtenir le prolongement 8 de AB en considérant les deux obstacles U et V comme constituant un seul et même obstacle. Alors pour déterminer 8 , on appliquera Tune des méthodes que nous avons indiquées plus haut; ou toute autre, car elles sont innombrables. Mais on a bien compris que l'intérêt de la remarque précédente porte, non, sur la construction de 8, mais uniquement sur la détermination du point G, point situé entre les deux obstacles et sur le prolongement de AB.

Second Gas. — Supposons maintenant que les obstacles U et V soient disposés comme le montre la fig, ^65; alors on ne peut prolonger PG de part et d'autre des obstacles, comme dans le cas que nous venons d'examiner. Sans doute, on pourrait répéter la construction indiquée en prenant les points P et Q sur une semi-droite partant de la région comprise entre U et V; mais nous profiterons de la disposition

DE LA IIÈGLB ET DE l'ÉQUERRE 177

particulière que nous venons d'imaginer pour signaler une

autre solution.

Jalonnons deux alignements AR, AS, et d'un point M, pris surAB, abaissons des perpendiculaires MP, MQ; puis, jalonnons une droite RS parallèle à PQ et choisie de telle sorte que les perpendiculaires élevées aux droites A, A' aux points R,S, pénètrent dans la région qui est située entre U et V. Nous avons ainsiconstruit deux figures homothétiques, et le point G, obtenu par cette construction, est situé sur AB. Fig. 4(io.

Si Ton opère avec une fausse équerre.on remplace les angles droits que nous avons considérés par des angles quelconques, mais égaux, deux à deux; le principe des figures homothétiques étant d'ailleurs appliqué, comme il vient d'être dit.

32. Examen du cas où l'obstacle est inaccessible. — L'obstacle peut être inaccessible dans plusieurs conditions; pour chacune d'elles, se présentent des difficultés que nous allons successivement considérer.

Premier cas particulier. — Supposons, pour donner une idée de la difficulté matérielle que nous abordons ici, que l'obstacle que nous avons à considérer soit constitué par une lie boisée, située au milieu d'une rivière.

Les solutions que nous avons données jusqu'ici supposent, toutes, que l'on puisse librement circuler autour de l'obstacle, au moins dans l'une des régions qui correspondent à la droite que l'on veut prolonger, de façon à pouvoir jalonner les alignements nécessaires. Dans le cas présent, les jalonnements ^ peuvent bien être faits succès- ^ sivement, sur une rive, puis sur l'autre; mais il existe entre ces ^*^- '^^•

deux opérations une discontinuité matérielle, causée par Ifr

l'iH ESSAI hVR LA GÈUUÉTHIB

préiieucti de la rivière qui eotoure l'obstacle. Nous devous donc indiquer commeul doivent être exécutés les jalouueraents, aiusi sépaiC'S les uns des autres.

Suieut A et A' deux parallèles tracées sur les rives opposées. Pour prolonger AU sur la rive A', h travers l'obstacle U, on prendra sur A un point arbitraire C, puis CD = BC et l'on fiicera des jalons aux points A, C et D.

Après avoir franchi la rivière, on détermine alors sur A', les points C et D' qui, sur A, sont eu ligne droite sivec : A, C d'une part; A, D d'autre jjart. Enfin, ayant pris, avec le cordeau, C'B' — D'C ; le point B', ainsi trouvé, représente le point oîi An prolongé rencontre A'. l"u répétant cette opération pour une droite A" parallèle à A', on obtient un second point B" du prolongement cherche, et celui-ci se trouve, aiusi, coniplèlomcnt déteiminé.

Behakque. — Nous avons supposé, dans la solution précédente, que les rives A, A' étaient parallèles, ou, du moins que l'on avait jalonné, de part et d'autre de la rivière, deux alignements parallèles. Ces alignements Imaginés ici, sont toujours l'aciles à obtenir, soit avec la fausse équerre, soit avec i'équerre ordiuaire. Mais, si l'on n'a pas d'équerro h sa disposition, ou peut néanmoins résoudre, sans autre emploi que les jalonnements et avec l'aide du cordeau, le problème précédent, en opérant comme nous allons l'indiquer.

Prenons sur A des points C, D et K, soit arbitrairement. soit, ce qui est préférable, de telle sorte que

nous adopterons cette seconde hypothèse.

La propriété du rapport anbarmonique, appliquée aux deux ponctuelles qui se trouvent sur A et sur A', donne h'C E'C

Le point B' peut être déleriiiiné d'apn's cette égalité: cl. bien que la solution, signalée ici, présente, dans sa réalisa-

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE

lion, quelques longueurs; elle offre pourtant un intérêt réel, si rôn se refuse remploi de Téquerre.

Deiujcième cas particulier. — Deux points A et B sont visibles, mais ils sont situés dans une région inaccessible; on propose de jalonner, dans la région accessible, le prolongement de AB, en supposant: soit que les points A et B soient séparés par un obstacle qui ne permet pas de les viser, simultanément, dans la région accessible; soit que le segment AB rencontre, dans la région oîi il est situé, un obstacle qui le masque complètement à Tobservateur placé dans la partie accessible.

Soit V Tespace inaccessible dans lequel se trouvent deux points A, B visibles de certains points placés dans la région accessible V; mais la droite AB est cachée par un obstacle U pour un observateur placé au point G oîi AB roL contre la droite A qui sépare les deux régions V, V ; et, dans ces conditions, on demande de déterminer G.

1® Supposons d'abord que les points A et B ne soieut pas très éloignés de A. Nous pourrons, avecTéquerre d'arpenteur, jalonner les droites aA', pB\ qui, dans Tespace V, représentent les perpendiculaires abaissées des points A et B sur A. Soit le milieu de AB. Ayant jalonné dans V les prolongements de AO et de »

BO, nous obtenons -'''' deux points A', B'.

La droite A'B' rencontre A en G' et le point inconnu G estle symétrique de C par rapport à 0.

2® Cette solution cesse d'avoir un caractère pratique si les points A et B sont à une grande distance de A (*). Voici, dans cette seconde hypothèse, une solution préférable.

{*) Cette condilion n'a pas été indiquée sur la figure. Pour plus de

Supposons, pour varier la disposition relative de robstacle

V et des points A et B, que

V soit placé entre A et B ; AB rencontre A en un point M que nous nous proposons de déterminer. A. cet effet, prenons dans la partie accessible V un point J d'oii Ton puisse aperce voir simultanément A et B. SoitMIle

p^ jiQ^ prolongement inconnu de

AB; avant mené la droite CG parallèlement à A nous avons