FÂ

cette égalité permet de calculer CC, quand on a chaîné les segments BB', B'A, A'C et AA'.

Il est vrai que la formule précédente est, relativement, compliquée ; mais on peut, dans la plupart des cas, lui substituer, pour la solution du problème en question, une égalité plus simple que nous allons indiquer.

Le point C est arbitrairement choisi ; supposons que, au moyen du cordeau, nous prenions A'C = A'A ; puis, joignons CA' et prolongeons cette droite jusqu'à sa rencontre en M avec BB',

Nous avons

et, par comparaison avec (1)

MB'. A'C' = AA'.B'C - BB'.A'G'.

Mais nous supposons AA' = A'G', cette égalité prouve donc que

MB = B'G'.

De là une construction très simple pour déterminer le point inconnu G, avec la fausse équerre et le cordeau.

On trace les parallèles AA', BB' et, avec le cordeau, on prend A'C = A'A ; puis, toujours avec le cordeau, BM = B'G' ; la droite MA' et la parallèle à AA', menée par G', concourent au point cherché.

On déterminera, de même un second point sur le prolongement de AB et Ton aura finalement, de part et d'autre du bois, les deux jalonnements qui doivent être prolongés

pour exécuter, comme on Ta proposé, deux percées, partant des points donnés Â, B, et constituant une seule et même droite.

Remarque I. — On peut avoir besoin d'évaluer, avant de Tentreprendre, le travail oécessaire pour obtenir la percée AB ; en d'autres termes, on peut demander la longueur AB.

Cette distance s'obtient en observant que

Remarque II. — Le problème précédent est analogue au problème du tunnel; du moins, quand l'obstacle qu'il s'agit de percer est tel que les points A et B peuvent être reliés l'un à l'autre par un circuit rectiligne, se maintenant dans un terrain horizontal. Mais, dans le cas le plus ordinaire, celui où l'obstacle qu'il s'agit de percer, de A en B, appartient à une chaîne de montagnes, le problème présente alors plus de difficultés; il exige l'emploi des formules trigonométriques et il cesse d'être du ressort de la géométrie de la règle et de l'équerre.

35. Les percées concourantes. — On suppose, dit Bergery [loc. dt.), que deux allées pratiquées dans un bois concourent en à un rond-point, ou à la grille d'un château ;

et l'on veut, en partant d'un point pris sur la limite du bois, effectuer une percée nouvelle, partant de ce point, pour aboutir en 0.

Au fond, le problème revient à mener, par un point, une droite allant passer par le point de concours inaccessible de deux droites données; et ce problème peut, comme l'on sait, se résoudre ^^9' ^75. de bien des façons diverses;

notamment par la considération des pôles et polaires, comme Ta montré Bergery.

DE LA RËbLE ET DE L'ËDUEnnE

Nous rapporterons d'abord la coustruction qu'il indique ; bien qu'un peu longue, elle offre l'avantage de résoudre le problème par des alignements, sans avoir recours à la chaîne, DU même au cordeau.

Soient &, A' les alignements donnés, concourant en 0; il n'agit de mener par C une droite i' allant passer par ce même point 0. A cet elfet, par <J, on mène deux transversales AB', B\'; les droites AB, A'B' concourent en M. Par M, on trace une troisième transversale quelconque MA'B'; on obtient alors, comme l'indique la figure, un point C. La droite GC étant la polaire de M par rapport aux droites A, A', on sait que ce passe par le point 0.

Le problème est donc résolu. On observera que les droites iB', BA' donneraient, par leur concours, un point en ligne droite avec CC ; cette remarque fournit une vérification de la construction précédente.

Voici, pour le même problème, une constructiou qui nous parait plus pratique; elle

permet en même temps (l'évaluer, à priori, le travail de l'entreprise, ou, si l'on préfère, la dépense correspondante.

Menons, par G, des droites Cn, Gn' respecti- 'ement parallèles à A et à i'; puis, ayant tracé deux jalonnements arbitraires mnp, m'n'p', prenons sur ceux-ci des points p, p' tels que "P - mn, n'p' = m'n'.

Si nous menons alors, parp dp', des droites S, S' parallèles à A et à A', nous obtenons un point 0'. La droite O'G passe par 0; déplus, noua avons O'G — GO. Cette double remarque nous paraltrésoudre complètement, et simplement, le problème dos percées concourantes.

i'M tïSAl SUII LA GËOMÈIRIE

36. La percée centrale. — On suppose qu'une route A, déjà tracée, traverse uq certain bois U el l'oa propose, en partant d'un point C, d'elTectuer uue percée nouvelle coupant la partie AB, iulercoptée par U sur A, en deux segmeotB égaux.

La solution de ce problème est des plus simples. Sur à,

avec le cordeau, ou prendra deux segments égaux AÂ.', BB'

. ,, les points A', B'

■/^'l^f''-^'^ étajit choisis de

>Tlti.. *f* . a telle sorte qu'ils

soientvisibles.l'un

etl'autrc, dupoint

C, Ayant mené

MN parallèlement

à A, la droite qui

joint C au milieu

Fig. *77. J de MN passe

évidemment par le milieu I de AB.

Si, généralisant ce problème, on voulait couper AB daus

un rapport donné — ; on voit qu'on devrait prendre les segments AA', BB' proportionnels à p et à 7, puis partager MN dans le rapport - •