CHAPITRE IV

lA UISTANCB AU POINT INACCESSIBLE

Mous abordons niainteuant les dilféi'euls problèmes (jui concernent un point supposé inaccessible. Parmi ces problèmes, le plus connu, et aussi le plus intéressant, est celui qui se propose do mesurer la distance d'un point donné, accessible à un autre point inaccessible.

Nous avons déjà, au chapitre II, à propos du problème do la largeur de la rivière, examiné ce problème, pour lequel nous avons indiqué diverses solutions. Mais noua reprenons

DE LA RÈGLE tl DE l'ÉQUERUE 191

ici cette intéressante question pour la traiter par des procédés variés et avec les développements qu'elle comporte.

37. Les solutions parla fausse équerre. — Première Solution. Soit G le point situé dans la partie inaccessible U; on propose de déterminer la distance du point donné 0, à ce point G.

Dans la partie accessible V, traçons un jalonnement AB et prolongeons, suivant OD, la ligne OG. Plaçons ensuite la fausse équerre en un point ',:c

arbitraire A et jalonnons la direc- ,, ' //

tien AD donnée par Tune des ^- ' / /

branches, l'autre braucho étant /-'////

dirigée suivant AC. Sans toucher '^'- ^1^^^^^'^^^^^^ aux branches qui indiquent alors l'angle DAC, on détermine, par ^'*^- '^*-

tùtonnemenls, un point B de A, duquel on voit les points G et D sous un angle supplémentaire de DAG. Nous disons qu'il ne faut pas, pour l'opération que nous décrivons, modifier la position des branches de la fausse équerre; car, suivant qu'on vise deux directions des branches, ou, au contraire, Tune d'elles et la direction opposée de l'autre, on obtient évidemment deux angles supplémentaires. En un mot, la famse équerre donne, en même temps, un angle 6 et Vangle :r- ô .

Ayant mesuré, avec le ruban divisé, les longueurs OA, OB, OD le théorème de Ptolémée donne

OA.OB

Deuxième Solution. — Traçons, dans la région du terrain sur laquelle on peut opérer, une base OA et jalonnons les parties accessibles OE et AG des droites MO et MA.

Si nous effectuons le tracé qu'indique la figure, dans laquelle CD et AB sont parallèles à OE, une propiiété connue donne

Il I

ÔM"" gH ~ Âb'

E^SAI SLA LA GÉOMÉTltlE

Cette égalité permet de calculer OM, quand on a mesuré

CD et AB; ce calcul se trouve d'ail leurs immédiatement fait quand on possède une table des inverses des nombres entiers. Nous avons déjà, précédemment, et à plusieurs repriseS; fait allusion à celle-ci; et nous aurons encore, dans la suite, plus d'une occasion de préconiser son emploi dans les opérations d'arpentage. Nous allons, dans le paragraphe suivant, faire connaître, à propos du problème qui nous occupe, la pratique de cette table.

f^O' ''*• Mais avant d'aborder cette expo-

sition, nous indiquerons encore deux solutions, presque aussi simples que la précédente et qui s'appliqueraient au cas ou, pour de certains motifs, les chainage^ne pourraient être faits que sur la droite allant du point donné au point inaccessible.

Troisième Solution. — Prenons, sur la partie accessible de

OM, un point arbitraire Q pour le joindre à un autre point A, pris en dehors de OM, mais, bien entendu, dans la partie accessible. Menons alors CB parallèlement à OQ; soit D le pointdeconcoursdes lignes OC, BM; AD coupe OM en un point P.

Nous allons montrer que

ÔM ^ ÔP "" ÔQ ' En effet, le triangle AOP et la transversale BDM donnent MO DP BA

mp'da'bo" '• ^^

On a, de même en considérant le triangle APQ et la

Fig. 180,

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 193

transversale GDO

OP DA GQ

oq'dp"ca~ '" ^^^

Multiplions {^) et (2); en observant que GB étant parallèle à OM, les rapports :^— > ^^ sont égaux, il vient