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E CAE us ee EÉ)=E(5)= 0
nr UT lo ie NUS ee zu E VF ONRCE
La somme de tous ces nombres = 1665; donc le produit dont il s'agit est divisiblé par 7%.
Si le nombre proposé “he été une RE enuere de 7, on aurait
en exactement += }V ΠHas - + etc. )= =
« En général, si om a IV — 0", le nombre des Buste 8 compris dans le produit 1.2.5...1V sera
Et si on fait, comme on peut toujours le supposer, NN AûmE Br CF ete.
les coeficiens 4, B, C, etc. étant plus petits que 4, il en résultera
N—A4—B—C— etc.
XVIIL. Dans le cas particulier où 0— 2, si l'on a N= 2", il en résultera x— N— 1, et si l’on fait généralement
N = 2" + 2"-L 2 + ete., x=N—#,
}: étant le nombre des termes 2", 2", 2, etc. dont se compose la valeur de N.
Veut-on, par exemple, savoir, combien de fois 2 est facteur dans la suite des nombres naturels de 1 à 1000 ? on décomposera 1000 en puis-
sances de 2, savoir 29 25-97 26.1 25.1 23: et comme le nombre de ces termes .est 6, le nombre cherché sera 1000 — 6. ou 994.
Le méme résultat s'obtient non moins facilement par la formule ge= nérale, car on a E( = )=— 500, E(E)= 250, E(E T)æ= au,
Æ (©) =1;, et la somme de ‘tous ces nombres = 994.
on aura .
XIX. « Tout nombre prémier excepté 2 et3, est compris dans la » formule 6x1. »
En effet, si l’on divise un nombre impair par 6, le reste ne peut être que lun des nombres 1, 3, 5. Donc tout nombre impair peut être représenté par l’une des formules 6x + 1, 6x 4-3, 6x#+5. La seconde
+3 2-5 ni = Le? w SR - cite pire tiens ed Sn ge À
INTRODUCTION, 11 me peut convénir aux nombres premiers, puisqu'elle est divisible par 3, èt que 5 est excepté; d’ailleurs la formule 6x+ 5 contient les mêmes nombres que 6x— 1; donc tout nombre premier, hors 2 et 5, est compris dans la formule 6x 1.
Il ne s'ensuit pas réciproquement que tout nombré compris dans;la formule 6x = x soit un nombre premier; on trouverait que cela n’a pas lieu lorsque x—4, 6, etc.
XX. En général il n’existe aucune formule algébrique propre à n’ex2 primer ue des nombres premiers. Car soit, par exemple, la formule P—ax + bx® + cx + d, et supposons qu’en faisant x — À, la valeur de P soit égale au nombre premier p: si on fait x —=X po > étant un entier quelconque, on aura
PE p+ (Sal + 20k + c)py E(3ak HD) p°y° + apr",
d'où l’on voit que P n’est pas un nombre ÉR puisqu'il est divisible par P et différent de p:
Il est néanmoins quelques formules remar ADS par la multitude:des nombres premiers qu'elles contiennent: telle est la formule x°+x+41, dont Euler fait mention dans les Mémoires de Berlin, 1772, pag. 36, et dans laquelle, si l’on fait successivement x—0, 1, 2, 3, etc., on a la suite 41, 43, 47, 53, 61, 71, etc., dont les quarante premiers tèrmes sont des nombres premiers.
On peut citer dans le même genre la formule x x + 17, dont les dix-sept premiers termes sont des nombres premiers ; la formule 2x°--20, dont les vingt-neuf premiers termes le sont, et une foule d’autres.
XXI. Si on ne peut pas trouver de formulé algébrique ‘qui renferme uniquement des nombres premiers , à plus forte raison n’en peut-on pas trouver.une qui renferme absolument tous ces nombres et qui soit l’expression de leu loi générale. Cette loi paraît très-diflicile à trouver, et il n’y a guère d'espérance qu’on y parvienne-jamais. Cela n'empêche pas qu'on ne puisse découvrir et démontrer un grand nombre de propriétés générales des nombres premiers, lesquelles répandent un grand jour sur leur nature,
«+ Et. d'abord nous pouvons démontrer rigoureusement que la a des, nombres prerniers est infinie.
Car si la'suite des nombres premiers 1.2.3.5.7.r1, etc. était finie, “étque p fut le dernier ou le plus grand dé tous, il faudrait qu'un nombre
TA RE RG RG
ERP de
HÉRCURTES IN füt toujours divisible par quelqu'un des nombres premiers 1.2.3:5...p. Mais si on LE pi Het par 2 le produit de tous ces nombres (1), 1l est clair qu'en divisant P +1 par l’un quelconque des nombres premiers jusqu'a P , le reste sera 1, Donc l'hypothèse que p est le plus grand des nombres premiers ne saurait avoir lieu; donc la multitude des nombres premiers est infinie.
Cette proposition se prouve encore d’une mamière directe et fort élégante , en faisant voir que la suite réciproque des nombres premiers Br rip etc, a une somme infinie ( /ntrod. in Anal. infin., pag. 235).
XXII. Tous les nombres impairs se représentent par la formule 2x1, laquelle, selon que x est pair ou impair, contient les deux formes 4x + 1 et 4x— 1 ou 4x3. De là deux grandes divisions des nombres: premiers , lune comprenant les nombres premiers 4x1, savoir, 1, 5, 13, 17, 20, 37, 41, 53, 61, 75, etc.; l’autre comprenant les nombres premiers 4x—1 ou 4x3, savoir, 3, 7,.11, 19, 23, 31, 43,47, 59, etc.
La forme générale 4x+1 se subdivise en deux autres formes Br et 8x—3 ou 8x—+5; de même la forme 4x3 se subdivise en deux auires 8x3 et 8x7 ou 8x—1; de sorte que relativement aux multiples de 8, les nombres premiers se partagent en ces quatre formes principales :
EL FT 1. . 1, 17) 41, 7951005 07» 110, 197;! ELC. 8x3 . ". 3, 11,-19,.45, 59, 67, 83,107, etc 8x +5. . . 5, 13,20, 37, 53, 61, 101, 100, etc. 8x +7... 7,.23, 315 47, 71, 70, «103, 127,) etc. ;
(1) Si l’on admet successivement 29, 3, 4, etc. facteurs dans le ‘produit P, on tronvera qué le nombre P +1 prend les valeurs 3, 7, 31, 211, 2311, 30034, etc. Les cinq premiers termes de cette suite sont des nombres premiers, ce qui pourrait faire présumer que les 'suivans le sont : mais cette conjecture est bientôt anéantie, en exa= minant le sixième terme 30081, qu'on trouye être le produit de 59, par 5c9..En général, c’est ün problème difficile et non encore résolu, de trouver un nombre pre= mier plus grand qu’un nombre donné. Fermat avait annoncé (mais sans dire qu'il en eût la CEMEESU ON) que la formule 2° 1 donnait toujours des nombres premiers, pourvu qu’on prit pour æ un terme de la progression double 1, 2,:4, 8, 16, etc. Cette formule, qui aurait fourni une solHtion très-simple du problème! mentionné, s'est trouvée en défaut; car suivant la remarque. d'Enler, :si l'on fait x = ;-0n
INTRODUCTION. 13
lesquelles donnent lieu à différens théorèmes qui caractérisent ces formes et que nous exposerons dans la suite.
XXII. Nous avons déja vu que les nombres premiers, considérés ‘ par rapport aux multiples de 6, sont de l’une des formes 6x+ 1 et 6x—1 ou 6x+5; dans celles-ci x peut être pair ou impair , et de là résultent, par rapport aux multiples de 12, les quatre formes 1227+1, 12%5, 12x47, 12x11, chacune renfermant une infinité de nombres premiers. É En général, & étant un nombre donné 2 volonté, tout nombre impair peut être représenté par la formule 4ax + b, dans laquelle à est impair et moindre que 24, ou, ce qui revient au même, par la formule 4ax+b, dans laquelle à est impair, positif et moindre que 4a. Si, parmi toutes les valeurs possibles de à ; on retranche celles qui ont un diviseur commun avec a, les formes restantes 4ax +6 comprendront tous les nombres premiers (à l'exception de ceux qui divisent 4a) partagés, relativement aux multiples de 44, en autant d'espèces ou formes que aura de valeurs différentes. Le nombre de ces formes est évidemment le même que celui des nombres plus petits que 44 et premiers à 4a; donc si on a 4a — 2"4"€r, etc., «, 6, etc. étant des nombres premiers , “le nombre de ces formes sera done par la formule
sis) (=) =) a
XXIV. Par exemple, si l’on a 460, il en résulte a—16. Ainsi, relativement aux multiples de 60, tous les nombres premiers ( excepté 2, 3, 5, diviseurs de 60), se partagent en seize formes, savoir :
6ox+ 1, G6ox+ 7, 60x11, 60x13, 6ox +17, 60x19, 60x23, Gox +29, 6ox +31, 6ox +37, G6ox+4r, 60x43, 6ox +47, 6Gox+49, 60x53, Gox+ 59; on prouvera, de plus, par la suite, que la distribution des nombres
premiers entre ces seize formes se fait également, ou suivant des rapports qui tendent de plus en plus vers l'égalité,
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