TROISIÈME PARTIE, Bit

Elle a donc lieu en effet, et la proposition est vérifiée dans toute sa généralité.

(284) Exemple. La formule #+65w à pour diviseur trinaire,.. 07° + 873 + 93 — (27 —3) + (27 + 2z) (y + 22), etla valeur correspondante de c est c—6°+ 2°+ 5°. Soit y =5, :=—2, On aura le nombre compris M — 181 — 12° +6? 1°; si d’après cette valeur on cherche le diviseur trinaire correspondant de #— 1814, on trouvera que ce diviseur est 5y°+472+ 572°= y" + (62) + (27 +2)"; or cette formule comprend 65, en faisant y=2 et z—1, et on a la forme irinaire 65—2°+6°+ 5, tandis que la valeur trimaire de Ÿ qui résulte du même diviseur est 181 —12° + 61°. De là on voit que 65 et 181 se reproduisent sous les mêmes formes trinaires, soit qu’on considère 65 comme diviseur de £ + 181u°, ou 181 comme diviseur de &+65v, ce qui est conforme au théorème.

(285) Tréorème V. «Si le diviseur quadratique A=—py"+29yz+-rz", » appartenant à la formule {+-cu*, est susceptible de plusieurs formées » trinaires, et que dans ces diverses formes on substitue pour y et z » les valeurs déterminées y =f, z2=—2, je dis que les formes trinaires ». qui en résulteront pour le nombre N=pf+2qfg—+rg*, seront toutes » différentes entre elles, au moins tant que JV surpassera £c. »

En effet, si on cherche par une analyse directe quels sont les cas où deux formes trinaires du diviseur À donnent pour le nombre déterminé ÎV une même valeur trinaire, on trouvera que /V ne peut surpasser 5c. C’est ce que nous allons développer.

Supposons que le diviseur A —=py°+ 2973 r3" Soit susceptible des deux formes trinaires :

A = (my + n3) + (m'y + nz) + (m'y + »'3)

A (ay vs) + (y vs) + (arr), ensorte qu'on ait simultanément :

P mn + nm? om = pe + pu? + pu?

g = mn mr Æmr = pr + py puy or AN ne ne — y Hip HE 2.

Si les valeurs particulières y=f, 3—g, qui rendent le diviseur A égal à A, sont telles que les deux formes trimaires de A se réduisent

l Br —— ———— I D emmener ee ss 2

à une seule de V, il faudra qu'on ait

[ mf + ng = pf + »g { mf + ne = f + vg LA fer mf + ne pf+ v'£.

| Car les deux formes trinaires qui doivent coïncider, peuvent être dis= posées de manière que les termes EE soient de même rang et de même signe.

| D'ailleurs puisque f et g sont premiers entre eux, on satisfera géné« ralement aux trois équations précédentes, en prenant trois indétermi-

nées a, &, a’, et faisant

CYX b

y =n af, = +af, » = nr af; substituant ces valeurs dans celles de p, q; r, on aura les trois équations :

| ( | p=m—ag, W=m—de, B'=Mm — 8 | | }

| Lg (a+ a? + a) — ma— m'a — m'a = 0 | 4 all il Lf(a +a+ a) + na +na + na = 0 (4) | ll Jg (a ar de AU an — n'a" |,

— f (ma m'a +m'a”)

où l’on voit que la troisième est une suite des deux autres, et qu’ainsi il suffit d’avoir égard à celles-ci.

De quelque manière qu’on satisfasse aux Édations (4), les valeurs de f et de g détermineront un nombre N=—pf* + 2qfg + rg*, ‘tel | qu’en y appliquant les deux formes.trinaires de A, elles se réduiront à | une seule valeur trinaire de V. Cherchons donc la plus grande valeur || de AV qui donne lieu à cette coïncidence,

Et d’abord observons que comme f et g ne peuvent être tous deux pairs, il résulte des équations (4) que le nombre & + a°+al doit être pair. Soit donc

+ a + ar 2k, on aura ARS na+ n'a + n'a" ï? ___ ma—m'a+ m'a" Jar te D PRE AU

d'où l’on tire

k (mf + ng) = (nin — mn')d — (mr — m'n)a k(mf+ng) = (nr — mr)a" — (mn — mn )a -k(mf+re) = (mr — m'n)a — (mr — m'n')a'.

mme RE

La forme trinaire de ë qui répond au diviseur trinaire (y + nz)* a (my + 2} + (m'y + ns), étant c —(mn FH + (nr — mn),

+ (r'n— mn"), faisons pour abréger,

pi LR ji ' < tm 2 nn — m Ta, m A — mn nn = 6 » URL RE. UE V9

afin qu'on ait c—a+6*+ 7", les équations précédentes donneront

k(mf + ng) — RE Ca’ k(mf + ng) —=.aa" nya k(mf + n'&) = FR — ad,

Quarrant ces équations et les ajoutant, Caire EN = (ja — Ca) + (aa — ya) + (a — aa’).

Mais puisqu'on a c—a* + CL)" .et 2k— + à — a”, il est facile de voir que le second membre se réduit à 2ck—(aa+ Ca +ya"), de sorie qu'on aura

EN = 20h — (aa + Ex + ya’).

Ce résultat prouve que la limite de IV est T et que ne peut atteindre cette limite que lorsqu'on a aa+6a ya" —o.

(286) La limite de W sera d'autant plus grande que sera plus petit; voyons donc quelle peut être la plus PESSE valeur de 4.

Les valeurs que doivent avoir a, d, a", pour que a dè=t a": soit le plus petit possible et cependant pair, sont o, 1, 1; mais alors on aurait f——n— 7", g—nm+m", et la forme (puy +2) (puy) +(uy+1"z), ne différerait que par l’ordre des termes, de la forme (ny ns) + (my + n'z) + (m'y Hn'z),, ce qui est contre la supposition.

On ne peut faire non plus 4—0,4—0, a'—2, parce qu’alors les deux formes trinaires de A seréduiraient encore à une même forme. La moindre valeur de Æ a donc lieu lorsqu'on fait 4a=1, 4 —1, d"=2; alors on

a k—3, et la limite cherchée est N < £c, conformément à l'énoncé du éorcme

(287) Pour que À atteigne cette limite, il faudra qu’ on ait... a+6—+2y—0, ou CS de la c—u+46+)—2(6+)) 18, et comme on a V3 c, il faudra que c soit divisible par 3: Faisant donc

EH y—39\, on aura c— 33° + 18d", et y devra être impair, sans:quoi IN serait divisible par 4, ce qui n’a pas lieu dans les ombres suscep—+ tibles de formes trinaires.

Ces résultats.sont faciles à vérifier; car d’après la valeur trouvée de c, l'un des diviseurs quadratiques de {= eu’, est

A=— (a+ 129") y® + (27° + 129%) 3 + (2 ds. LDES

lequel se décompose en iroïs quarrés, de ces deux manières : QT HER HO add 5) (ad y 2) (+2 7 +595 3) + —2dy +5 AE ous CV nn 3)*

et ces deux formes se réduisent à une seule lorsqu’ on fait JE 1 50;

ce Er) donne N— 2} r2d"—32c.

(288) Tuéorème VI. « Si le nombre est compris de ». manières » différentes dans un ou plusieurs diviseurs quadratiques de la formule » + cu; sien outre chacun de ces diviseurs est décomposable en # » formes trinaires, et qu’en conséquence le nombre M reçoive,, comme » diviseur de la mule + cu*, mn Valeurs trinaires; je dis que toutes. » ces valeurs trinaires seront différentes les unes ds autres, excepté 1e cas de NV <%c, et celui où on pourrait satisfaire à l'équation » c—y"+Nz, sans supposer 3—0.»

En effet, l’une des formes trinaires de peut toujours étre représentée par la formule N— 24° u°B°+°C*, en supposant que la valeur correspondante de c soit fu" + g°»°+ hu, et qu'on ait entre les nombres 4, B, C la relation f4+gB+hC—=0.

Une seconde forme irinaire de VW pourra de même être représentée par la formule N— 1474 u°B+3:C"; en supposant semblable

ment.c—f'u"°1? +922 Hu et f 4 +g B'+hC=0o.

Maintenant si l’on veut que ces deux valeurs trinaires de soient identiques, 1l faudra faire A4=N\4", mB=pB", »C—YC". Tirant de ces équations les valeurs de 4’, B’, C’, et les substituant dans l’équation f A' HS BÆhCE=)0, on aura

Be J'UYXA + gVN.nB EWXp.yC—= 0.

Celle-ci étant combinée avec l'équation f4+2B+hC=0o, il en