TROISIÈME PARTIE. 507 moins qu'on nait u—0o, ce qui donne y —FF" et
c— + Fe 3:00.
Maintenant il faut considérer les trois cas qui peuvent avoir lieu selon les diverses formes de c.
(279) Soit 1°. c de la forme 4-1 , alors des trois quarrés qui composent la valeur trinaire de €, il y en aura nécessairement deux pairs et un impair. Prenons pour Æ* et F° les quarrés impairs qui se trouvent dans les deux valeurs trinaires de c; alors l'équation —F°+F"°+12:0:6" serait impossible, puisque dans cette valeur trinaire il y a deux quarrés impairs. Donc les deux valeurs trinaires données de c ne peuvent répondre à un même diviseur quadratique de la formule # cu.
2°. Soit c de la forme 472, alors des trois quarrés composant chaque forme trinaire de c, il y en aura nécessairement deux impairs et un pair. Soient #* et Æ"* les deux pairs pris dans les deux valeurs trinaires de c, alors l'équation c—Æ°+F"* + 30:f# sera encore im possible. Donc la proposition générale a encore lieu pour le cas où c est de la forme 47+2.
3°. Enfin soit c de la forme 8243, les trois quarrés composant chaque forme trinaire de e seront impairs, et à cet égard l'équation c—#+F+ 300 ne semble plus offrir aucun signe d'impossibilité. C’est pourquoi il faut recourir à une sous-division de ce troisième cas.
La forme 82+-3, à laquelle se rapporte c, se subdivise en trois autres 24k+ 3, 24k+-11, 24k+ 19. La première 24k45 étant divisible par 5, n’a pas lieu lorsque c est un nombre premier, et parce qu’on fait abstraction du cas où c—3; ainsi il suflira de considérer les deux autres formes de c.
Et d’abord observons que tout nombre impair considéré par rapport aux multiples de 12, est de l’une des formes 12271, 12243, 122 D, 122+7, 12n+-0, 12n+-11. Le quarré de tout nombre impair est donc de l’une des formes 2421 et 24#+9 (ou plutôt 72n+0), celle-ci ayant lieu lorsque le nombre est divisible par 3, et l'autre lorsqu'il n’est pas divisible.
Cela posé, 1°. si c est de la forme 24411, des trois quarrés qui composent c, deux seront nécessairement de la forme 2421 et un de la forme 247 +9, aucune autre combinaison ne pouvant donner 24k 1: pour somme des trois quarrés. Prenons dans les deux formes
trinaires données pour Æ° et F”°? les quarrés de la forme 2420, alors l'équation c—F°+F° +705? sera impossible , puisque des trois quarrés du second membre deux sont de la forme 247 +0,
2°. Soit c de la forme 244 + 19, alors des trois quarrés qui composent chaque forme trinaire dec, deux seront de la forme 2440, et un de la forme 242+-1. Si donc on prend pour F° et F”° les quarrés qui dans les deux valeurs trinaires données de c sont de la forme 24n+1, il faudrait qu'on eût c—#f*+ F2 3%06?, équation im-
possible.
Donc la proposition énoncée a lieu dans tous les cas.
(280) Remarque. Il est facile de démontrer que la même proposition aurait lieu si e ou 5 était une puissance quelconque d'un nombre premier «.
En effet, soit c— a" ou c—24", puisque le produit des deux facteurs FF'+ y06, FF'—y86 est divisible par &", il faudra qu’en faisant...
‘m—=p#Y, on ait
FF'+yW — at, EF — 788 = «lu,
ce qui donnera 2FF"— t'ibalu. Donc si l'un des deux nombres w ét y n’est pas zéro, il faudra que l’un au moins des deux nombres # et F-soit divisible par «.
Mais comme chaque forme trinaire donnée de c est une forme trinaire propre dont tous les termes ne sont pas divisibles par un même nombre, il est clair qu'il doit y avoir dans chaque forme au moins un terme non-divisible par &. Supposons que Æ* et F”*? soient ces termes pris dans l’une et l’autre formes, alors FF” m’étant pas divisible par «, il faudra que l’un des exposans x et » soit zéro. Faisons »—o, ou p=m, alors on aura FF" — 700" — a"u; le second membre —cu sic est impair, et Si c est pair, le premier membre devant être pair, on pourra faire encore FF"— 708 —cu. Le reste de la démonstration sera le même que ci-dessus; d’où l’on voit que la proposition générale a lieu lorsque c ou +é est une puissance d’un nombre premier. Il faut en excepter seulement le cas de c—5""+, qui exigerait une démonstration particulière, parce qu'il est compris dans la forme 24453, dont
mous avons fait abstraction.
(281) Tuéorème II. « Si le nombre c est premier ou double d'un
EE
» premier, la formule {cu aura autant de diviseurs quadratiques » trinaires qu'il y a de formes trinaires du nombre ce. »
Car chaque diviseur trinaire de la formule {+-cu* répond .à une forme trinaire de c qui s’en déduit immédiatement, et réciproquement chaque forme trinaire du nombre c conduit à un diviseur trinaire correspondant de la formule “+ cw. S'il n’y avait donc pas un égal nombre des uns et des autres, il faudrait ou que deux formes trinaires de c répondissent au même diviseur quadratique de la formule #-cu/, ou que deux diviseurs quadratiques différens répondissent à la même forme trinaire de c. La seconde hypothèse n’a lieu pour aucune valeur de c (n° 272), et la première n’a pas lieu, en vertu du théorème pré- * cédent, puisque c est premier ou double d’un premier. Donc, etc.
(282) Tuéorëme I. « Si le nombre c est premier ou double d’un » premier, chaque diviseur trimaire de la formule #+-cu° ne pourra se décomposer que d’une seule manière en trois quarrés, c’est-à-dire ne » pourra avoir qu'une seule forme trinaire. » ; Car si un même diviseur quadratique de la formule # + cu? avait plusieurs formes trinaires, il faudrait, d’après le théorème précédent, que ces diverses formes péphndissent à une même valeur trinaire de c. Mais ona prouvé (n° 275) qu'une valeur trinaire donnée de c ne peutrépondre à deux formes trinaires différentes d’un même diviseur quadratique , que lorsque celui-ci est de l’une des formes py°rz*, py°-2qy3+2g2", pr° + 2qyz#-pz, et qu'en même temps les coefliciens extrêmes sont l’un et l’autre plus grands que 2. Or dans tous ces cas, il est facile de voir que le hbre C ; représenté successivement pes Pr; 2pq—q, p°—q*, ne peut être ni premier, ni double d’un premier. Donc, etc. Remarque. Cette proposition aurait également lieu si c où Ze était une puissance d'un nombre premier; elle contient ainsi une propriété qui convient exclusivement aux puissances des nombres premiers ou à
leurs doubles, et qui peut servir à distinguer ces nombres de tous les autres.
(283) Tafonëme IV. « Si le nombre ÏV est compris dans un divi- » seur trinaire de la formule cu, réciproquement le nombre c » Sera compris dans un diviseur trinaire de la formule + Nu’; de » plus, les valeurs trinaïres correspondantes de M et de c seront les » mêmes, soit quon considère Ÿ comme diviseur de cu, ou € » comme diviseur de &-E Vu. »
En faisant comme ci-dessus c—fur"+ 8" hu, le diviseur trinaire correspondant sera A = }°x° + u°x'?+1°x"*, pourvu qu'on satisfasse à la condition o—=fx + gx"+ hx". Soit V un nombre quelconque compris dans le diviseur A, ensorte qu’on ait simultanément
N — }2m° + u°m'° —- »°m2 Oo fm + gn' + hm' Si d’après cette valeur trinaire de V on cherche le diviseur trinaire correspondant de la formule &#+ Nu, il faudra considérer les diviseurs communs qu'il peut y avoir entre les quantités », m', m", prises deux à deux. Soit & le diviseur commun de »# et m’, 6 celui de 7° et m, > celui de » et »', on pourra donc faire N — 62° + pra y°n? + »°@°C2n'° o — féyn + gay + haGn" La seconde de ces équations étant mise sous la forme : fn+én+ir=o, a € PE c f g h : À . È :
on voit que >; 3; 53 doivent être des entiers; car si r et & avaient un commun diviseur, les trois nombres », m’, m"' en auraïent un, ce + .
qui est un Cas toujours exclus. On prouvera pareillement que »' et 6 n’ont pas de commun diviseur, non plus que #" et y. Soit donc f=«f", g=6g', h=7yh, Véquation précédente deviendra fn+gn + Wn'= 0.
Appelons T le diviseur trinaire de + Nu, correspondant à la valeur N= X€yn + pan? + 6°", nous aurons les deux équations simultanées : f T= œx + Cr HE x" |
o—= ÀAnx + pn'x + vn'x" Mais en substituant les valeurs de f, g, h, dans l'expression de c, on a Cc— æpuy°f"? + 62218" + uk;
valeur qui sera comprise dans, T, si on fait x=yuf", x'=—=vAg", x"— uk, et si en même temps la condition o = Anx-+un'x"+vn"ax" est satisfaite ; or celle-ci se réduit à
o—=f'n+gn + Mn.
