tel que

Méttant au leu de pN sa valeur, on aura —e; or cét

commun divise 8, ce qui est contre la supposition. Donc on peut faire HN +

pa qg6—kx Leu, et on aura ELA —e. Donc c est diviséur de

x*+N, ou en général de la formule # + Vu.

(292) Remarque. La même proposition aura lieu en supposant seulement que le diviseur quadratique py?+ 2qy2 + r3° renferme un nombre P’ Premier à c, et tel que c soit diviseur de # pu. Car on “Ron ‘toujours, par une transformation ; faire ensorte que ce nombre p' tienne la place du premier coefficient p ‘(n° 231).

Donc si le diviseur quadratique py° + 2qr2-h re" contient un seul nombre p° premier à ec, et tel que e soit diviseur de E+p uw, tout nombre V compris dans ce même diviseur quadratique jouira Fe la même propriété, de sorte que c sera toujours diviseur de la formule

EH Nu. à œ

(293) Tuéorème VIIL « Au contraire si un seul nombre p”’ renfermé ». dans le diviseur quadratique py°-2gy3-re, est tel que cne divise ». pas pu, je dis que tout nombre V renfermé dans le même di- » viseur quadratique, est tel aussi que c ne peut diviser 2 E Nu, au » moins en supposant !V et c premiers entre eux. »

:Car puisque € et NV sont premiers entre eux, si c divisait EH Nu, il faudrait, suivant le théorème précédent, que c divisät aussi pu, ce qui est contre la supposition.

Er CC

- (294) Nous appellerons, pour abréger, diviseur réciproque tout diviseur quadratique de la formule # + cf, dont la propriété est telle que N étant un nombre quelconque compris dans ce diviseur, réciproque ment c soit diviseur de # + Nu.

Nous appellerons par opposition diviseur non=récipr EE tout diviseur quadratique qui ne jouit pas de cette propriété, ou qui n’en jouit que par rapport à quelques nombres particuliers Æ qui ont un commun diviseur avec c.

Les conditions pour qu'un diviseur quadratique soit réciproque ou ne Je soit pas, sont tellement précisées par les deux théorèmes précédens ; qu’on pourra toujours décider promptement, et presqu’à la seule: inspection, si un diviseur quadratique donné est réciproque ou non.

(295) Prenons pour exemple la formule #--6ou*, dont un diviseur quadratique est 5y°—2ys +142. Pour savoir si ce diviseur est réciproque , j'observe que le coeficient 5 est premier à 69; je cherche donc si 69 est diviseur de + 5z*. Or il est manifeste que 69 divise 8:+5; donc le diviseur quadratique dont il s’agit est un diviseur réciproque ; c’est-à-dire que si V est un nombre quelconque compris dans la formule 5y-2yz+ 147, on peut être assuré que 69 sera diviseur de + Nu.

La même formule &+-Ggu* ‘ayant, un autre diviseur quadratique Gy° + 6yz + 13z3°; pour savoir si celui-ei est réciproque, je prends le nombre compris 13 premier à 69, et je cherche si 69 est diviseur dei3u. Or on voit immédiatement que 5, facteur de 69, n’est point diviseur de “+ 13u?; donc 69 ne peut l'être, donc le diviseur quadratique Gy*+6yz+ 157" est un diviseur non-réciproque.

Considérons encore la formule £45u* et son diviseur quadratique 7*+453. Pour determiner la nature de ce diviseur, je prends le coeflicient 1 du premier terme, et je cherche si 45 est diviseur de # +. Mais on voit tout de suite que 3 ne divise pas &*-u® (car on suppose toujours £ et w premiers entre eux); donc 45 ne peut le diviser. Donc le diviseur quadratique dont il s’agit est un diviseur non-réciproque.

(206) On fera voir ci-après que les diviseurs quadratiques réciproques ne contiennent que les nombres susceptibles de prendre la forme irinaire, c’est-à-dire les nombres de l’une des formes 824 1, 872, 8n+ 5, 8n+5, 8n+6. Or si l’on a égard à l'équation pr—q=e,

ôn trouve aisément-(comme au n° 223) que pour chacune des cinq formes principales de c, les diviseurs quadratiques de # + cu* se divisent er deux espèces , déterminées par rapport aux multiples de 4 et 8, comme on le voit dans le Tableau suivant.

Nombre c. Diviseurs de 1° espèce. Diviseurs de 2° espèce. Bar bni, 8n+a2 4n+5, 8n+6.

8n +5 nr, 8n+6 4n+3, B8n+2 Bn +-3 4n + 2 = ue 8nH1, 8n+3 . 8n+5, SEM.

“ae | c, o+4 c—4, +8 8n+3, 8n+5 8n+r, 8n+7 rs c—4, c+8 24 cy .c+4

Lorsque le nombre c est de la forme 873, on voit quil n’y a $ qu’une seule espèce de diviseurs quadratiques, savoir, les diviseurs 4n+- 2. Si le nombre c se rapporte aux formes 8242, 82-46, on pourra préciser davantage les diviseurs pairs correspondans; pour cela, il faudra subdiviser chacune de ces formes en deux autres, et alors au lieu des deux derniers articles du Tableau, on aura les quatre suivans.

8nti, 8n+3 { 8n+5, 8nr.

8nHr, 8n+3 8n+5, 8n+7

AGE 10 { 167410, 162+ 14 { 167 2, 16746 Aie 8n+3, Bn ci El à 8n+1, 8n+7 LU { 16742, 167+ 14 { 167+6, 162+ 10 | Fe res ar 8n+3, 8n+5 { 8n+1, 8n+7

À l’aide de ce Tableau, on reconnait tout d’un coup si un nombre donné, diviseur de # + cw?, appartient à la première ou à la seconde espèce; il suffit de considérer le reste que donne ce nombre divisé par 4, par 8 ou par 16.

‘En général, comme les diviseurs quadratiques de seconde espèce con+ tiennent toujours dés nombres de la forme DRE ces diviseurs ne peuvent jamais être trinaires. Ainsi les diviseurs réciproques doivent toujours se trouver parmi ceux de la première espèce.

- (297) Tréorème IX. «Sile nombre cest pretier ou double d’un » premier, tout diviseur quadratique de première espèce de la formule » + cu, sera un diviseur réciproque. »

En effet, 1°, si c est un nombre premier de la forme 4n—+x qui comprend les deux 871, 8245, il a été déja démontré (n° 196), que NV étant un diviseur quelconque 4n=+ 1 de la formule +cu*, on a

C)=;; ; de sorte que « doit être diviseur de Æ+Nuw. Donc le

diviseur. quadratique qui renferme !V est un diviseur réciproque. Donc. tout diviseur quadratique de première espèce de la formule #* + cu? est un SAM réciproque.

. SIC est un nombre premier 8n+3, et P un diviseur quelconque

impair de la formule {“--cu°, on aura (n° 197) (= =)= 1; Mais par la

nature du nombre c; on a (n° 148) C)=—:1; donc (= )=—r:

Donc c est diviseur de #L2P# ou de # + Nu, N étant un diviseur quelconque 47+ 2 de la formule #+-cu°. Donc tout diviseur quadratique 4n—+ 2 de cette formule ;" est un diviseur réciproque.

&. Si le nombre c=— 24, a étant un nombre premier 471, il ré- \ : N 4 7 LE sulte du n° 198 qu'on a (=)= 1, V étant un diviseur quelconque Sn 1 ou 823 de la formule # cu où © 2au. Donc le divi-

seur quadratique qui renferme JV, c’est-à-dire, tout diviseur quadratique de première espèce de e Horntile Bon, est un diviseur réci-

proque.

4°. Enfin si le nombre c—24, a étant un nombre premier 4745 , on a prouvé n° 198,que ÂV étant un diviseur quelconque 87+3 ou

8n +5 de la formule #—oaw, on a (= 1. Donc à est divi-

seur de la formule {+ Vu’ ; donc 2a ou c l’est aussi. Donc le diviseur quadratique qui renferme V est un diviseur réciproque.

(298) Tuéorème X. « Si le nombre c ou sa moitié est un nombre

eme à atarn mans à ARS ee ut DUC nm es + D ie mens nd É

: : TROISIÈME PARTIE. 31 ÿ composé, parmi les diviseurs quadratiques de première espèce de la » formule #— cu°,1l y en aura toujours au moins un réciproque. »

Cette proposition êt la précédente supposent que le nombre © est de l’une des trois formes 471, 8n-5, 4n+- 2; mais nous nous contenterons de démontrer celle-ci pour les nombres dela forme. 4-1 ; attendu que le raisonnement est le même à l’égard des autres formes.

‘Soit donc c un nombre composé 4n-+ 1; si. l’on peut prouver . qu’il existe un nombre premier V, également de forme 4-1, tel que c soit diviseur de #+-Nu* ; il s’ensuivra (n° 196) que ( S)= 1, ou que À est diviseur de la formule + cu°, et qu'ainsi le diviseur quadratique de cette formule, qui contient V, est un diviseur réciproque.

Pour cet effet, décomposons c en ses facteurs premiers égaux ou inégaux : soient &, &', æ”, etc. les facteurs 4-1 ; et 6, 6, 6"... les facteurs 47453, ceux-ci étant en nombre pair, puisque c est de forme 4n + 1. On aura donc c = au'a"..,. CCC"... et pour que c divise la formule # + Nu’, il faut qu'on ait successivement :

N NN: == DE (=r, (5)=:; (> ——+ ésséste N IN IN\-

CS CRE passe

-Or chacune de ces conditions rapportée à un dénominateur différent, fournit en général plusieurs valeurs linéaires de V (n° 195), et ces valeurs étant combinées entre elles pour satisfaire à toutes les équations, puis réduites à la forme 4721, donneront un grand nombre de formules dont chacune contient une infinité de nombres premiers. On pourra donc trouver tant de nombres premiers qu'on voudra pour valeurs de N: or un seul de ces nombres suflit pour déterminer un diviseur quadratique de la formule # + cu , lequel sera réciproque, puisque

(299) Remarque. Les diviseurs réciproques de la formule # + eu ” formeront l’un des groupes dans lesquels se partage le système entier des diviseurs quadratiques de cette formule. Soit z: le nombre des facteurs premiers inégaux &, æ, «'’... 6, 6’, 6", etc.; alors 27 sera le nombre total des groupes, et l’un d'eux, celui qui satisfait aux conditions

(5)= 1, (2) te (&) =— 1, etc, et qui d’ailleurs est de la. pre-

miere espèce, sera le groupe des diviseurs réciproques.

E a — - … “ F 2 EE Gé - ee

On trouvera de semblables résultats lorsque c est de la ose ên-r3 et lorsqu'il est se la TRE 4n42. |

(500) Tnéorème XI. « Tout diviseur quadratique trinaire ést un de » Viseur réciproque. »

Car soit À un diviseur quadratique trinaire de la formule + cu et N'un nombre quelconque contenu dans A; On à vu que c est diviseur de # + Nu? (n° 285). Donc A est un diviseur réciproque (n° 294).

(501) La proposition myerse de la précédente est encore, vraie, c’esta-dire que tout diviseur réciproque est trinaire; en eflet, la Table VIIL contient les diviseurs trinaires de la formule # + cw, pour toutes les valeurs de c depuis c—1 jusqu'a c—214, et on peut s'assurer quil ny a aucun diviseur réciproque de la formule #--cu* qui n'y soit compris.

Cette proposition peut donc ètre censée établie par la vérification immédiate jusqu'à uné limite donnée Z, et il s’agit de faire voir que lorsque c passera cette limite, la ere ie sera encore vraie.

C'est par une telle ie que chaque formule, # + cu° est liée avec les inférieures où e est plus petit, de manière que les propriétés connues des unes servent à démontrer les propriétés des autres, ‘Voici donc la proposition générale que nous devons établir.

(302) Tuéorème XII: « Tout diviseur réciproque de la formule » & + Nu est un diviseur trinaire, et ce diviseur a autant de formes. » trinaires qu'il y a d'unités dans 277, étant le nombre des facteurs. ».premiers, impars et inégaux qui divisent JV. »

Ce théorème doit ètre regardé comme l’un des plus remar quables de la théorie des nombres; c’est pourquoi nous en donnerons. deux démonstrations, la première fondée sur la possibilité de trouver dans le .diviseur réciproque donné, et entre des limites données, un nombre compris qui soit premier ou double d'un premier, l'autre indépendante de cette, supposition.

Première démonstration.

(505) Supposons d'abord que N ou 4 soit un: nombre premier ; alors tout diviseur de première espèce. de la formules + Vusest. mn

. TROISIÈME PARTIE. 335 diviseur réciproque {n° 297). Soit ce diviseur. T = @*-+2byz-har; je dis que T est en même temps un diviseur trinaire.

En effet, par la propriété de ce diviseur, le nombre V est compris dans un diviseur quadratique de la formule #-cu, lequel éstréciproque et par conséquent trinaire, puisque c est plus petit que la limite ‘Z, jusqu’à laquelle la Table est vérifiée. D'ailleurs lé nombre W étant premier où double de premier, il ne peut étre compris que dans un seul des diviseurs quadratiques de #—ew°, et d’une manière seulement. Soit donc A—py° + 2972 +-rz° le diviseur trinaire de #—+cw#, dans lequel N est compris; si l’on désigne par # le nombre des facteurs premiers, impairs et inégaux qui divisent «, À aura 2“ formes trinaires, lesquelles seront différentes entre ‘elles, puisque N est Se, et à plus forte raison ©><c (n° 285).

Cela posé, les 27: formes trinaires de V détermineront autant de diviseurs quadratiques trinaires de la formule*# Æ Nu, dans chacun desquels c sera compris. Ces diviseurs trinaires seront tous différens entre eux, puisqu'ils correspondent à des valeurs trinaires de AV diffé- 7 rentes entre elles (n° 281}; et comme « ne peut être contenu plus de 2* 7! fois parmi les diviseurs quadratiques de la formule #-ENu? (n° 243), il s'ensuit que le diviseur proposé F sera lun des 27: diviseurs tfinaires qui pers c.. Donc. F est un diviseur trigaire , et de plus: ce diviseur n’a qu une forme trinaire, ce qui s'accorde avec la proposilion générale, puisqu’ayant dans ce cas i=1,, il s'ensuit a = 1

(304) Au moyen de ce-premier cas, on voit que la Fable ayant été vérifiée jusqu'à la limite Z, les propriétés énoncées dans le théorème général auront lieu jusqu’à la limite # Z?, pour tous les nombres AV premiers ou doubles de premiers qui entrent dans Ja formule 4 M. En effet, cy° + 2byz ar étant un diviseur réciproque de la formule “HN, on pourra toujours supposer C<2Y 3V3; ainsi ce sera < L, si N'est LSZ>?,

(305) Soitmaintenant V un nombre quelconque immédiatement au-dessus dela limite Z, et soit T—cy°-2byz7--az un diviseur réciproque donné de la formule #- Nu; je dis que ce diviseur ‘aura 27° formes irinaires, 1 étant le nombre des facteurs premiers, impairs et inégaux qui divisent M.

En effet,'soit p un nombre premier où double de premier, contenu dans. lé “diviseur T'et compris entre les limites ?/V et £Z?, limites très-éloi gnées Pune de l'autre, puisque la Table étant ste seulement jus-"

qu'à 214, On a iL=—:145;et 2134547. Alors le nombre ÎV8era diviseur de # pu, et comme tel contenu dans un ou plusieurs diviseurs réciproques de 4 pu’, lesquels seront censés connus et assujétis à la loi générale, puisque p est premier ou double de premier ét moindre que 3 Z?. De plus, puisque le nombre W est <2p, ilne pourra être contenu qu'une fois dans chacun des diviseurs quadratiques de. Ja formule # + pr; et comme. à raison du nombre de ses facteurs, il doit être contenu 27! fois dans tous ces diviseurs, il devra y avoir un pareil nombre 27: de diviseurs quadratiques de la formule RER contenant chacun une fois le nombre A.

Ces diviseurs quadratiques étant différens entre eux, répondront chacun. à une forme trinaire différente de p; donc il y aura 2’ valeurs trinaires de p, différentes entre elles, dont chacune répondra à une forme trinaire de V. Et-quand même parmi ces dernières il y en aurait d’égales entre elles (ce qui supposerait p*—7* + INz°); comme ces formes trinaires égales de N répondent à des formes trinaires inégales de p, le

‘système d’une forme trinaire de. p et de la forme trinaire correspondante

de N sera toujours différent ‘de. tout autre système semblable.

Ges mêmes systèmes, dont le nombre est 2°’, doivent se reproduire (n° 285), lorsque p à son tour est considéré comme diviseur de Nu: or:p étant premger ou double:de premier, ne peut appartenir qu'à un seul diviseur quadratique qui est le diviseur réciproque proposé T, et il ne: peut y étre contenu que d’une manière; donc puisque p dans ce diviseur doit recevoir 27° formes trinaires différentes , il s'ensuit que le diviseur L est décomposable en 2* formes trinaires , conformément À la proposition qu'il s’agissait de démontrer.

(306). Herairue. Le diviseur réciproque T appartenant à la formule #+ Nu, où NW est divisible par ; nombres premiers, impairs et inégaux, ne peut avoir plus de 2" formes trinaires. Car soit, sil est possible, le nombre de ses formes trinaires =£4> 21, et soit Pun

nombre premier plus grand que N° contenu dansle diviseur T';lenombre

P, comme diviseur de #—+ Nu, aura À formes trinaires , lesquelles répondront à un pareil nombre de formes trinaires de NV. Les 4 valeurs irinaires de P seront imégales entre elles, puisqu'ayant P >/V> on ne peut satisfaire à l'équation N°=y:-LPr. Cela posé, les 4 valeurs trinaires: de P.différentes entre elles , déterminent un pareïl nombre 4 de diviseurs

trinaires de la formule # Pu*, dans chacun desquels W doit être com-

TROISIÈME PARTIE. 825 pris. Donc W sera contenu k fois dans. les diviseurs trinaires de #+Pw; mais à raison de ses z facteurs inégaux, il ne-peut étre contenu que 27: fois dans les diviseurs quadratiques de + Pu; donc:# ne CC être plus grand que 27.

Ainsi-le nombre 2i-*, énoncé dans le théorème RE est le juste nombre .des formes trinaires dont le diviseur Fest susceptible et qu'il a effectivement. Gependant lorsque IV. a un facteur quarré, il pourra y avoir d'autres formes trinaires du diviseur T'; mais ces formes ne seraient qu'impropres, c'est-à-dire qu’elles Ste à des valeurs trinaires de c dont tous les termes seraient divisibles par un même quarré, et nous avons déja prévenu. (n°269) que ces formes doivent être rejetées.

Seconde démonstration.

(507) Pour mieux faire saisir la méthode-sur laquelle cette seconde démonstration est fondée, nous l’appliquerons d’abord à quelques formules particulières, en faisant successivement c—1, 2, 3, 5, etc., et déterminant les valeurs correspondantes de 2 par la condition bc ou b—;c. Laissant ensuite à indéterminé, chaque formule cy°+-2by2-az°

en comprendra uné infinité d'autres dans lesquelles la FrORoSNeS géné-

rale sera vérifiée.

- Soit d'abord c— 1, on devra avoir b—0, N— AS ete direnoree

ciproque proposé sera T—7* az. Le bb 1 étant contenu dans

ce diviseur, il faudra que V divise la formule ét ou &—u*; d'où il suit que W ou +/V ne pourra avoir pour facteurs premiers que des nombres de la FR 4n+1. Et comme le nombre de ces facteurs impairs et inégaux est £, on pourra satisfaire de 27 manières différentes à l'équation N— 7° + 7" ;

Soit une de ces ton N=$f?"+48, alors il est visible que T pORrEE être mis sous la forme trinaire

Day fe gs, a laquelle répond la valeur trinaire N=f +8.

Chaque décomposition de W en deux quarrés premiers entre eux, fournissant un résultat semblable, il est clair que le diviseur réciproque T

recevra 27? formes trinaires, auxquelles répondront autant de valeurs iimaires de V, ce qui est conforme au théorème général:

(308) Soit c—2, P—2y + 20y3+ az, N —2a— 1? la valeur de ne pourra être que O -ou 1.

Dans les deux cas, ÀV devant être diviseur de &+ ou, ilest cie que les facteurs premiers de V seront de la même forme, et qu'ainsi ‘on pourra satisfaire de 27° manières différentes à l’équation N — +277.

Représentons une de ces solutions par À —f?+2g8*, nous aurons

à = Phi. + (+ (+). De là on voit que le diviseur L peut être mis sous la, forme trinaire D (MN GLEN ee,

à laquelle bond la valeur trinaire N= f+g +.

Puis donc que V est 2" fois de la forme f* + 28°, il s'ensuit queT aura 2 formes pre , conformément à la proposition générale.

Puisque I est un diviseur réciproque et que 3 est compris dans ce diviseur ; il faudra que À soit diviseur de la formule #- 3w*, et comme tel compris dans le diviseur réciproque de cette formule, qui est. 2y* + 2ÿ3 + 2%. Donc il devra y avoir 2 solutions de lé équation. N= 2" +273 + 23, si N west point divisible par 3, et 2i—* prie ment sil est divisible.

Soit 1°. b—0o et N—34; représentons l’une des 2" valeurs de Pari 7 3 2fo + 29°, nous aurons

Par cette valeur, on voit que 2f+g doit être divisible par 3; soit donc 2f+g — 5h, et on aura

= enr (EN

de là résulte cette forme trinaire de I :

Et comme le diviseur T =37-+-as* est bifide, on aura une seconde. forme trinaire de F, en changeant simplement le signe de-z, ce qui:

S : = “rte — à mm a ME qe LP ART mom er E n: