RP HR

a — d’où l’on voit que + f* doit être divisible par 5. Faisant donc... br fr =5(m+n), on en déduira b=m—an, f—=2m#+n, et

Cette valeur de « et celle de à indiquent assez clairement la forme trinaire du diviseur T, savoir :

Ta (y + ms) + (arms) + ge, et la valeur correspondante de West N— Enr gs, ce qui revient à la forme donnée f° +8? +48.

Puis donc qu'il y a 27° de ces valeurs de NV, il y aura aussi 27* formes trinaires du diviseur T.

PEROU Re ms

(311) Considéfons maintenant le diviseur réciproque l=cy"+2hy3#a3 dans toute sa généralité , et supposons seulement que le coeflicient c est premier à JV et plus petit que V, condition qu'il est toujours facile de remplir (x).

Cela posé, puisque T est un diviseur, réciproque , il éd que N soit diviseur de la formule + cu*, et comme tel compris dans les, diviseurs réciproques de cette nait, De plus, comme, on a désigné par i le nombre des facteurs prenuers, impairs et inégaux de N,il faudra que XV soit contenu 2/7: fois dans les diviseurs réciproques de la formule + cu’, lesquels forment un des groupes dans lesquels se partagent les diviseurs de cette formule.

Soit donc py° + 2gyz +rz* l’un des diviseurs réciproques de la fordes &+cu, dans lesquels ÆV est compris, on pourra supposer

N=pfi+ 2gfg +rg =ac—b",

— PEN, Cpf+ 8) Hg + plt = —-— æ :

On voit par cette expression que (pf—gg)*+pb* doit être divisible par c; pour effectuer la division, supposons qu'on a cherché tous les diviseurs quadratiques de #--pu* qui contiennent c; l’un quelconque de ces diviseurs sera de la forme cy* + 2b'yz+ «2°, et les valeurs de 4” seront tous les nombres non plus grands que Fc qui satisfont à l’équation cd —V"®—=p, ou qui rendent b®<+p divisible par e. Soit donc (pf+ gg) + pb°—= cN', et on devra avoir N=cy + 2byd + dd; d'où cN'=(cy + bd) -L pd*. Ces deux valeurs de cV' devant être identiques , on fera d — b et ey+bd == (pf4 92), ce qui donnera Le Æ E CS + d'une SE I faudra donc chercher parmi je diverses valeurs de L’, celle qui donne y égale à un entier, et on doit nécessairement en trouver une, puisque le diviseur proposé T est réciproque, et que c’est la seule supposition sur laquelle cette analyse est fondée. Il ne pourra y avoir

ce qui donnera ,

“G) Voyez ci-après le SX, IV° partie. Cette condition, au reste, n'est pas rigoureusemeät nécessaire pour le succès de la démonstration, puisque dans les exemples précédens, On a vu des cas où les nombres c et ZV ont un commun diviseur

encre, 5

qu'une des valeurs de #' qui rende y entier ; car sil y en

avait deux 2’, 6’, il faudrait que Here

füt un entier, ou que BEC

en füt un, parce que c et à sont premiers entre eux. Or L''et 6-

sont tous deux plus petits que 2e, ou si lun des deux est égalaic, il faut que l’autre soit plus petit que £c, puisqu'ils sont inégaux ; donc la somme ? + 6’ est plus petite que €, et ne saurait être divisible par c. Il faut observer aussi que les be > et d\, ou y et à seront tels que le calcul les donne, et pourront avoir Aceidentellement un commun diviseur; car ici on ne cherche autre chose que la forme du nombre déterminé N' : or > étant trouvé, on a W'— cy° + 2h yd + ad? ; mais comme le diviseur quadratique cy° + 20/ys + d'z* de la formule pu, peut se réduire à la forme p'y° + 2g/y3 + 13°, où l'on aura p <2V3p, la valeur de V’ prendra la forme

N'= pf" + 29fg + re”,

dans laquelle f” et g° a ; Suivant les différens cas , avoir ou n'avoir pas de commun diviseur.

Cela posé , la valeur de a deviendra a — N' Cf +dg) a PE PE.

Pp' et dans cette nouvelle expression, on voit que (p'f + q 7 Fe PE doit être divisible par p; ainsi, en faisant de PP HE gEY rs =pN", op: trouvera par des Rue semblables aux Me 5

= PF + 2qf'8 + re

expression où l’on peut Herve p"< 2V 3p'> on aura donc cette troisième, valeur de 4 :

;. à IN” Lt @P'É"Æ gg} Hp’ ee LP" Hp P' 1 pp" | > men an

Ces diverses opérations devront être continuées jusqu’à ce que les deux derniers termes de la suite décroissante p , p', p", etc., soient 1 et, ou 2 et 1. S'ils sont tous, deux égaux à l'unité, la dernière valeur de a. séra de la forme À n° +? ; si le dernier Den est 1 et l'avant-der-

PE Re 0 CORP PR ER ne rte RSS On

nier 2, alors 4 sera de la forme == = — hs” , laquelle se chänge encore éñ

x 1 ni une somme de trois quarrés, savoir »* LÉ CEE + EY = Ce dE

En général donc le nombre a sera toujours réduit à une forme trinaire telle que Au; en même temps on trouvera, par la suite des opérations, que 2 peut étre mis sous la forme

b= Al + pm + yn;

d'où l’on conclura que le diviseur proposé T sé décomposé én trois quarrés, de cette manière :

D (D + 2) + (my us) + (aus):

Mais on peut parvenir à ce résultat d’une mañière encore plus immédiate et sans le secours de la valeur précédente de 0:

(312) En effet, les opérations nécessaires pour parvenir à la valeur trinaire de a, peuvent s’exécuter en laissant à et b indéterminés, puisque les nombres p, p’, etc. sur lesquels ces opérations sont établies, se déduisent du seul nombre connu c; de sorte qu'ils restent toujours les mêmes, ou n'éprouvent de changement que pat le choix qu'il peut ÿ avoir dans les valeurs de p', S'il y à plasieurs diviseurs quadratiques de & + pu® qui contiennent c , ou dans les valeurs dep”, s’il ÿ a plusieurs diviseurs quadratiques de 4° = p'u? qui contiennent p, et ainsi de suite. Dans tous les cas, la suite p, p', p', etc. sera toujours telle, qu'on aura p< y #p,p'< y/$p', etc:, de sorte que cette suite décroitra très-promptement jusqu’à son dernier terme 1.:On peut donc arriver ainsi à des-résultats généraux qui s’appliquent-à une infinité de valeurs de N, amsi qu'on-en a vu des exémples , lorsque = 1, 2,3, 5.

Si on laisse le nombre V déterminé , on pourri néanmoins introduire dans le diviseur propôsé uné indetermination qui facilitera beaucoup sa décomposition en iroïis quarrés. Pour cet eflet, il suffira de mettre FE kz au lieu de y, et le diviseur T deviendra

F= cy° + 2(b + ck) 72 + CAR 2e de

La méthode précédente -étant appliquée ä ce diviseur, les nombres

PP p', etc. seront les mêmes sans aucun changement, que lorsqu'on.

a £—0o. On obtiendra donc encore la valeur du dernier coefficient a 2bk ch exprimée par trois quarrés, et ces quarrés, où À reste

TE de nokia dl: RE Er

indéterminé, ne pourront être que de la forme ss “ (HA + (m+uk} + (n+vk), d’où l’on conclura immédiatement la forme trinaire de T , T=(}y + as) + (my + us) + (ny +3).

Tel est le moyen d'éviter tout tâtonnement dans la détermination de. la forme trinaire de F, et en même temps d’y parvenir de la manière la plus simple et la plus directe. Et puisque le nombre À est contenu de 27: manières différentes dans les diviséurs quadratiques de la formule # + cu, chacune de ces expressions donnera une forme trinaire: du diviseur T ; donc ce diviseur aura 2/7’ formes trinaires 5 conformément à la ne os générale.

Par cette analyse, la limite de la Table VII, qui est d’abord à volonté,

peut être reculée indéfiniment, et le théorème énoncé aura lieu dans toute son étendue.

{315) Soit proposé le diviseur réciproque T = 1897*+-30yz-- boz?, qui appartient à la formule # + Nu, où l’on a N—9225— 3°.5?.41; il s'agit de faire voir que ce rer peut se décomposer de 2°: ou 4. manièr es en trois quarrés.

Les coefficiens extrêmes 50 et 189 ayant l’un et l'autre un diviseur commun avec NV, il conviendra, pour se conformer à la méthode générale, de chercher dans T un nombre premier à V. Ce nombre se présenté immédiatement en faisant ÿ=—1,3——1, et on a le résultat 189 — 30 +- 50 — 209 — 11.19, nombre qui n'a point de diviseur : commun avec N.Il faut donc préalablement faire ensorte que 209 soit le premier coefficient de T ; pour cela, il suffit de mettre 3 — y.à la place de 3, et de changer ensuite le signe de z, ce qui donnera

F = 2097* + 7073 + Sos:

Mettant enfin y + £z à la place de y, afin d'introduire une indétermie nation dans le dernier coefficient, on aura

Le nombre N ayant trois facteurs premiers imégaux, doit ètre contenu

2% ou 4 fois dans les diviseurs réciproques de # -- 2o9w°. Or cette formule a trois diviseurs réciproques, savoir |

et on trouve en effet que 9225 est contenu une fois dans le second de ces diviseurs, et trois fois dans le troisième, comme il suit :

N= 10f* + R+nr (2%

à f—= 27; 27, 19 DEA +ag + 8 (/E RE. AE as Considérons d’abord la troisième forme qui doit fournir trois valeurs trinaires de T. On aura, d’après cette forme,

b D 13h? + (13f + 52)? + BogE

et la première opération est de trouver le quotient de (13f + 5g)Æ 13b° divisé par 209. Or 209, à raison de ses facteurs 11 et 19, doit être contenu deux fois dans les diviseurs quadratiques de 4 + 134; et en effet, si on représente le diviseur quadratique qui contient 209, par

2097° + 26 yz + d'z, la condition 2094 — #?=— 15 sera remplie de deux manières, l'une en faisant = 14, a = 1, l’autre en faisant d'= 52, & = 13. On pourra: donc poser

G3f + ee 13B* = 2097° + 20/yz + d'z°,

ce qui donnera (13f + 59) + 150°—(2097 + zx) 133*; donc on aura 30, et 209y7 +3" (13f+ 52); d’où = EGH5g)—b'b JE 209 & Prenons pour f et g la solution f— 19, g==—22, nous aurons 13f + 58 = 137, et __ H137—b (3542094).

ee ne

: Dans cette expression, il faut choisir le signe de 137, et la valeur de ?’, de sorte que y soit unentier; c’est Ce qu’on obtient en prenant le signe inférieur et faisant b = 14, on a ainsi :