FT

Le quotient cherché devient 2097 + 28723 + 3°, et sa forme la plus simple est (3 + 14 Je — 13°. En représentant celle-ci par JE 139’,

on aura donc $” tt deg n 134, g’ — 3 — et la valeur de « deviendra ; & +f LÉ 13g* à TR 13

IE Al

Il reste à diviser g° + f”° par 13; pour cela, il faut considérer 13 comme diviseur de la formule #w; or celte PRE D na qu'un diviseur quadratique J° +2, et celui-ci étant préparé de manière que 13 soit son premier coefficient, 1l devient :

Soit donc 8 HP = 13 (137° 1073 22°) — (137 5) 2"; on pourra faire z2=g ,et13y +53:=Hf", ou 2=f"et 137 +bz= He. g'+f"

Or il résulte également de ces deux solutions, que la quantité — —18y° + 1072 + 23° = (34 2y) H(z-H58r), se réduit à (44 24) + (5— 34); donc.on aura a = (14% +3) + (ok +4) + (Gk—5);

et puisque telle est la valeur de 50 + 704 + 2094, il s'ensuit que le diviseur.T = 2097°+707z + 50z* aura la forme trinaire

(A7 #82) + (ar +45) + (Sr — 52)".

Mettant z—7 à la place de 3, et changeant le signe de 3, le diviseur T' reprendra la première forme proposée 189 7° + 3073 + 507, et la forme: trinaire qu'on vient de trouver deviendra,

Guy — 58) + (+4) + (8r + 52)

Cherchant de même les deux autres formes trinaires qui se déduisent

D mn 2 Te

“TROISIÈME PARTIE. 335 de la forme N=— 13/° - 102 -- 18p*, ainsi que celle qui se déduit de la forme N = 10f° + 2fo + 219°, on aura les quatre formes trinaires du diviseur proposé F —1807° + 50yz+- 507. Ces quatre formes et lés valeurs trinaires correspondantes de W sont :

= (119—32) + (ayr+4s) + (87-52) | N = 79° + 5o* + 22° D God + (Hé) + (is) | N = 82 + Go + 1e D (gs) Hu) + GP IN = 09 +4 + 2 r N = 82° + 49° + xo°

= (1074-45) + (87 —53) + (Sr+5:) | Corollaires généraux.

(314) Le résultat de cette théorie, contenu en grande partie dans la Table VIT, offre les propriétés suivantes, qu'on doit regarder maintenant comme démontrées avec toute la généralité nécessaire.

I. Toute formule # cu, dans laquelle c n’est ni de la forme 4», ni de la forme 827, contient toujours au moins un diviseur quadratique réciproque, c’est-à-dire un diviseur quadratique tel que V étant un nombre quelconque compris dans ce diviseur , le nombre c sera diviseur de la formule { + Ve.

IT. Tout diviseur quadratique réciproque est en mème temps aire, c’est-à-dire qu'il peut se décomposer généralement en, trois quatrés , sans-attribuer aucune valeur aux indéterminées quile composent.

HE. Dansle cas où c est de la forme 873, le diviseur réciproque ne contient que des nombres 472, et il est représenté, par la formule “apy° + 2qyz=+2r2", où l’on a 4pr—q = c.

IV. Lorsque c ou +c est un nombre premier ou en général une puissance d’un nombre premier, chaque diviseur réciproque de la formule lou ne peut se décomposer en trois quarrés que d’une seule manière, ét n'a ainsi qu'une seule forme trinaire.

V. Lorsqu’au contraire c ou + c est divisible par : nombres premiers différens, chaque diviseur réciproque de la formule cu aura 27’ formes trinaires. :

VI. Tout diviseur qui est trinaire, est nécessairement réciproque ; et tout diviseur qui est réciproque, est en même temps trinaire. Ces deux propriétés sont inséparables l’une de l’autre et appartiennent exclusivement à l’un des groupes dans lesquels se partagent les diviseurs quadratiques d’une même formule #—-cu° (n° 202 et 205).