VII. Lorsque € est un nombre premier 4-1, où le double d'un

nombre premier quelconque, tout diviseur quadratique 471 “de la formule {+ cu, est un diviseur réciproque.

VIIL. Lorsque c est un nombre premier 87-+5, tout diviseur qua“ dratique 47 2 de la formule # + cw*, est un diviseur réciproque.

IX. Chaque forme trinaire d’un diviseur réciproque correspond toujours à une forme trinaire du nombre c; de sorte qu'il y a pour chaque diviseur réciproque autant de formes trinaires du nombre c qu'il y â de formes trinaires de ce diviseur.

X: Les valeurs trmaires du nombre c, déduités d’un mêmé diviseur réciproque , sont égales deux à deux si ce diviseur est btfide. ( Nous avons appelé ainsi le diviseur py°+-2qy2+-rz, lorsqu'il tombe dans l’un destroïis cas g9=0,29—=p our, p—r, et qu'en même temps le plus petit des coefliciens p et r est plus grand que 2.)

- XI Dans tout autre cas, les valeurs trinaires de c, déduites d’un même diviseur trinaire ou réciproque, sont inégales entre elles; ‘ellés le sont toujours lorsqu'elles sont déduites de deux diviseurs réciproques différens.

: XII. Les nombres compris dans tout diviseur trinaire ou réciproque, se rapportent toujours, comme les nombres c, à l’une des formes 4n+ 1, 4næ2, 8n—+3; il ne s’y rencontre aucun nombre des formes 4n et Sn +7.

« XIII. Lorsque JV est compris dans un diviseur réciproque de la fs müle cu, et par suite c dans un diviseur réciproque de la formule” + Nu, les valeurs trinaires correspondantes de 4 et de c seront les mêmes dans les deux cas.

(315) Tuéorème XIIL «Tout nombre impair, excepté seulement les » nombres 82<+ 7, est la somme de trois quarrés. »

Cette proposition est un corollaire tres-simple de la théorie précédente. Car tout nombre impair c qui n’est pas de la forme 8r+7 sera, soit de la forme 42 1, soit de la forme 82<+3; la formule £—+cu° sera donc comprise parmi celles de la Table VIIT, qu’on doit regarder comme indéfinie. Mais il a été démontré par le théorème X, que toute formule de cette Table a au moins un diviseur quadratique réciproque, et par le théorème XII, on a prouvé que ce diviseur est trinaire , et qu'ainsi il yaau moins une valeur trinaire correspondante de c. Donc tout nombre impair de l’une des formes. 4n 1, 8n+3, est la somme de trois quarrés.

(516) Il résulte en même témps de la théorie précédente que, quand même c'aurait des facteurs quarrés ; On pourra toujours exprimer € par la somme de trois quarrés qui n'auront pas de diviseur commun! Car nous ne regardons comme ‘formes trinaires que cellés qui satisfont à cette condition, et la Table VII n’en offre pas d’autres.

C’est ainsi qu'on a 81—8° +4 + 1°, 225 —14° pr 0 , Ctc.; d’où l’on: voit que tout nombre ans ou 824-3, a au moins une valeur iinaire qui lui est propre’et qui est indépendante de celles des nombres inférieurs.

La partie de ce théorème concernant les nombres 8243, prouve que {out nombre entier est la Somme de: trois triangulaires, ce qui est le fameux théorème de Fermat, dont nous ayons parlé (n° 155).

(517) Tuéorème XIV. « Tout nombre double d'un impair est la » somme de trois quarrés.

C’est encore une net ete immédiate des théorèmes X et XII appliqués à la Table VIIT, et on voit de plus, par cette théorie , que le nombre dont 1l s’agit, de la forme 47+-2, peut toujours se décompo+ ser en trois quarrés qui n’auront pas de diviseur commun.

(518) Corolluire I, Un nombre quelconque double d’un impair étant désigné par 4a+2, on pourra toujours satisfaire à l'équation :

a+ 22 Rp He;

or par la,forme du premier membre, on voit que des trois quarrés x°, x, 2°, deux doivent étre impairs et un pair, C’est pourquoi faisant L=p+q, Ÿ—=Pp—q;23= 2r,.0n aura

24H pD #7 2r?.

Donc tout nombre impair est de la Jorme p° + g+2r*.

Cette proposition ayait été avancée par Fermat, comme particulière aux nombres premiers 8x7; mais on voit qu *elle convient généralement à tous les nombres impairs, ét on observera toujours que quand même le nombre dont il s’agit serait divisible par un quarré , on pourra supposer que les trois quarrés p°, g°, r* ne sont pas divisibles par un même nombre.

(819). Corollaire IT. Un nombre entier quelconque peut toujours

être représenté -par l’une des formules (24+-1)2°", (au x).2%#+2, S'il «appartient à la première, il sera , suivant ce quon vient de démontrer,

de la forme 2” (p°+g°+2r); ol appartient à la seconde, il sera de ‘la forme 2% (p°+q°—+ r°); donc tout nombre entier, ou au moins son

double , est la somme de-trois quarrés.

(520) Tuéonème XV. « Soit N un nombre quelconque de l'une des :» formes an +3, 4n+2, 8n+5, lesquelles comprennent tous les » nombres impairs et doubles d’un impair, excepté seulement les » nombres 827; si on désigne par ile nombre des facteurs premiers, 1» impairs et inégaux qui divisent !V , je dis que le nombre des formes » trinaires de IV est UE Holtple de 2°, de sorte quil ne peut » être moindre que 27?.

En effet, soit mn le nombre des diviseurs réciproques de +Nw,

sur lesquels il y en ait» de bifides, et z de non-bifides. Chaque divi-

-seur réciproque non-bifide se décompose en 27 formes trinaires ‘auxquelles répond un pareil nombre de valeurs trinaires de À, diffé- “rentes entre elles. Chaque diviseur bifide se décompose de même en 271 formes trinairess® mais comme elles répondent deux à deux àsdes valeurs trinaires égales de , le nombre de celles-ci est seulement 27*. Donc le nombre total des valeurs trinaires de !ÆV étant nommé x, on aura

Donc ce nombre ne peut être moindre que 2°, et il sera en général

‘un multiple de 2iT3, Si on a i—1, comme alors il ne peut y avoir de ‘diviseur bifide!, la formule se réduit à x = n.

Appliquant ce théorème au nombre 0225— 53.52.41, et obsérvant que la. formule #--09225u? a cinq diviseur$ réciproques, dont deux bifides, on aura m—2, n—6, i—3; donc le nombre des formes trinaires de N est.2.(6-2)—:16,ce que l'on peut aisément vérifier.

(321) De la on voitqu'il n’estpas difficile de trouver un nombre qui ait tant de formes trinaires qu'on voudra. Sion veut qu'il ait 44 moins un nombre ‘donné de formes trmaires, 1l suflira de mulüplier jusqu'à un certain d egré le nombre de ses facteurs premiers inégaux. Ainsi sion veut qu'un nombre ait au moins 52 ou 2° formes trinaires, on sera sûr qu’en donnant sept facteurs premiers à cenombre, pourvu que le produit ne soit pas de la forme

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TROISIÈME PARTIE, [se Bn+7, il satisfera à la question. Tel sera, par exemple, le nombre 3.5.7.11.13.17.10, qui est de la forme 8n+-5.

Mais si on veut que le nombre cherché ait exactement un nombre détermine de formes trinaires, il faudra quelques essais pour y réussir. Par exemple, si on veut que x = 20, on pourra faire ==4 et 22+-m—b, et il restera à trouver parmi les nombres les plus simples, composés de quatre facteurs premiers inégaux, dont le produit n’est pas 827, celui qui aura trois diviseurs réciproques dont un bifide, ou quatre diviseurs réciproques dont trois puits, ; car dans ces Le cas on aurait également 22+ m5,