MÉTHODES ET RECHERCHES DIVERSES
.$ TL. Théorèmes sur les puissances des nombres.
L A méthode dont nous allons donner diverses applications, mérite une attention particulière , en ce qu’elle est jusqu’à présent la seule par laquelle on ait pu démontrer certaines propositions négatives sur les puissances des nombres. Le but de cette méthode est de faire voir que si la propriété dont on nie l'existence avait lieu pour de grands nombres, elle aurait lieu également pour des nombres plus petits. Ce premier point étant établi, la proposition est démontrée, car pour que le contraire eût lieu, il faudrait qu'une suite de nombres entiers décroissans püt être prolongée à l'infini, ce qui implique contradiction. Fermat est le premier qui ait indiqué cette méthode dans une de ses notes sur Diophante, où il prouve que l'aire d’un triangle rectangle en nombres entiers (1) nesaurait être égale à un quarré. Euler en a depuis étendu les applications, et l’a exposée avec beaucoup de clarté, dans le Tom. IE de ses llémens d’Algèbre.
(322) Tuéorème I. « L’aite d’un triangle rectangle en: nombres en- » tiers ne saurait être égale à un quarré. »
Puisqu'on a (a° + D*) = (a? — 4)" + (2ab}, il est clair que les trois côtés d’un triangle rectangle peuvent être représentés par les nombres ab, a — L°, 2ab; c’est aussi l’expression générale qu'on déduirait de la résolution directe de l'équation x°=7° +2? (n° 17). Ces trois nombres pourraient de plus être multipliés par un facteur commun 6;
(1) Trois nombres tels que le quarré du plus grand équivaut à la somme des quarrés des deux autres, sont ce qu’on appelle un triangle rectangle. On peut donner pour exemple les nombres 3, 4, 5, les nombres 5, 12, 15, et une infinité d’autres:
RES 2 et mm ES MIE
mais nous ferons abstraction de ce factéur, qui est inutile pour nôtre objet, et par la:même raison, nous supposerons'a et‘b premiers entre eux. En effet, si les trois côtés d’un triangle sont divisibles par 4, l'aire sera divisible par 6°; donc si cette aire est un quarré, elle le sera encore après avoir été diviséé par son facteur É£.
Cela posé, appelons À l'aire du triangle dont il s’agit, nous aurons A—= ab (a —b°); et comme les facteurs a et d sont premiersentre eux, ils le seront égalementravec 4° —? ; donc pour que 4 soit un quarré, il. faut que chacun des facteurs a, b, 4 —(?, en soit un. Soit donc a=n, b=1, il restera à faire ensorte que a°—L? ou m'—n" soit égal à un quarré.
Cette quantité m#—nt est le produit des deux facteurs »° +7, m° — n°: or» et r sont premiers entre eux, puisque a et à le sont. De plus, ils doivent être supposés l’un pair et l’autre impair; car s'ils étaient impairs tous deux, a et à le seraient aussi, et ainsi les trois côtés a°+4», d—l?, 2ab seraient divisibles par 2, ce qui est contre la supposition. Donc les facteurs 7° n° et:m°—n? sont premiers entre eux, et puisque leur produit doït être un quarré, 1 faudra que chacun d’eux en soit un. 7 k
Faisons en conséquence 7°=n°=—p", m—n°—q", nous aurons... ne q—=m, et 22° + qg—p*". Donc «si l'aire d’un triangle rectangle » est un-quarré, on-pourra trouver deux quarrés g°, 2°, tels que cha- » cune des deux quantités g° + n?,.qg° + on? soit égale à un quarré (x).
(1) Voici le passage de Fermat que nous suivons assez strictement, en ajoutant seulement les développemens nécessaires pour rendre la démonstration plus claire et plus complète :
« Si area trianguli esset quadratus darentur quadrato-quadrati quorum differentia » esset quadratus : Unde sequitur dari duo quadrata quorum et summa et differentia esse » quadratus. Datur itaque numerus compositus ex quadratotet duplo quadrati æqualis » quadrato, eâ conditione ut quadrati eum componentes faciant quadratum. Sed si nu— » merus quadratus componitur ex quadrato et duplo alterius quadrati, ejus latus simi- » liter componitur ex quadrato et duplo quadrati, ut facillimè possumus demonstrare.
» Unde concluditur latus illud esse summam laterum circa rectum trianguli rec-
-# tanguli et unum ex quadratis illud componentibus eflicere basem et duplum qua » dratum æquari perpendiculo.
» Illud itaque triangulum rectangulum conficietur à duobus quadratis quorum » summa et differentia erunt quadrati. Atisti duo quadrati minores probabuntur pri- » mis quadratis suppositis quorum tàm summa quäm differentia faciunt quadratum. » Ergo si dentur duo quadrata quorum summa et differentia faciunt quadratum, dabi-
- 543 THÉORIE DES NOMBRES. | Puisqu'on à p°—g" + 2n, il faut (n° 141) que p soit de la forme. f°H2g" : or on satisfait à l'équation q + on =\f" + 27 en faisant qg=—+ny—2=(f+8gv—2), ce qui donne
IEEE
n— 2/8 ; et cette solution est d’ailleurs aussi complète qu’on peut le desirer, comme on peut s'en assurer parles formules dun° #7. Il reste donc à satisfaire à l'équation g°+ 7° — m*, dans laquelle substituant les valeurs trouvées pour.g et », on aura JE + 4gt= nm.
- Cette dernière équation, qui doit être possible si l'aire Æ ést un quarré, présente un nouveau triangle rectangle formé avec l’hypothénuse 2 et les deux côtés f*, 29° : or l'aire de ce-triangle étant f”g°, et par conséquent égale à un quarré, il s'ensuit que si l'aire À du triangle rectangle proposé est égale à un quarré, on pourra, par le moyen de ce triangle, en découvrir un beaucoup plus petit, mais non pas nul, dont l'aire sera pareïllement égale. à un quarré.
(523) Pour juger de la petitesse de ce second triangle rectangle en comparaison du premier, il faut exprimer la valeur de Zen f'et:g : ‘or on trouve
Ann) nr =4fe (fr 28) (Pas) (SH 48").
D'ailleurs f° — 28° ne peut être moindre que r, et on a toujours. :. CA CT ane mt) dd ‘+48! >4f°g"; donc Paire Z est plus grande que 128/f°g°; donc LA g ; qui est l’aire du second triangle, étant nommée A", on aura 4 < ve
198" Ï De là on voit que s’il existe un triangle rectangle en nombres entiers, dont l'aire À soit égale à un quarré , il existera en je
un triangle rectangle dont l'aire 4’, plus petite que or Zg> Sera en-
core égale à un quarré, et cependant ne sera pas Te car l’un des “nombres f et 2 ne peut être nul sans rendre 4—0.
» tur in integris summa duorum quadratorum ejusdem naturæ priore minor. Eodem «» ratiocinio dabitur et minor ista inventa per viam prioris et semper in infinitum mi- -» nores invenientur numeri in integris idem præstantes : quod impossibile est, quia -» dato® numero quovis integro mon possuñt dari infiniti in integris illo minores, » Ed, -cit. de Dioph. pag. 339.
+ Mais par la même raison, du triangle rectangle dont l'axe # est égale à un quarré, on ROUE déduire un. troisième. triangle dont l'aire 4”, plus petite que Dress =g> Sera «égale à un quarré, et ainsi à infini. Or 1] implique diet qu'une suite de nombres entiers 4, 4”, 4”, etc., quand même ils ne. seraient pas quarrés, soit décroissante et prolongée à l'infini. Donc il n'existe aucun triangle rectangle dont l'aire soit égale ‘à un quarré.
Corollaire. La même démonstration prouve que la formule nf — 74 me peut étre un quarré, non plus que la formule f* +45, excepté seulement dans les cas évidens, l’un de »#3—7n, ou 72—=0; l'autre de ÿf ou g—o.
On peut aussi en conclure que léquation xf+7f=—2p" est impossible, ‘hors le cas de x —=7y; car de cette équation on tirerait...
at yt\a : R à FT — ) ; or on vient de voir que le premier membre ne
‘peut être un quarré,.
(524) TnéorÈme IT. «La somme de deux biquarrés ne peut être égale
>» à un quarré, à moins que l’un d’eux ne soit nul. » Soit, s’il est possible, af-b—c*; il faudra d'abord, qu'on ait a —=p— 9, BE 2pq, c—=p + q°. J'observe ensuite que « et # pouvant être supposés premiers entre eux, P et:g seront pareïllement premiers entre eux, et même ils ne pourront être tous deux impairs ; car s'ils l'étaient, a et à seraïent tous deux pairs: On ne pourra non plus
supposer p pair et q impair, parce qu'alors p°—g° serait de la forme PP PP gumparr , T I Rega.
4k— 1 ; laquelle ne peut convenir au quarré 4°. Donc il faudra que p soit impair et q pair, et ainsi, pour satisfaire à l'équation b* ap on prendra pm", q—"2n", valeurs qui étant substituées dans l’autre équaüon a° Pi aa. , donneront mf—/4n—4a?.
Cette dernière équation exprimant que le quarré mf est “égal à à la somme de deux autres quarrés 4n*, a°, le seul moyen d'y satisfaire est de prendre m°—f+ 5°, 27° = 2/8 ; ps —g”. Or l'équation »°=—/g, où f etg doivent être premiers entre eux, donne f— «°, g—6*, et par ces valeurs, l'équation m°—f*+2? dévieth CAES ET GEST D'où l’on voit que s’il existe deux biquarrés at, bf dont la somme soit égale à un quaïré c*, il éxistera en même temps deux autres biquarrés beaucoup plus petits &*, 6* dont la sommie sera paréillement égale à un quarré.
(325) Et pour rendre sensible la petitesse de ceux-ci en comparaison des PROG , on déduira des valeurs précédentes,
NE nt D b=pa6 (af); çe qui donne af+6f— [ia +14/(at-04)], et par conséquent... pe LY (at 0#). On remarquera d’ailleurs que æ ni 6 ne peuvent être zéro, parce qu'il s’ensuivrait b—0, cas exclu.
S'il existe donc un quarré c? égal à la somme de deux biquarrés, on connaîtra par son moyen un second»quarré c?, pareillement égal à
L La » + la somme de deux biquarrés, et dont le côté « sera <y/c, sans être nul; mais par la même raison, le quarré c® en fera connaître un troisième c’* jouissant de la: même propriété ; et dont let côté c’ sera ae RER MAUR 5 <y/c', sans être nul ; ains; de suite. Or il implique contradiction qu'une suite de nombres entiers c, c’, c”, etc. dont chacun est plus.petit que la racine quatrième du précédent, sans être nul, puisse être prolongée à l'infini. Donc il est impossible qu'un quarré se décompose en deux biquarrés.
Corollaire. La même démonstration prouve que la formule mf—4nf \ à ÿ 1 . , ‘e pt ne peut étre égale a un quarré, Si Ce n est lorsque 7—0. @ (526) Tuéorème HE. « La formule xf+ 2yf ne peut être fee à un » quarré sice n’est lorsque y —0: »
Car si l’on fait xt+ 27t— 7, il faudra d’abord supposer 3=—p°+29?, x —p}— 2q?, Y°—2pq; ensuite l'équation x?=—p?— 24° donnera,
x m—or; p=m#ton, q—2mn. Ces valeurs étant substituées
dans l'équation 7° =—2pq, on aura ÿ°=—/4mn (m+sn°), Pour satisfaire à cette dernière équation, j'observe que les nombres met x sont premiers entre eux; Car s'ils avaient un commun diviseur, pet q en auraient un aussi, et par suite x et 75 ce qu'on ne doit pas supposer. Donc si mn(m° 2r°) est un quarré, il faudra que ses trois facteurs 77, n, m+on* soient chacun un quarré. Soit donc m—f*, n—2£g", et il restera à faire ensorte que f#--2g* soit égale à un quarré.
Cette formule est semblable à la proposée, et il est visible qu’elle est exprimée en nombres beaucoup plus petits, car on a æf+ ayt>pf,
. 4 dé:
et par conséquent p ou f#+ 29 <V ('+ 2y*); d'ailleurs les nombres
7e et g ne sont nuls, ni l’un ni faute , puisque s'ils l’étaient, ils rens
QUATRIÈME PARTIE ! 345 draient y nul, ce qui éstun:cas dont on fait abstraction. De là il suit que si on a un 'quarré Æ*:qui soit de la forme x‘+2yf,; on pourra en déduire un second quarré 4 qui serade laymême forme, et dont le
côté 4'°sera <Y A: mais par la même raison le quarré A. en fera connaître un troisième 4’? de méme forme, et ainsi de suite. Or il est impossible qu’une suite de nombres entiers 4, 4'; 4", etc. soit dé= croissante et prolongée à l'infini; donc il est Ébpastle que la formule æf + 2yt soit un quarré, à moins qu'on n'ait ÿ=0. .,
Corollaire. Il suit de cette poposition, que la formule x*— 8yf ne PE non plus être égale & un quarré; çar si on avait xt—8yt= 2", il s’ensuivrait que 3 2(2xy)t est CL ER au .quarré (x*+-8y*), ce qui ne peut avoir lieu que lorsque Yÿ—0. *
(527) Tuéorëme IV. « Aucun nombre HU, sr l'unité , » n’est égal à un biquarré. »
Soit, s’il est possible, 2x (x1)—7", où x (x Hi) = aps, ; silon füty= mn, met n étant deux indéterminées:, cette équation ne pourra se SCO OeR que de l’une de ces dèux Anis
Fu di bet) exit { €) Hi nf NE OIL ?
lesquelles donnent, soit 1=n#%—2mf, soit 1 = 2m —nf. La seconde en dont m$— nf (m1), équation impossible, parce ; que Je premier membre. est de la FE Pi — gs laquelle ne peut être un.quarré, que dans le cas évident de nm—=1=x. La. première combinaison donne 1 + 2m$—17#, équation également, impossible, parce qu’en wertu du théorème précédent; ‘le premier membre ne peut être sun quarré, Donc aucun nombre triangulaire, ex= cepté 1, n'estiégal à un be.
(528) Tuéorème V. «La somme ou la différence de deux jun ne » peut être égale à un cube. » F'ANNEE Soit, s’il est possible, x°y%=—#, on pourra supposer à l'ordinaire que les deux nombres x et y sont. premiers entre eux ; et alors yet z seront également premiers entre eux, ainsi que x et 3. Cela posé, des trois nombres x, Y,2,il.y en aura toujours deux, impairs et un pair ; soient x et.y les deux impairs , qu'on peut toujours placer dans un même membre; si l’on fat x Ey—2p, x%y—2q, où bien x=p{7,
Hype, on aurx par dla substitution :2p(p°-+59*) ="; ét "on observera ultériéurement , que puisque pq ct p —q doïvent être im» pairs, 3l faut que p et 9 soiént l'un pair, l’autre impair ; de sorte que P°=+ 3q° sera toujours impair, Mais 2p (p° + 5q:) devant être un cube, il est clair que 2p' sera ‘divisible par 8, et ainsi p sera pair el q'im-
né Maintenant il ÿ a deux cas à dislinguer, selon que p est ou n’est pas ivisible par ge
(329) Premier cas. Si p n’est pas divisible. par 3, les facteurs 2p, p°+.5q° seront premiers entre eux, et si leur produit est'un cube, il purs que chacun d'eux en soit un. Soit donc p°-5ç* =, alors r sera de la forme 7° 5n°, et on pourra faire pH V3 (ti —3), ce qui donnera pP=Tn —omr
. g = 5mn —3n.
. Ces valeurs satisfont à l’é équation P ART ER mais d’ailleurs elles ont toute la généralité nécessaire, ainsi qu'on peut s’en assurer par la résolution directe de-cette équation. 11 ne reste donc plus qu'à faire ensorte que 2p ou 2»(m-}+ 3n) (m—3n) soit un cube. Or il est aisé de voir que les trois facteurs de cette quantité sont premiers entre eux,'et ainsi chacun : d'eux doit étre’ un cube; soit en conséquence m5n =, m— 5n—=b%, 2m—c,-on'aura 14 b — c% De là on voit que si léquation xt yi—= 2 est possible. en nombres entiers, l’équation a+b—c; semblable à la première et exprimée en nombres beaucoup plus-petits, sera également possible,
Soit Aa y —=9p(p#4-5q°), AS ae 5 on aura par la er stitution des valeurs mars »
et à cause de PORTES LES 24h, cette formule donnera 4 > (ai-B)atsbre.
* Mais (excepté dans ES ne de a=b=: qui ne, peut jamais .ayoir, lieu)
on a toujours 44 >=
xdonce est plus gro qe is De) (+ )': donc SE . Mais par le même, raisonnement on déduirait
du cube 7’ un troisième cube 4” tel que : 4” serait Lys 14, et ainsi à l'infini : or il est impossible qu'une suite de nombres entiers DE Le 4”, etc, soit décroissante et prolongée à l'infini; donc il est tAPOESPe
QUAPRIÈME PARTIE. | «#47
que la%formule 25 (p°+-39*) soit un cube, au moins lorsque P nest pas divisible par 3. RAS)
4(330) Second cas. & p.est divisible par 5,,0n fera p—5r, et la formule 2p(p°-259) deviendra 18r(q° + 51°). Maintenant comme les fac. teurs 18r, g°+-3r° sont premiers entre eux, “il faudra que chacun d’eux soit un cube. Faisant donc d’abord g*+35r°=(f* +32"), ou plutôt q+ rV—3= GÉNIE ce qui donnera
PR o)er r= fe — 58", il restera à faire ensorte que 18r ou 27.2 (f-g) (f— 8) soit un cubes De là on déduira comme ci-dessus. f+g=, f—g—h, 290, et par conséquent a —4—?. Or on fera voir de même que le €ube
c* égal à a*— D, est beaucoup plus petit que le cube z° égal à 2p (p°-+ 3q°)
{car on aurait c< VE ÿz)on retomberadonc encore sur unessuite de nombres entiers qui devrait être décroissante et.prolongée à, l'infini; d'où l’on con, clüura que l'équation x Eye 2 est impossible, à moins que l’un des
termes ne soit zéro:
(331) Tnéonène VL « Ft somme ou la difrbnee de eue cubes iñé=+ ». gaux te peut être double d’uncube..» :,. : Er Soit; sil. est possible, x° y° = 25, les nombres x et. J qu'on pent supposer premiers entre eux seront tous deux impairs; ainsi on pourra faire x=p+q, Hype, cequi. donnera p(p°4-3q)= 2, et il faudra distinguer, denx Cas ;. selon ‘que p ‘est ou n’est pas spas Ps 6; . Si p n'est pas table par 3, les deux facteurs p, p* ps 3g" se- À premiers entre eux , ainsi ïl Hé que chacun d'eux soit un cube. Or,en faisant p'-5q=nt-tên), où plutôt. p+gy/—3=(mny/—5), on aura comme ci-dessus, p—m°—Qmn—=m(m#35n) (m—3n). Donc: puisque ce produit est un.cube, et.queises. trois facteurs sont:premiérs entre eux, il faudrafaire mÆ5n— a, m—3n—0, m= c ce qu donnera 4° b5 — 20, équation semblable à la proposée, mais SAR mée en nombres eoun plus petits . Sip est divisible par 5, soit — 5n, on aura 9n(3r° + 9°) — 25, de sorte que or: doit être un cube aussi bien que 37° +-g°. Celui-ci devient un cube en faisant gr —5=(mny—53), ce qui donne
r= 3m°n— 3n, partant or 27» (mn) (m— n): Cetté quantité de vant être un cube, on fera comme ‘ci-dessus 714 DE m—n—=b, ñ—c, Ce qui donnera de nouveau 4° — h— 26, équation encore semblable : à la proposée, mais exprimée en nombres He plus petits.
De là on conclura, comme ‘dans les: théorèmés précédens , que l'équation proposée x°Æyi= 23° est impossible, à moins que x ne soit égal à y.
(552) Tuéorème VIL «Aucun nombre triangulaire ; excepté 1, n'est » ‘égal à un cube. »
Car supposons pour un moment qu'on ait 2x (xHi)= ps où x(x+ 1)= 27"; si on fait y — mn, m et. n'étant deux indéterminées, cêtte équation ne PQUFrS: se décomposer que de l'une de ces deux manières :
lésquelles donnent 7° 1 — 2m°. Mais Suivant le théorème précédent ; cètte équation ne peut avoir lieu, à moins qu'on n'ait n=1,- donc ;, excepté les cas de x=0 et x=1,. pl ne peut ÿ avoir aucun nombre triangulaire égal à un cube.
Corollaire. L'équation 2x(x-+1)—7", peut être mise sous la forme 8y° +17; donc celle-ci m'est eut que PR les sous cas de V0 et Y—=1.
“ Remärque. Nous avons déni “dans ce parégrebe que l'équation EL Jr est impossible, ainsi que l'équation xtÆyt=z, et à plus forte raison xt yf— 3t} Fermat a assuré, de plus (Ed. cit. de Dioph. pag. 61), que l'équation x"+7"=— 7", est généralement impossible , lorsque » surpasse 2; maïs cette Proposition > passé le cas dé n—4, est du nombre de célieé qui restent à démontrer, et pour lesquelles les méthodes, que nous venons d'exposer paraissent insuffisantes. Au reste, il est aisé de voir que la‘proposition Serait démontrée en général, st elle l'était pour le cas où 7 est un nombre premier
PR
= DE TRES ht mn TS
$ IH Théorèmes concernant la résolution en nombres entièrs de l'équation x* FD dÿe
(333): Si l'on satisfait à Lots proposée en faisant x—0, on y satisfera plus ‘généralement, ‘en faisant x —0# 45, z étant un nuire indéterminé. Or dans la suite formée d’après le temme général OL az, il ÿ aura toujours-un terme compris entre —:@.et :#; on peut donc regarder ce. terme comme.une solution ou racine de l'équation proposée; et la question est de trouver toutes les solutions ou racmes de cette sorte dont l'équation proposée est susceptible. Voici différens théorèmes qui remplissent cet objet, dans le cas où a est uñ nombre premier; nous considérérons ensuite le cas où & est un nombre composé.
+ (334) Tnéonèue IL. « L'éqüation x"—b=—ch(a) (1), dans laquelle a » est un nombre premier; et ® un nombre non-divisible par a, ne sera
; ne a—T 4 # possible qu’autant qu'on aura & © — 1—cA(a) , © étant le commun » diviseur de 7.et de a—1. Si cétte condition est remplie, l'équation
» proposée aura un nombre & de solutions qui seront comprises’ dans.
;heqnengn Tee DE — ca) , où æ est le moindre entier positif qui satisfait à l'équation Fr —Q(a—1)=0o. Dis à
Si l'équation proposée est résoluble, on aura, en | rejetant les multiples de 4, 4*— b;. on a en même temps ; par le théorème de Fermat (n° 120), M == 1. Les deux nombres » et a— 1 ayant pour com-
mun’ diviseur © > Si l'on fait 1—n0,. a—1 4 de il: sera facile. de,
t'ouver deux autres nombres positifs æ et, tels qu on ait
TR = Qi,
: Crus MOTOR LL Lt: MONO Maintenant des équations BE SU SC AL ON UTE oies F Te [0 0] De "A Le
(] 1°] T ar, doncrx”—=0;; où
Po)
(x) L’expresion abrégée c/(a) désigne un multiple des.
d'où l’on voit que l'équation proposée ne pourra avoir qu’un nombre æ de solutions (n° 132); et pour quelle ait effectivement ces solutions;
F4 V'& ao il faudra que les deux équations à =, x” —1 puissent s’accor= n'a'o 7 n'ao d der enire elles. Or ces dernières donnentx =0 ,x * —=1 —1;
donc il faudra qu'on ait &= 1, :ou D — 1 — (a).
Cette condition est la seule nécessaire, et toutes les foïs qu’elle sera
remplie, me PARISCE aura un nombre « de solutions contenues
dans l'équation 4 br — cha). Or on s'assure que celle-ci. a effecti—
vement un re «de solutions, en obSettant DEEE es est fac-.
teur de x BA us Be 7 qui revient à x—?—1+4aR. Remarquez que si dans l'équation proposée z est plus grand que a—1;
on peut Ôter de cet exposant les multiples de a—x1, et ne, conserver.
que le reste positif. En effet x°—’ divisé par 4, laisse le reste 1; donc x m+" divisé par &, laissera le même reste que x".
(535) Il suit du théorème précédent, que l'équation x" —5 —=c{(a) aura toujours une solution, quel que soit ?, lorsque 7 et a — : seront
premiers entre eux ; soit alors + le plus petit nombre-positif qui satis-
fait à l'équation æn—@(a—1)=— 1, cette solution sera x— 2”.
En général, ce théorème a l'avantage d’mdiquer tot-à-la-fois si l'équation proposée est résoluble , combien elle a de solutions, et quelle est l'équation la plus simple qui contient toutes ces solutions. Dans l’é- JUAN réduite, l’exposant de x sera toujours diviseur de à — 1; ainsi il ne s’agit plus que de trouver les solutions de l'équation a —b=(a), dans la supposition que 2 soit diviseur de a—x. Or il est facile de voir
que si on connaît üné des valeurs de x, on" les-aura toutes en multi-
pliant la valeur connue par les “différentes racines de l'équation. x"— 1 —c(a); il convient-done ayant tout, de s'occuper de la réso-, lution de’ cette HET Se
(336) Tréorèm£ Il. & Étant proposée l'équation -4"— 1 — ca), » dans laquelle & est un nombre premier, et-r-un-diviseur de ar, » ensorte qu'on ait 4d—1=4n, . : » PE
RSS SANTE MER TTC Rain 2e A Las er - de
ne CT Rs te An
QUATRIÈLME PARTIE. 351 » 1°, On aurax=u", u étant un nombre quelconque non-divisible » par «a. ; À » 2, Si 8 est une valeur de x, 6" en sera une aussi, quel que soit » l’exposant 7».
» 3°. Si le nombre 0 est tel que 8"— 1 ne soit pas divisible par 4,
» y étant un diviseur premier de z, Ja formule æ—6" contiendra
»-toutes les solutions de l'équation proposée, lesquelles seront 1, » 8, 6...8"—, ou les restes de ces quantités divisées par a.
» 4°. Non-seulement il y a plusieurs nombres Ü qui jouissent de cette
riété mais l br t 1 RE: / 1 t » propriété, mais le nombre en est n(1—-)(1—)(1—),etc.,
» y, 1,.», etc. étant les différens nombres premiers qui peuvent di- » viser 72.» |
Car 1°. si l'on fait x—u", on aura a'—1=u"—; = — 1, quantité toujours divisible par a.
2°. Si x —0 ; où aura, en rejetant les multiples de a, 8"—1: faisant donc .x—0", on aura pareillement x" —0"" — 1, quel que soit 1.
3°. L’équation proposée devant avoir z solutions, la formule x—6" les donnera toutes, si.dans la suite 1, 0, 87, 0%.- .0"—!, il n’y a pas deux termes égaux (en rejetant toujours les multiples de 4.) Or supposons
À é2r Ca } L 6, il en résultera 0—1, © étant y — x où A —w, et par. conséquent moindre que #. Mais comme on a déja #1, si on ‘appelle « le commun diviseur de set den, et qu'on résolve l’équation..… Q2TEE
71 . ‘ nf —13—=6€, On aura 8 — ; le premier membre, à Cause de
: + > \ T ? g° € W— 1, se réduit à 1; le second, à cause de Ê — 1, se réduit à 6° ;
. . . € Q , ainsi on aurait 0 —1. Soityrz — en, et n/—n"y, y étant un nombre n e : . ; € ë » nn. v 7 premier ; puisqu'on à 0 —1, On auraaussi 8 —1, ou 0—1 ; équation impossible, puisqu'on a Suppose dans l'énoncé du théorème , que
la quantité 0 —1 ne peut être divisible par « ; donc la formule «—f"
renfermera implicitement toutes les solutions de l'équation proposée. 4. Soit » l'un des diviseurs premiers de z; de même qu'il n’y a que n valeurs de x qui satisfont à l'équation x"— 1 = ch(a), il n'y a
aussi que = valeurs de 0 qui donnent 8 = +. Donc sur valeurs que doit
"4 R LE. ELLE mniihétenss 7%"
“= ur 5 api 7 22 à 2 oi tsar em is oder —
sd : £ 7 : 5? . PADE TS n : L î NE IE C'e ; Fe 1 avoir 8 dans l'équation 8—=5 ; il ÿ en a #—" qui ne donnent pas Or: Raisonnant de même à l'égard des autres facteurs premiers dont # peut être Composé, on conclura qu'il y a un nombre...........
& ( CG PT r) ete. de valeurs de 8, telles qu'aucune des quantités ÿ" —1, g —1, ÿ” Ste, n’est divisible par a.
(337) Donc si x est un nombre premier, il sufhira d’avoir une yaleur de x'autre que l’unité, et cette valeur étant nommée 0, la formule x —=8" contiendra toutes.les valeurs de, x.
- Six. est.une puissançe d'un nombre premier », pour que la valéur
xæ=6 qui satisfait à l'équation x"=—7+1, en donne la solution complète,
il faudra que 6” ne soit pas égale à r, et alors on aura x". 00h . Enfin si nest de la forme 9° 1" > elc:5 cemme. on à peut ondes
le supposer, je fs 5e SU, = »Y y"; ete. et je. résous’sé- PP j , > hs , » j HARETEE les équations
als = (a), af = (a), 2° — 1h (a).
Soient DE Ts, x =", etc. les solutions complètes de. ces équations, je dis qu'en prenant ON x, etc. , la, formule x =" sera la solution complète dé l'équation proposée. C’est un moyen qu'on pourra mettre en usage, lorsqu'on n’aura pas rencontré tout d’un coup, par la formule x=— w*, le nombre 4 propre à donner toutes les solutions.. ke.
ExEmpPLE no
(338) On demande les sept valeurs que doit avoir x dans l'équation
Puisque 379 —1 —7- SET on aura ne Ce u.étant un nombre quelconque non-divisible par 579: Soit u—2, on aura, en réjelant successivement les multiples: de: 379; u°—=64, u®——175, u#=—25, di — 100: uf— 125. Donc x —125, et comme l'exposant 7 est un nombre premier, toutes les valeurs de x seront comprises. dans la formule x=— 125", laquelle donne les sept nombres suivans 1, 125, 86, 138, —184, 119, 94. La moindre valeur de x‘étant 86, on voit qu ïL
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aurait été fort long de chercher les valeurs de x par le iätonnement , en faisant successivement x =" 1, 2, 5, etc.
ExEmpPLE EL
(339) Étant proposée l'équation DS 1 — M7); ;-on peut, dorés le n° 337, résoudre les équations x— 1 —0c4(870), æ'— 1 = (670). Celles-ci ayant pour solutions complètes x— 180", += 1265", ôn“en conclura celle de la proposée x = (180.125 = 139";.et. comme le quarré de 139, divisé par AD laisse le reste — 68, où a plus simplement x —(— 8)".
La même équation aurait donné immédiatement ; par la première partie du théorème IL, x, Soit 4—2, on aura æ 64; et comme les diviseurs premiers de n—63 sont 3 A 7, 11 faut voir si 64°! et 649 ne donneront pas le reste +1. Or on trouve que.ces puissances né donnent pas le reste +1; done 64" eut été encore la solution complète de la même fetes as ee Pt
| (540) Tadone NL. « Lane proposée es ts ï era: ; » dans laquelle a est premier et 4 diviseur de a—1,, on résoudra' lé- » quation x{"—1—=cl(a) «qui sera toujours possible. Soit x=— 6" la » solution complète de celle-ci, je :dis que la solution complète:de la » proposée sera x=—8"*, à étant ‘un nombre queléénque,.»
Car 0" étant une valeur quelconque de x dans l'équâtion 21% —1— A (a) ; 6°" sera aussi une valeur quelconque de x dans l'équation x—1—{(a). Restent donc les puissances impaires de ÿ pour résoudre l'équation
CRE ES OT | 4 no
PER er
(341) Soit proposée l'équation LE 1 — A (433). qui est résoluble, parce que 453—1 divisé par 36, donne le nombre pair 12.
Je me servirai pour cela de léquatot x — 1 —0c{ (435), qui donne: æ—uÿ. Soitu—5, on aura uf ou x=—37. Cette valeur étant nomméé 0, on a O5—— 1, 0% 1098; donc suivant les parties 2° et 3°% du théo: rème IT, 0" est la solution complète de l'équation x—r = 0 4(455); et par conséquent B+1;est celle de la proposée x°+1=—0c#{(433). Voici les trente-six solutions qui en résultent.
x 37" = 37 +8 + An She jen Lg CO A20 = 109 22110 O0 148 52Æ 75H54 117.
Les mêmes valeurs seraient renfermées plus simplement dans la formule XL = Dit, £ É
(342) Taéorème IV. « Étant proposée l'équation ab AG), dans
A as br—L1, m étant diviseur de — rt
. Sim et x sont premiers entre eux, et qu'on cherche les nombres » ME met @® tels que Fh— m1, je dis qu'on aura 407 Y 5 » y élant une racine quelconque de l'équation 1" 1) = cA(a) ; -».2. Sim et” ont un commun diviseur ©; soit »—=n'o et mn —?m—1, » onaurax — By , où & — by (a), y étant une racine quel- » conque de l'équation Rip Hi = elt(a). »
Car en füisant dans lé second cas = br, cha OUR (4 Pa es y vas DRE
1)° — b. Le premier cas est d'ailleurs une suite du second,
Ce théorème offre déjà un grand nombre de cas où l’on peut rappeler immédiatement l'équation 4°—"b— (a) à la forme D El indique en même temps une infinilé d’autres cas où ÉDAUEe x” — b = olt(a) se décompose delle - - même en un nombre n' Pre
tions de deg HHSTIERS Er r—= ca).
Bxempre
(543) Soit l'équation x°+49—=ch(223), qui est résoluble (Th. 1), parce, qu'on a. (—49)#—1. Les nombres 5 et 74 étant premiers entre eux, On aura, suivant le théorème précédent, x=(—49} 7667, # ét une-raçine de l'équation y°—r==cÂ(2258).
| Remarquez que sion eût proposé l'équation x°+ 7 —cÂ{(223) ; il eût
étéfacile de voir qu'une de ses racines est x—6. Or il suit de R que dans l'équation x° + 49=el (223), on à x——536. En efet, re trois vacines de cette dernière sont æ— — 56, — 66, 102.
En général, si & estune solution de l'équation 2 th (a), a* en sera. une au V Fi ta act re = cl 2
ExEemprLe IL HS 4198: 8
(344) Étant proposée Son x° + 20— ch tie où où a dE ne il faut d'abord, pour que cette équation soit possible (n° 554), qu on ait, en négligeant les multiples de 61, D = 1. Or on‘trouve 27, et par conséquent 4° =—1 ; donc l'équation êst possible. Ensuite, puisque les exposans 6 et 5 sont premiers entre eux, on aura, suivant le théo=: rème, x—=—20y, et y7°+1—c(G6r): Or l'équation 7°—1=0û{ (61) a pour solution complète 7— 29"; donc x=—0.2d°7"=30,153. Les nombres qui en résultent sont + 7, = 24, Æ 30.
Das mem AU
(345) Soit l'équation x°—5—c#{(6or) ; on trouve D}; mais comme, 10 et 6 ont. pour, Commun diviseuf 2,.06n fera,-strivant la seconde partie du théorème, x°=0°y et y°2=1=c#(6or): Celle-ei donne X=(- 169); ainsi l'équation proposée peut. se: décomposer en, cinq autres du second degré, qui sont :
2 — 120 — 4 (601), x — 154 — (601), D au 2 — 276 —= (Go), x — 234 — cAM(Gox).
Mais cette déÉOrRpOsIHO est peu avantageuse, Car al suffit davois ue valeur de + qu'on multipliera: pêr les raeinés de l'équation JE H(Gor) on peut donc n employer qu’ une de ces équations , et la troisième, qui est la même que x°+-28®— 4 (Gor),: est celle d’où l’on ‘tirera le plus aisément. une. valeur de x (n° 185).
- (546) Twéonème V. « Soit l'équation à résoudre x"— = oh a) , dans
» » laquelle p° =) étant diviseur de ==" ; soit 6" la solution
» complèté de l'équation 4°°—1—c{{(a); 6 devant être un desnombres EAN ES pi. LA je suppose #—6"": cela posé, je dis que la ÿ solution complète de la proposée sera à —@""T# ,
En éffet cette valeur de x donne x"—, quelle que soit m; il suffit donc de faire voir que à se trouvera toujours parmi les nombres 6, 62, etc. Or puisque 0" est ke solution: complète: de Féquation: …. ?.,
x" 1—=0oM(a), on aura 07” pour celle de l'équation x'—1=4 (a);
et puisque # = 1, il est clair que à doit être un des nombres repré— sentés par 0”.
. Gette méthode pour résoudre l’équation x"—b = (a), n’est sujette à aucune exception; mais il peut. être plus ou moins loug de chercher # dans la suite 8", ge, etc., et pour qu’elle réussisse complète ment; il faut que le nombre w ne soit pas bien grand. Si Léquaton
B—: résultait de l'équation DRE , il ne faudrait chercher b que dans la suite 0", 07, 65" etc.
E x € M p Lt.
(347) Soit l’équauon x°—5—cX (601), déjà traitée (345), mais qui Wa pu se décomposer qu’en facteurs du su degré. On aura, en rejetant les multiples de Gor, b—5, b——1, b°—1, et amsi ©o— 12. Maintenant la solution cotplèté a Sven x%—1—cH (601), trouvée par le théorème IT, est x—(— 140)"; et conséquent celle de
lé CAVE x'—1—=cû (6or) est x=(—140) ou 120 ; donc à doit
être compris dans la formule 120!, en prenant pour w un nombre im-—
pair : or on trouve qu'il faut pour cela faire w—5. Donc la solution complète de l'équation proposée serax=(—140)*"" ou x—214.(169)". Les valeurs qui en résultent sont 214, 106, Æ 116,229, 237.
::(548) Ayant trouvé un nombre 8 tel que 8"—2 est divisible par le nombre premier a , il est facile de trouver une valeur de x telle.que x'—à
soit divisible par une puissance quelconque a de ce nombre premier. Pour cela, soit 0"— b—Ma, si Von fait 1°.x—0+ a, et qu'on détermine À et M par Lo Mnÿ""4 = a’, il est clair que LED sera divisible par 2°.
Si on fait 2». W—0+L4a, x—6+ 1, et qu'on détermine # et M" par l'équation Mn" 4 4 M", la quantité x"— D sera divisible par ‘af. :
Si on fait 3°. BE ds, x—8"A'af, et qu'on détermine 4” et M" par l'équation M'ng""4"—=atM", le binome x"— à sera, divisible par 4.
. ee + . ” æ .
On continuera aïnsi jusqu'à ce que x"— soit divisible par & ; et si
-QUATRIÈME PARTIE. 357 & n’était pas un terme de la suite 2, 4 8 , 16, etc. on voit aisément quel changement il faudrait ÉrEn à la Le des équations indéterminées. Ainsi si on avait æ—7, au lieu de la troisième équation M" + n6t 4" a M", on prendrait M" n8°4"— aÿM", et la valeur x—6"+ 4’at rendit x'—b -divisible par #7.
Nota. Si exposant z était divisible par a, il pourrait arriver que quelqu’une des équations qui servent à déterminer 4, 4’, 4”, etc., fut impossible ; mais alors on aurait acquis la preuve que x'—b ne peut être
divisible par d”.
(549) Maïlenant si l’on veut que x"—B soit divisible par un nombre
; a,6 a ,6 composé quelconque 4—ab c?, etc. dont a, à, c?, etc. sontlesfacteurs premiers , élevés à des puissances quelconques; il faudra, par ce qui précède, déterminer les nombres À, m, », etc., tels que les
quantités
etc a p° c?
soient des entiers. Ensuite on combinera ensemble les équations
x —=\+ta zu Ps — + 7x — etc.
Et on obtiendra de cette manière toutes les valeurs de x moindres que LA, qui rendent .x*—B divisible par 4, ou qui satisfont en général à l'équation x" — B — Ar.
Si on avait à résoudre l'équation Cx— B— Ay > On pourra. supposer que C et À n’ont point de commun diviseur; (car s'ils en avaïent un, on le ferait disparaître par la division). Soit donc Cu—4»=1, si l’on fait y =uy — vx", l'équation à résoudre deviendra x"—Bu—4}", et ainsi sera ramenée au Cas déja traité.
$ LIT. Résolution de l'équation x° + a = 2" y.
(350) No von déja vu (n° 189) qu’en écartant les cas les plus:
simples dans lesquels 77 ne surpasse pas 2, cette équation est résoluble,
pour toute valeur de m, a étant de la forme — 184. Voici alors
comment on peutitrouver la solution générale de cette équation. Considérons d’abord la suite connue
Et À London Legs ie Le M DIae (+2) D À 2.4 ° GRAS 2.486787 HS SIC:
et observons que ses coeficiens, réduits à leur plus simple expression, sont : ; :
