RL DL LM OR T

) n=H1.7H0...97—92 2" (2n— 2)N — LE Se Lee 1. 2+,,1—-9 { ” .

Or ces deux quantités doivent être des nombres entiers, puisqu'on sait en général, par la formule du binome, que la quantité e.cH1.c+9...cHm—i1 1 PER Ron mn est un nombre entier. Donc faisant 2""="7N—E et (2n—2)2"72N—F", on aura 2E—E AE -

gii—k ?

d’où l’on voit que le coefficient V-du terme z" ne peut avoir pour dénominateur que la puissance 2*7* ou-une puissance inférieure de 2, lorsque Æ” sera pair.

Pour déterminer dans tous les cas ce dénominateur, il faut recourir à la première formule, :

et on voit que dans la valeur réduité de AV le dénominateur ne sera autre chose que la plus grande puissance dé 2 qui divise le. produit 2.4.6...2n, où, ce qui revient au même, le produit 1.2:3..,2n. Or on a donné ci-dessus, (Introd. n° X VIIT) l’expression générale de cette

. x QU =—— y , puissance, laquelle est 2 > » étant le nombre des termes ....

Ç 2° + 2 7 —Letc. dont la somme forme le nombre 2».

(552) Pour revenir à la résolution de Féquation x+a—= 2"y, lorsqu ’on fait a=—=—1 TSX ; Supposons qu'on développe (Gi Æ 84) en série, de la mème manière que y/(1+-2), ce qui donnera

. Sata — — 2'af —E etc.

V(GE8a)—1+- Sa — rat

Un terme quelconque de cette suite peut être représenté par JV. 2°"#", et comme !V est une fraction qui a pour dénominateur 2 élevé à la puissance 22—1 au plus, il est clair que tous les termes de cette suite se réduiront à des entiers divisibles par des puissances de 2 de plus en plus élevées.

Imaginons maintenant de ‘on ne ‘prolonge cette suite que jusqu'aux termes exclusivement qui sont divisibles par 2) et dans cette hypothèse faisons SAR 2 — FT 2af + etc.

La quanuté 6°—a ou 8—(1 8x) ne pourra être composée que de termes divisibles par 2"; donc en faisant x—0, on satisfera à l’équation x°—a—2"y. Donc la solution générale de cette équation est

RE do Lol a + 1.5 LE Et 2° 2.4° ee 6

ol üt

Par exemple, pour résoudre l'équation x°+15=2"°y, on fera Ha, c’est-à-dire que prenant le signe inférieur on fera 4—2, et prolongeant la suite jusqu'aux termes divisibles par 2° exclusivement, on aura

1 4 1 | 8 5 12 3 5 8 Pi: si. I 2 — 25— 3.28, 2 2 Le terme —3. 2" se réduit, par la même omission”, à 25 ou 2—2—2"; donc on a 0—1—8—32#+256—217, et en général x—512X 217.

$ IV. Méthode pour trouver le diviseur quadratique qui renferme le produit deplusieurs diviseurs quadratiques donnés.

(353) Proszème I. « Far donnes deux diviseurs quadratiques À, A”, » d'une même formule -# + au, trouver le diviseur quadratique’ qui » renferme leur produit AA’

Nous distinguerons deux cas, selon que.les diviseurs proposés sont de la forme ordinaire py* Hays ou de E forme py°+ qyz rs dont les coefliciens sont impairs.

Premier cas. Soit A —py°+2qyz+rz et A'=p'y+2gy'z + re, nous supposerons que les coefliciens p'et p‘ sont premiers entre eux, ou que du moins ils ont été rendus tels par une préparation convenable: Cela posé, si lon fait pr Ægz=x, py + gr =x, on aura pA=x" + as, p'A—x"®+az?, donc

pp'AA'= (xx —ÆEazz')i+ a (xs 22).

Mais puisqu'on veut que le produit AA’ soït contenu dans un diviseur quadratique de la formule + au” ; puisque d'ailleurs ce produit, considéré en général, doit contenir le produit particulier pp’, on pourra supposer AA =pp}°+2@} ZEN? et ppl—@ a, ce qui donnera pp'AA = (pp YF +@Z) +a2?.

Comparant cette valeur à la précédente, on aura pp F+@Z= xx" + azs LR UE:

Mettant au lieu de 4 sa valeur pp —@", la première de ces deux équations donnera

pp Y = (x @z) (x — pz) Epp'zz “et en substituant de nouveau à la place de x et x’ leurs valeurs

Der e et pz + gz, on aura, après avoir divisé par pp,

ra(ite) Ge) ete

Cette quantité doit être un nombre entier; indépendamment de toutes

valeurs de 3 et de 7’, il faut donc que es et? F ? soient des entiers.

Soit en conséquence

P=prRq=pR +; (a) on pourra toujours déterminer » et x’ par l'équation pr=q=pr + q, puisque p et p’ sont premiers entre eux; on aura ainsi la valeur de,

laquelle donnera un nombre entier pour À — . Car ayant... O—prh#=g, et g"+a—=pr, il s'ensuit que 9*+a est divisible par p; ayant de même @=p'n'+q" et g°+8= pr, il s'ensuit que ®* +4 est divisiblé par p/; donc puisqué p et p’ sont premiers entre eux, il faudra que ®@*— a soit divisible par PP: se

Les nombres n, x, ®, L étant déterminés comme on vient de le dire, si l'on fait

FY=(yr En) (y —n2)E Ve Z=axs Riz (pr +9) (pr +ge)s, on aura le produit cherché AA'= pp}? + 20FZ +47 ;

de sorte que ce produit sera contenu dans un nouveau diviseur quadratique de la même formule # + ae.

(354) On doit remarquer, à cause de lambiguité du signe + dans ‘ l'équation (a), que le problème considéré en général a deux solutions. Mais il ne peut en avoir plus de deux. En effet, on peut supposer les nombres p et p' prémiers l'un et l'autre ; et le diviseur quadratique, quel qu’il soit, qui renferme AA’, sera toujours.de la forme...... PpY° + 2073 + Ve, où lon a ç°+a=pp'}. Mais lorsque les nombres pet p sont premiers, il n’ÿ aque deux valeurs de 9 moindres que Zpp', qui rendent @ + à divisible par pp. Donc il n'ÿ a au plus que deux diviseurs quadratiques différens qui renferment le produit AA. Je dis au plus ,«parce que dans quelques cas particuliers, les deux diviseurs quadratiques réduits à l'expression la plus simple, pourront coïncider en un seul, lequel contiendrait AA’ dans deux combinaisons différentes. Cela doit arriver, ainsi qu'on em verra un, exèmple, lorsque la formule + au?- ne contient qu'un seul diviseur quadratique correspondant aux formes linéaires dans lesquelles pp’ est compris.

Re ET RS ne men mr M

QUATRIÈME PARTIE. 363 (555) Second cas. Si le nombre « est de forme 825, et qu'en conséquence le diviseur quadratique A, qu’on supposera impair, soit de la forme py°+qys+rz, dans laquelle les coefliciens p, g, r sont impairs, et où l’on a 4pr—q°— a, on pourra encore faire usage de l’analyse précédente, po avoir le produit AA’. En effet, comme on a 2A = 2py° + 2qÿ2 + 278, 2A°= 2p'y + 2472 fx + or°z°, ïl suflira de mettre dans les féraules trouvées #2 et 2r à la pee de p et r. On aura donc, pour déterminer » et »', l'équation

pr—pu'=2(g Æq); (b)

Maba Pp' Faisant ensuite F—(y+n)(y —nz)ÆEdzz, Z=(2pr + gs)

Æ(2py + qz)s, on aura

, 4AA'= 4pp F?490FZ HAN.

Or on voit que Z étant toujours pair, on peut mettre 2Z à la place de Z , et alors si l’on fait de nouveau

Y=(r=Ens)(x—nz3) Eds Z'=pisFpr2+3(q +9)

d’où on déduira les valeurs de @ et 4, savoir = 2pn9, d —

le produit cherché sera

AA = PP EÉROA +2 EE xemeLze JL

(356) Soient proposées les deux formules A=—147*#10y2+ 213, N'—07y* + 273 + 30:*, lesquelles représentent deux diviseurs quadratiques de la formule # + 269%. Pour avoir le produit AA exprimé

‘par une formule de même nature, j'observe que les coefliciens 14 et Q étant premiers entre eux, On peut, sans aucune préparation, applice à cet ES E les formules du n° 353. Faisant donc p —14, 9 —5, P—9; g==1, On aura l'équation 14n = 5 = 90" +1, laquelle donne deux résultats différens, selon qu'on ur le signe supérieur ou linférieur.

1°, Avec le signe supérieur, on aura 7—3, 14, 957, Ÿ—153,

de sorte qu’en faisant Fr +8 —A4ys + ZL'= 1478 — 0724 437, le produit cherché sera AA = 1267° + 74ŸZ + 132°.

, E % Br URLS aus > his = 2°. Avec l’autre signe, 6m trouve 7—7r1,n—2, ®@=19; dd —=b; donc en faisant

F=yy— 37 — 2yz — 3:

Z= 1475 +0 +627, le même produit sera de nouveau