AA — 126 F4 58 YZ

Maintenant, pour réduire ces produits à l'expression la plus simple, il faut faire, dans le premier cas, Z=—=U—2#, et dans le second, Z=U—AT, ce qui donnera finalement ces deux résultats:

Fr +3 z—A4ys ss AA = 450% +ooUY +307:

U—= 477 + 5y'3 + Gyz' — 63’, (2) 3

U= 27y + 6yz— 377 +6Gz (1) 3

F=yy — 73 — 272 — 327 AA'=5U7— UT + 54F2.

Exer mere: II

(357) Soient proposés les diviseurs A —=y°=ÆYyz—+41x,...."., N'—7"® +7 + 413%, tous. deux appartenans à la formule & 163w. Pour avoir leur produit exprimé d’une manière semblable, on suivra les formules du n° 355; lesquelles donneront les deux résultats que

VOiCI :

her Ha A (1) Z=7yz —7"z AN = + FZ HZ. A Fr — 4e (2) ZL=ys +y3+3 AA = PP Ze 412:

TR PRE LC CRE DUN RL CSSNEE = x = .

a né er re TR PACE

QUATRIÈME PARTIE. 365 Dans les deux cas, le produit.est de même forme que les deux facteurs; et en effet il ne peut être de forme différente, puisque la formule 1634 n'est susceptible que d'un seul diviseur quadratique.

(558) Proërème Il. « Trouver le produit de deux diviseurs quadra- » tiques semblables A—py°+2qyz+rz, A'=py°+2qy"2 +rz°. On pourrait, par une transformation, réduire ce problème au précédent; mais il est plus simple de procéder à la résolution directe de la manière suivante :

. Soit. pÿy + gz=x, py + gz = x, on aura AAp° = (x° + az) (x° + az") = (xx azz) +a(xz az). Si dans les signes ambigus ‘du second membre on prénd'le signe inférieur , et qu'on remette les valeurs de x et x’ ainsi que celle de 4, On aura xx'4z2' PRIT +pq( TE HT" 2) pre gs, et x —x'2=p(ys 72) ;

d’où l'on tire, après avoir divisé par ) P° ,

AA = (pr + qyé + gra + 122) END

C’est la première valeur du produit AA laquelle est,de la forme y°—+az. Rs avoir une seconde valeur de ce produit, supposons. ...... = pY?+ 20YZ + 47, et à l’ordmaire PTE — Q° — a; nous aurons AP = (P° F+9Z) + aZ° ; de sorte qu'en comparant cette valeur à la: RES ON aura

RE Se:

pF+He2= xx Æ azz,

substituant dans la dernière équation la valeur de 4, ainsi que celles de x, x’, et Z, on en tire

= GHE) G+E)ae

Donc pour que F soit entier, SA Le de toute valeur parti-

4 5 + ave : + 4 culière de 3 et z', il faut que . et RE soient des entiers; de là

on voit que dans les signes ambigus on doit prendre seulement le signe inférieur ; ; c’est pourquoi faisant P—q-+pr, On aura #

F=(y—nz) (y —n7) —1\z Z'=p(y #73) + 293%.

Mais il reste à déterminer x de manière que 4 soit un entier: or on L— re PI ID = +. Donc si l’ôn cherche les

plus petites valeurs de 7: et 7 qui satisfont à l'équation