PT PM

toutes les conditions seront remplies; on aura @—49+pn, J =m+nr, ‘et le produit demandé sera dans sa seconde forme,

A'=p°Y?+ 2977 +AZ:

(359) L'’équation r—pm—2qn, dans laquelle » et #2 sont des indéterminées , sera toujours résoluble tant que p et 29 seront premiers entre eux; elle le serait encore, si p et 27 ayantun commun diviseur 6, r était aussi divisible par: 6. Ce cas cependant importe peu à considérer, ou même doit être entièrement écarté, parce qu'alors la formule py°.+ 2gy3 + r ne pourrait représenter que des nombres divisibles par :

Enfin il peut arriver que p et g aient un commun diviseur 8 , lequel ne soit pas Commun avec r, alors l'équation »— pm— 2qn serait imposne C’est ce qui aura lieu dans les deux cas ci-après:

. Si a est divisible par 0 et non par 6°, car alors p divise bieñ au, mais p° ne peut diviser cette formule qu’en supposant Te t etune sont pr premiers entre eux.

: Si 0 étant diviseur commun de p et g, les nombres p et à sont divisibles par 6°; car alors l'équation pr—q=u pourrait avoir lieu , sans que r füt divisible par 0. Dans ce cas, une simple transformation du diviseur py° + 2gyz+ re préviendrait la difficulté; ou bien , comme ce diviseur est alors de la forme p'0?y° + 2q'8yz-+rz, tandis que la formule qu’il divise est Pau, on peut mettre y à la place de 8y, et uw à la place de 0, et on aura p'y°—2g{yz-rs? pour diviseur de #+a'u?. Or dans cette dernière forme, il n’y a plus lieu à difficulté.

(360) Si le nombre & est de forme 815 , et qu’en conséquence les diviseurs quadratiques proposés soient À = py* + 29372 ,..... A'= pr) z #73", on trouvera par une analyse semblable à la pré“ cédénte, deux formes du produit AA’. La première qui se présente immédiatement est

A FH V7 (a+a)Zt,

TE ET AUD NE es Ra — im vous -Snlou ch EE - :

où l'on aura

à P=pyy +5 (q— 173 + (+1) rer

Z — y yz.

Pour avoir la seconde forme, 1l faut chercher les moindres valeurs de m et 7 qui satisfont à l'équation

r = pm —— qn. - Faisant ensuite les constantes —q-+2pn, 4 =mn*, et les indéterminées ; PF (m2) (ne) — 5e Z=p(9s +72) +95; A'=p}+@rZz +N2.

on aura

(361) IL est manifeste que le problème général qu’on vient de résoudre comprend, comme cas particulier, celui où il s’agit de trouver le quarré d'un diviseur quadratique donné. Mais alors le produit n’est susceptible que d’une seule forme; car ayant y3—7"3 = 0; la première valeur de AA’ m'est pas de-la forme d’un diviseur quadratique.

En général, puisqu'on peut exprimer le produit de deux diviseurs quadratiques donnés; égaux où inégaux, pat une formule de la même espèce , laquelle estaussi un diviseur quadratique , il s'ensuit qu’onpourra toujours trouver un diviseur quadratique égal au produit de plusieurs diviseurs quadratiques donnés.

Et si on s'occupe seulement de la forme des produits, sans s'inquiéter de la valeur des indéterminées qui y sont contenües, le problème devient beaucoup plus simple, puisqu'il suflit d'opérer sur les coeficiens, lesquels n’ofirent qu'un nombre de combinaisons limité.

Ayant donc désigné, par exemple, par 4, B, C, D; etc., les différens diviseurs quadratiques qui conviennent à.une formule donnée au, on cherchera, par les principes précédens, quelles doivent être les formes des différens produits deux à deux 44, 4B,AC; BB, etc. Si l’on trouve que le produit.4B peut être à-la-fois de la forme C et

ae C de TE de la forme D, on écrira APE, et ainsi des autres, Or on con-

çoit que les produits deux deux étant trouvés, on en déduira aisément les produits trois à trois, quatre à quatre, etc.; de sorte qu’on connaitra en général es diverses formes du produit qui résulte de tant de diviseurs quadratiques qu'on voudra.

Dans cette. notation, il convient de, distinguer BB.de B°: l'expression BB désigne le produit de deux /diviseurs quädratiques semblables à B, mais dont les indéterminées sont différentes ; l'expression 2° désigne le quarré du diviseur BP, et suppose par conséquent que les deux facteurs B et B sont identiques, tant dans les coefliciens que dans les indéterminées; celte circonstance apporte une modification au résultat, car nous venons de voir que B° n’est susceptible que d’une forme, tandis que BB en a toujours deux. Une pareille différence se fera senür dans les expressions BBB, B°B, PB, et autres semblables :'il est donc nécessaire de chercher à an forme doit répondre une puissance quelconque d'un diviseur quadratique donné. C’est l'objet du problème suivant,

(562) Progrème IL. « Étant donné un diviseur quadratique A de la » formule +au?, trouver le diviseur quadratique de la même for- » mule, par lequel la puissance A" puisse étre exprimée. »

Premier cas. Soit lé diviseur donné A=py°+ 29ÿ3 rx, et supposons, pour éviter toute difficulté, que ce diviseur a été préparé de manière que le coefficient p est un nombre premier nôn diviseur de 4.

On peut d’abord démontrer qu'il n'existe qu'un seul diviseur quadratique dans lequel A” puisse être contenu. En effet, quel que soit le diviseur quadratique qui contient A”, il devra contenir p". Or on a déjà prouvé (n° 232). que p étant un nombre premier, la puissance p" ne peut appartenir qu'à un seul diviseur quadratique. Donc il n’y a aussi qu'un seul diviseur quadratique qui puisse contenir A?.

* Cela-posé, puisqu'on a pr—q—+a, si l’on fait en général... (GHV= a) =EEGy/—a, (g—v—a)=F—GV—a, on aura (g* + a) ou pr'=F"+ac. Or je dis que G et p sont premiers entre eux, car si G était divisible par P F le serait aussi d’après la dernière

équation. Mais on a

Bree ns Om cr ns dr dr ele

et si on néglige les multiples de p, on äura

LT Er IL. Tr 1471— 9 1 —3

aq, Fe gate jar

Donc q, et-par conséquent a; serait divisible par p, ce ‘qui est contre la supposition.

en, Per Le LE ” en ER ne He SES lee

Puis donc que G et p sont premiers entre eux, on pourra faire... F=eG+p'H, @ et H étant des indéterminées, et-en substituant cette valeur dans l'équation pr" F?+aG*, on en conclura que o°+a est divisible par p", et qu'ainsi on peut faire ça —=p"\.

Ayant déterminé de cette manière les quantités @ et 4, on aurale diviseur quadratique p"F? + 29YZ +47, lequel appartient à la formule # + au, puisqu'on a p“J —ç9=—a. Ce diviseur est celui qui contient. généralement la puissance A”, puisqu'il contient le nombre p"; mais il faut voir comment on déterminera Yet Z en fonctions de y et z.

Soit donc A"—p"}°+20FYZÆ+ V2, où A'p"=(p"Y+oZ) + aZ2? : on a d’ailleurs Ap=—( pr + gs) + az°; donc si l’on fait pr + gz=x,

PIPHp2— X, on aùra À? aZ* —(x—+az)". Or on satisfait généralement à cette équation, en prenant À +2 V—a=(x +34 — a), d’où l’on tire

.A—1.1n—9.n—3 2" hat — etc.

n—3 m3 CEE Far ere + 1.2.8:4.5

TL TL ==] X— XL? — a ar + =

Z' = NX" 13 = x" 543 01.

La valeur de Z est déja exprimée par une fonction entière de x et AZ.

de z, ou par.une de y-et de 3; quant à YF, on a F— : Or.

pP" X2—pZ—= X?+ a7 — pr Z—p'(A"—4Z*), donc il faut que. - X?— g°Z2* soit divisible par p". Mais on voit par l'équation p pa que ® ne peut être divisible par p ; puisqu'alors & serait divisible aussi par p, contre la supposition. On ne peut supposer non plus que Z soit divisible indéfiniment par p, car alors Æ serait aussi divisible par p, ainsi que x°— az; donc en ométtant les multiples de p, on aurait az = — x°, valeur qui étant substituée dans celle de X, donne

RARE UE 5, 4 etc.) 2x À

Yes" CE

donc il faudrait que p divisätx, et par suite 3,:ce qui ne peut avoir lieu, puisque y et 3 sont des indéterminées à volonté.

Puisque la quantité X°—9°7> est divisible par p", et que ses deux facteurs X4+@Z, X—@Z, ne peuvent avoir p pour commun diviseur, il s’ensuit ‘ que l’un de ses facteurs est divisible par p". Et comme le signe de @ est arbitraire, on pourra supposer.que À—®Z représente celui: des deux facteurs qui est divisible par p". Donc la valeur de Y dévelop,

pée én fonction de x et 3, sera un nombre entier, quels qüe soient y et: Donc le diviseur quadratique p'F? + 29YZ+ V7: ainsi déterrhiné, sera égal à la puissance 7 du diviseur proposé py°+ 2972-rz*.

(363) Second cas. Soit la formule donnée A—py°+ gys“-rz", où lon suppose p; 9) r impairs et pra.

* Onpréparera encore, s’il est nécessaire , cette formule de manière que le coeflicient p soit un nombre premier, et on démontrerait d’ailléurs, comme ci-dessus, qu'il n’y a qu'un seul diviseur quadratique qui puisse contenir la puissance demandée A”.

Représentons ce diviseur par la formule p'Y#Lo7Z+\7?, il faudra qu'on ait 4p"4 —@" a. Or comme on a déjà 4pr—q+ a, silon fait (1g+iy—e) =iF EE Gy—a, les nombres F et G seront toujours entiers (n° 57), parce que 7 étant de la forme 8243 , —a est dela forme 471 : on aura en mème temps (2qg—2:y/—a) —% Fe: Gy—a,

L =) ou p'r"—"}([#"®+ aG*?). Or on prouverait,

et par conséquent (

comme ci-dessus, que, Fet G sont premiers entre eux , ou qu'ils ont seulement 2 pour commun diviseur; donc on pourra faire F=—@G+2p"A, c’est-à-dire qu'on pourra toujours déterminer le nombre impair @ <p”

= soit un entier. Cette valeur de Æ étant substituée dans

rm p”

tél que Æ

l'équation 4p""—#°-+aG*, on en conclura que doit être un

enter ; et comme @* a èst de la forme 87-+-4, on aura en même

tèmps ee égal à un entier. Soit donc a 4p"}, et il est clair que par le moyen de @ et “1 > On aura entièrement déterminé le diviseur quadratique qui contient p", lequel. sera p'F° + oFZ +22.

Maintenant, je dis que ce diviseur contient en général A”, ensorte qu'on, peut supposer, PE +orZz + NZ — A—(py 2 gys + 2 )'; c'est ce qui sera évident, si de cette équation on peut tirer des valeurs entières de. F et, Z, cales que soient les indéterminées. y etzde la formule pr oposée.

Or de l'équation. précédente on tire , AApr= (PT + e2) + a2— HSE E 27

Soit pour un moment 2p"F+eZ= X, 2py+gs=x, on aura l'équation A+ a2°—=4 (3x + Taz y à laquelle on satisfait généralement

da Re er ms, ner - ame — D rt in, passer

QU'ATRIÈME PARTIE. T ya?

en preñiant R (x +33 — a) =EX+EZV—a; et on sait que les nombres X et Z tirés de celle-ci seront toujours entiers; il reste donc à démontrer que Fest aussi un entier. Or on à 2pY = X—@Z et X°+ aZ° —4A"p" ; substituant dans la seconde, au lieu de a, sa valeur 4p"d—@", on aura X?— g°Z?—/4p"(A"—VZ?). On prouvera d’ailleurs , comme ci-dessus’, que:les facteurs X— 97, X+0Z7 n’ont point de commun diviseur autre que 2; donc puisque À—7°7* est diwisible par p', il faut que l’un des facteurs X—oZ, X+97, soit divisible par p'; et.:comme on peut prendre à volonté le signe de ®, on pourra représenter par À—©Z celui des deux facteurs qui est divisible par p"; il le sera en même temps par 2p", parce que @ est:im-

. Le X : .

pair ; donc la quantité F = sera toujours un nombre entier,

ou plutôt sera une fonction entière des indéterminées y et z. Donc la formule p'F?+ oYZ+VZ* représentera en général la puissance 2 de la formule proposée py° + gy3+72.

Remarque. Si Ton veutsimplement savoir à quelle forme des diviseurs quadratiques appartient la puissance 7 d’un diviseur quadratique donné AÀ:, l'opération se réduit à déterminer les coefliciens 9 et 4, comme on l’a expliqué dans les deux cas; ensuite ôn ‘ramènera à expression la plus simplela-formulep D'H2078 +Vz", ou la formule p'y° y (si a est dela forme 8r4- 3), qui contient la puissance désignée.

IL'est facile maintenant d'évaluer dans les produits des quantités À,B, C, etc. (n° 361) les termes qui contiennent des puissances de ces

quantités.

E x Em P re cl.

(364) Soit la formule #*+4rw dont les cinq diviseurs quadratiques

sont :

AJ +3 +42% DES Hays +4

PB = 27° + 2ys+ 217 E = Gy° + 2ÿ3 4 72.

C=57 +673 + 102 Si on multiplie «entre -eux deux diviseurs, tels que € et 2 (en distinguant par des accens les indéterminées ‘de l’un des deux), on trouvera (n° 353) que le produit CD, réduit à l'expression la-plus simple, est à-laffois-deila forme D 'et,de la forme Æ. On trouvera semblablement les autres résultats suivans qui renferment les formes des produits de deux diviseurs semblables ou dissemblables, dans toutes les combinai-

sons possibles: on y a joint les quarrés de ces mêmes diviseurs trous vés par les formules du n° 358, ou par celles du n° 362: MAN AAA NPBPB=A cc— f4 | pp=[e EE = 4 B°= A | 4AB=—B | BC—C (B C &=B|41c—=c|\B8Dp—E#E | c—/{? DE= |e D'=C\4D=D;\; BE =D EC | 4E=E | CE= fr | De là on déduira la forme du produit de tant de diviseurs qu’on voudra, où l’on pourra faire entrér des puissances supérieures à la seconde,

en cherchant leur valeur par les formules du n° 362. Par exemple, les. produits des trois diviseurs semblables seront:

PAL TA A Dpp= (nn 7 fe BBB—=A4B—=P E AC (GC 4E CNE ref)

d'où l’on voit que le produit BBB se réduit à la seule forme 2; que le produit CCC se réduit de deux manières différentes à la one C; que le pr oduit DDD se réduit de deux manières à la forme D, et dhob manière à {la forme Æ, etc. Dans le cas où les trois Ébtette seraient. égaux, les produits se réduiraient à une seule forme, et on aurait (n° 362)

E x eme LE IT

(365) Considérons encore la formule 4 --8ou? qui a sept diviseurs quadratiques, savoir :

A=ÿ° + 273 + 907 E= 7 + 6yz+ 143 B = 27° + 2yz + 45% F= 37° + 272 + 30z3° C—97°+ 273 + 107° G=6y? + 273 + 157.

Les combinaisons de ces diviseurs: multipliés deux à deux, donnent les résultats kgs auxquels on a joint les quarrés de ces mêmes diviseurs :