SOMME

: QUATRIÈME PARTIE. | 4 || 2 AS AN AA = A | BBA A À A a + co=| DD={ FE=\ || 0 DER LE BG—=D D D B || 5 œ—D|4ac—c|rD—c cp={e DE={T EF— is || 8h DE, D AD =D:} BE E (F | E c | ‘ai E=8B|1E=E| 8r=cG|CE=)G DF= fe BG={, FC AP PDG 5 He ve A CcFr=!" | DG=— EF = | G=C|4G=0C æ Œ £ CG= la FG=— (D l d : (4 | | | GG= # De là on déduira aisément les formes des produits de tant de diviseurs qu'on voudra, ayant soin de prendre pour les puissances supérieures à la seconde les formes: déterminées n° 562. Par exemple, si on veut avoir toutes les formes des produits 4°B, B°C, CD, etc. on trouvera AAA NBA —AVCA—= D ND AE D EAP} FA—C| CAE C

à : .p-N4| np-f4|rp2c\r#p NB mn AE=E | BE—=E GT) PET PDC G:D—

AFF) BF = F (F| EEE Fa (F = PE FE—= 2 —) æc=G|r#e—6G|° e ter RARE TE CHE Dee ie Pr G°E— E = al cl mcr\- "sr = E E fE (E 2G— D?G= FG= 2C— | Ge (rl G Cr Ce

Au moyen de ces développemens, On peut voir tout d’un coup quelles sont les combinaisons qui peuvent produire une forme déterminée. Ainsi on voit que À résulte également des sept combinaisons 4°4, B°4, CA, DD, E°B, F°C, GC; de sorte que si on avait à résoudre l'équation + 8ou =—x°x", cette équation aurait sept solutions.

De même ayant trouvé 4°=4, B=B, C=C,D=A, EE, FS=E, GE , on en conclura que l'équation y°-+803° = x° a deux solutions, que l'équation y? + 6yz + 143? = x° en a trois, que l’équation 187°-Hh 27557 =x n’en a aucune, et ainsi des autres.

Dies :

NME,

: "deleted. ARE RAT EE?

$ V. Résolution en nombres entiers de l'équation ....,.. Ly°+Myz+Nz2=bn, 1 éant le-produit de plusieurs indéternunées ou de leurs puissances.

(366) Soir LN—:MP%, Si M ést pair, où 4LN—M—a, si M est impair; il est aisé de voir que le premier membre de l’équation proposée sera un diviseur quadratique de la formule 4 + au’, et cette équation elle-même étant multipliée par Z ou 4ZL , deviendra de la forme #au—cll, c étant Zb ou 4Lb. De là il suit que tout facteur de IT doit diviser la formule # Lau, et par conséquent pourra être représenté par un diviseur quadratique de cette formule. C’est de ce principe, et de la théorie exposée dans le $ précédent, que nous déduirons la solution générale de l’équation dont il s’agit; mais d’abord il convient de débarrasser le second membre dufacteur constant c.

Si dans l'équation au — cll, on suppose £ ét 4 premiers éntre eux, il faudra que z et c le soient aussi, et alors on pourra faire. ... 1= nu 0x, ce qui donnera, après avoir substitué-et divisé par c,

rm a (= re anux ex =.

Or x etc sont premiers entreeux, donc il faut que 2°--a soit divisible par c, eten faisant n°=La—mc, on aura nu + 2nux + cx =,

équation dont le second meïnbre est dégagé du facteur constant c, et doit le premier est.encore un.diviseur quadratique de la formule 4°+-au,

. puisqu'on à mac—n°—4.

‘On aura donc autant de ces équations à résoudre, qu'il.y aura de valeurs :de » , moindres que 5c, telles que x°+a soit divisible. par c.

Soit fr +28, ya he l'équation ‘ou l’une des équations qui restent à résoudre. Le reïmier membre “étant un diviseur quadratique dela formiule 4*+}‘aut, il faudra d’abord chercher tous les diviseurs quadratiques de cette formule, que l’on désignera par les lettres 4, B, C, D, etc. Ensuite come IT est supposé le produit .de plusieursandéter-

QU'ATRIÈME PARPIE. 375:

minées, on cherchera, par les méthodes précédentes, tontes les formes

auxquelles se réduit le produit II, en supposant que les indéterminées.

sont représentées par les lettres 4, B, C, D, etc., suivant toutes les combinaisons possibles, et en observant que différentes, indéterminées peuvent étre désignées par la même lettre. Gela posé, parmi toutes ces formes on distinguera celles qui donnent pour résultat la lettre correspondante au diviseur quadratique du premier membre f}°+ 2572 he; et il est clair qu'autant on trouvera de ces. formes, ‘autant il y aura, de solutions de l'équation f°+,28x2—+-hz =. IL faudra ensuite > pour obtenir réellement les solutions, faire le développement successif des produits suivant les règles. que nous avons données dans le S précédent, et alors les indéterminées y et z s’exprimeront finalement en fonctions des. indéterminées. analogues qui entrent dans les différens facteurs du, produit Il. Tout cela s’éclaircira suflisamment, par- des exemples. ExEmPzre I.

- (367) Soït-proposée l'équation + 4iu*— 1132"; je développe d'abord

tous les diviseurs quadratiques de #4 41u°, lesquels, comme on l'a déja vu (n° 364), sont

C— 57 +6yz+ 107

Parmi ces diviseurs, il n'ÿ a que 4, B, C qui comprennent les”

nombres 4n-=k-1, et dans lesquels on pourra trouver 113. Or si le diviseur À contenait 113, il faudrait que 113 füt de la formule # + 4142, ce qui n’a pas lieu, comme on le voit au premier coup-d’œil; pareïllement si le diviseur B contenait 113, il faudrait que 2 X113 ou 226 füt de la forme 4+-4ru*; c'est encore ce qui n’a pas lieu. Comme cependant on. peut voir, par le caractère (5 )=x, que 118.est diviseur de + 41u°, il s'ensuit que 113 est nécessairement compris Ans le diviseur quadratique C;'et en effet on a 5.113 56544 41.5

Puisque 14° + 41.3? est CLÉ par, 118, si lon fait 14— 32 — es il faudra que #°+-41 soit divisible par 113. Or la valeur de 2 tirée de

cette équation est z—— 33. On connait donc ainsi, d'une manière!

directe et presque sans tâtonnement, la valeur.de 2 qui rend 7° 451

divisible par 113. Cette méthode, que nous venons d’exposer avec

quelque détail, est un développement de celle da n° 186.

Cela posé, soit £— 33u113{, on aura, après avoir substitué et divisé par 115,

1Ou* + GGuE + 11544 = 2°."

Pour réduire le premier membre à une expression plus simple, SOi£ u—=œu—3t, on aura But + Glu Hrouw — x.

Le premier membre étant de la forme C, il faut chercher parmi les valeurs de 4°, B*, eic. celles qui peuvent être dé la forme C ; or on trouve (n° 364) que D* et Æ* sont de cette forme; donc l'équation proposée est susceptible de deux solütions, selon: que l’on supposera t— D'ou x—EF;

Soit 1°. x—37*+2yz—+ 143", on trouvera par les formules du n° 362; Es 2L6FZ+1077, les valeurs de F et Z étant Y=—y"+47y2#62,

=" + 2yz— 43, de sorte qu'on ‘aura en même temps =}, TT Se |

-Soit 2°, æ—67*+2yz +72, le résultat de cette seconde valeur pourra se déduire facilement du précédent (en mettant 2y à la place de y, et divisant par 2 tant la valeur de x que celles de Fet Z); on aura ainsi x*—5Y?Æ+6FZ + 102, F—— 27° + 4yz +57, ... Z = 2y" + 2y2— 27°, et on fera de nouveau “=F, w—2Z.

Il reste à substituer les valeurs de f et #’ dans celles de # et u; ce qui donnera les deux solutions suivantes de l'équation proposée

23272142, 1109" +12272— 4825", u—4 Y°—10ÿ3—223° X=6y"—+2yzt-72, 1=587"+12272— 24%, u=8 ÿ—10yz— 112".

ExErmpPzre II.

(568) Proposons-nous maintenant l'équation #+-4rw—113x%. L'opération préliminaire pour diviser chaque membre par 113, étant faite comme dans l'exemple précédent, on aura 4=33u' +14, u=œu—5,. et la transformée sera

; 5é+Gru WEP st Il faudra donc! chercher les différentes formes des ‘quantités 4°, B:, C3, etc., et voir si la forme C y est comprise. Or on trouve (n° 364) que la forme C ne peut résulter que de C*; ainsi l'équation proposée, n’est susceptible que d’une solution.

Mainténant si on fait x— C— 5y2 + 6yz + 10z°, on trouvera, d'après

les formules du n° 362, 9—=+47, d—18 et x—125F°04FZ 41822.

Quant aux valeurs 1e Y et Z, elles doivent être déduites des équa-

tions 125 /47Z=x— 1282, Z—3x°5— 413, où l'on a x—5y-533;

or pour que F°soit une fonction entière , on trouve qu'il faut dans les signes ambigus prendre l'inférieur, et slot on a

F = 7 + 507°z + 307z° — 83° Z = 175y"2+ 0072 — 14° x= 1257? —04YZ + 1827.

La valeur de x° se réduit à l'expression la plus simple 5##-6#u'rouw en faisant Z=35Y—#, puis Ÿ—#+ow, de sorte qu'on aura...... W—5Y—72—37 +157 3— 107, ae +507 2123 Donc enfin la solution de l'équation proposée est comprise dans les formules

bye — 6yz + 107°

Ten pe TITI.

(369) Si on propose en général l'équation # + 217 — DOTE la manière la plus simple de la résoudre, est de faire x = y° + 22 113 —09° + 2.4°; et on aura & + au— (0 +2. #) (7° 22)". Oro où satisfait généralement à cette équation , en prenant

tHuy—2= (9H 4V—2)(7+zy/— 2).

Soit donc (y+zy—2ÿ = Y+Zy/—e2 ; on aura éuy/—2— (924 —2) (FH Zy/—2), partant 1—0% 207 u—9ZÆ4Y. à

C’est la seule solution dont l'équation proposée est susceptible, parce true æ, comme diviseur de # + 24°, ne peut avoir que la seule forme +27.

ExErmpPpze I V.

(570) L’équation #+8gu = x°, doit avoir deux solutions, ainsi que nous l'avons déjà remarqué à la fin du n° 565. L'une des solutions où :

Fon aura x — 7" + 897, se trouve immédiatement par l'équation... + 8ou —(y"+897), à laquelle on satisfait en faisant. ........ t+uy/—89—(7+2y—89) ; et ainsi on aura {—7° — 2672", u—3y°3— 893. La seconde solution, fondée sur ce que D°— 4, se trouvera comme il suit.

Ayant fait x D —5y° + 2yz +187 ; si l’on applique à ce cas particulier les formules du n° 362, on aura p=5, g—1, r—18, ®—6, 1, ce qui donnera

a 12)? 12YZ +7 V=y —57z3— 1275 + 22° Z = 75y°2 + 50yz° — 86.

Or on peut mettre la valeur de x° sous la forme x°=—(Z+6F) +89F*, laquelle étant comparée à l'équation proposée, donnera 4—Z +6F, u— Y ; donc enfin la seconde solution de cette équation sera donnée par les formules æ = by? + 273 + 187 t — 67° + 57y°zs — 4272 — 74 u—= y — 573 — 12ÿ3° + 27°.

E-x E mp LE . V.

(571) On a déja remarqué (n° 365) que l'équation # + 8ou—x°x" doit avoir sept solutions, attendu que la forme 4 résulte des sept combinaisons 44, B°4, CD, D°D, E°B, F°C, G°C. Pour développer une de ces solutions, prenons la combinaison C°D , et faisons en conséquence x—097°—+ 272 + 102°, 2° = 5y"? + 2y'z° + 18°, on trouvera d’abord par les formules du n° 558, ou par celles du n° 362,

TT = y —8yz+ 27

Si ensuite on multiplie la valeur de x° par celle de x’ on trouvera par la première des deux formules du n° 558,

dx = (577 + Ts + y Ha8 V7) + 80o(Tr— y}.

Comparant ce résultat avec l'équation proposée # -L 8ou = xx", on aura

t=STY + TS + Vy +187 u= Tr —Vy;

QUATRILME PARTIE. 379 d'où l’on voit que les quatre indéterminées t, u, x, x’ sont exprimées en fonctions de quatre autres indéterminées indépendantes y, 3, ', 2, ce qui constituera la première solution. On trouvera par des calculs semblables les six autres solutions dont l'équation proposée est sus-

ceptible.

Remarque. Pour peu qu'on y fasse attention, on verra que cette théorie s’étendrait facilement au cas où le premier membre de Péquation proposée serait un diviseur de la formule #—4au. On pourrait aussi résoudre , par les mêmes principes, les cas où les indéterminées du premier membre seraient supposées avoir un diviseur commun ; mais nous n'avons pas Cru devoir entrer dans tous ces détails, qui n’offrent maintenant aucune dificulté.

$ VI. Démonstration d'une propriété relative aux diviseurs quadratiques de la formule t*+au*, a élant un nombre premier 8n + 7.

(372) O a déjà remarqué, n° 215, que si dans la formule #+au, a est un nombre de forme 8245, deux diviseurs conjugués de cette formule , tels que Pr° —+ 24Y3 + 2ms, 2py° AE mz°, appartien— dront toujours l’un à la forme 42+ 1, l’autre à la forme 4n+-53; de sorte qu'alors il y a autant de diviseurs quadratiques 4n+1 que de diviseurs 47 3, et ce résultat a lieu quel que soit le nombre a, pourvu qu'il ne sorte pas de la forme 8745.

Au contraire, lorsque a est de la forme 87+-1, les deux diviseurs conjugués-dont :ül, s’agit sont tous deux de la forme 47 1, ou tous deux de la forme 4743, de sorte qu'on ne peut plus rien conclure sur le nombre relatif des uns et des autres, et en effet l'inspection de la Table IV fait voir qu'il y a à cet égard une grande irrégularité. Mais lorsque « est un nombre premier, on remarque dans cette même Table que le nombre des diviseurs quadratiques 47+- 1 surpasse constamment d’une unité le nombre des diviseurs 473. Ainsi on voit que la formule #—4ru° a trois diviseurs quadratiques 471, et seulement deux 47+ 3; que la formule + 8ou° a quatre diviseurs quadratiques 4n—+1, et seulement trois 41-58, etc.

On s’assurera aisément de cette propriété dans beaucoup d’autres cas particuliers; maïs il n’est pas aussi facile de l’établir d’une manière générale et rigoureuse. Voici la série de propositions que cette démonstration semble exiger : elles’offriront en même temps divers résultats remarquables qui contribueront à étendre et perfectionner les théories précédentes.

(373) Prorosrrion I. « Soit 4 un nombre premier 421, et soit » py° + 297 8-+2ms l'un des diviseurs quadratiques 4r--1 de la formule » + au, je dis que l'équation U°=py° DRAEEAE sera toujours » résoluble. »

NDLR LE ir me en he 2 D re ae nm VON EE

Car si Von multiplie cette équation par p , et qu'on fasse py+-q2—x,

on aura pÜ®= x° az, équation toujours possible (Voyezn”* 27 et196).

Il est inutile d'observer que si py°+ 29y3—+-2mz* était un diviseur

4n +5, l'équation U?=—py" + 2473 + 2mx° serait impossible, puisqu'aucun quarré ne peut être de la forme 4745.

(374) Provosrrron Il. « & étant un nombre premier 8n+-1, la for- » mule & au aura toujours un diviseur quadratique de la forme » fY° + 2873 2/22. »

Car on peut toujours (n° 147) satisfaire à l'équation a = 2f*—2*, laquelle étant posée, il s'ensuit que f}*+- 2273 2f#", -ou l'expression la plus simple de cette formule, est un diviseur quadratique de la formule #—L au.

Remarques que le diviseur fy* 2272 2fz ne diffère pas de son conjugué; dans ce cas, par conséquent, les deux diviseurs conjugués se réduisent à un seul qu'on peut appeler diviseur singulier.

(375) Proposrrion III. «a étant un nombre premier 82 + x, il y » a toujours une infinité de valeurs de f'et de g qui satisfont à l’équa- » tion 2f°—p°—4«, néanmoins il n’en peut résulter qu'un seul divi- » seur quadratique de la formule # au’. »

Car on trouvera aisément (n° 38) que la série des valeurs de f'et g qui /

satisfont à l'équation 2f°—g°—a, est telle que si f” et g’ suivent immédiatement f et 2, on a

Pate, g=3+4f De ces nouvelles valeurs résulte le diviseur quadratique singulier (+ 28)7° +28 + 4f)72+ 2 (5 + 28) 7.

Or si dans ce diviseur on fait ÿy—23 — y", 3—=y—7, (ce qui ne restreint pas la généralité des variables y et 3), on aura pour transformée T° + 29Y 2 + 2/57; d'où lon voit qu'en effet le diviseur quadratique fr? —- 2893 + fr nl est pas différent de fy° +283 2f2*.

Corollaire. De là il suit que & étant un nombre premier 87 1, les diviseurs quadratiques de la formule { + au* seront composés de plusieurs couples de diviseurs conjugués et d’un diviseur singulier. Le nombre total de ces diviseurs sera donc toujours impair, et ainsi il est

impossible que le nombre des diviseurs 47 + 1 soit égal au nombre des diviseurs 423;

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(376) Proposirron IV. « Le quarré d'un diviseur quadratique » py° +2qY3H272", et celui de son conjugué 2p7°<+ 29)3+- #2, sont » compris dans un même diviseur quadratique py?+ 297242, »

Car suivant la méthode du n° 358, si l'on détermine X et » par équation 7 —pu—qr, qu'ensuite on fasse ®—q+#1p, d—r+2, F=y— 2173 —ouz, Z— 23: (py +gz), on aura

(py° + 2gy3 + 2m) = p°Y? H2çYZ +2.

Dans cette équation, qui doit être identique, mettons 2y à la place de ÿ, et comme alors F devient pair ainsi que Z, faisons F — 2},

- Z—22",; ce qui donnera F'= 2) — 2y73—pe, = 2 (2py +2);

nous aurons par la substitution, et après avoir divisé par 4, (2py° + 2973 m2) = pY + oç 7 + Ad2.

Donc le même diviseur quadratique p°y° + 29732, qui contient le quarré du diviseur py°+- 29/3 + 277", contient aussi le quarré de son COnjugué 2py° + 2qy3 72°.

* Corollaire. Étant proposée l'équation T?=—PY+2Q0YZ + RZ?, si on en connait une solution comprise dans la formule U=—py°+-2qr2+-2#2, il y aura toujours une autre solution donnée par la forme conjuguée

—2py* + 2qy3—+ #2. Ces deux solutions se confondent en: une seule, si la valeur de U est égale au diviseur quadratique singulier , c’est-à-dire si l’on a U—fy°+2gyz1-2f7 ; mais alors le second membre

de l'équation proposée serait de la forme 22 2YZ + ( = + : )Z*.

(577) ProPosirion V. «p étant un nombre premier, ainsi que 4, » si l'on ap°—M°+ aN*, je dis que p ou 2p sera nécessairement de » la même forme #—aw, de sorte FLE P appartiendra soit au diviseur » quadratique y°+2y3+(a+1)z, soit à son conjugué.......... D ÿ2e +2ys+(< E2 )#. »

En effet, l'équation supposée p®—M® + a N°, donne p—W—aN; donc puisque 4 est un nombre premier, il faut que l’un des facteurs p + M, p—M soit divisible par a, et comme le signe de M peut être pris à volonté, on pourra faire p+M=—aP, p—M=—Q, ce qui donnera PO — N°. Or on satisfait généralement à cette dernière équa-

tion, en faisant, avec de nouvelles indéterminées, ?—7°R, N—ToR, Q=«°R. On aura donc 2—4aP+Q=—R(«+ar), d'où l’on voit

RP Ré tm

QUATRIÈME PARTIE. 383 que À ne peut être que 1 ou 2: si R—2, on aura p =4° ar”; si R=1, on aura 2p—«°+ an. Donc p ou 2p est nécessairement de la forme uw Mais si p ést de la forme © + a, il est contenu dans le diviseur quadratique y? +az, qui est le même que...... J°—+ 273 + (a+-3)z, et il ne peut par conséquent appartenir qu’à ce seul diviseur. De même si 2p est de la forme £ + au?, p appartiendra a

au diviseur quadratique 2y°+ 273 + ( )#, et il ne pourra appar-

tenir qu'a ce seul diviseur. Donc si on a p°— M°+al?, il faudra que p appartienne à l’un des diviseurs conjugués y°L2yz+(a-+1)z,

2° + 292 (= = ) ms

(578) Proposirion VI. « p étant un nombre premier quelconque,

» et a un nombre premier 82+ 1, si lona p'=2M+2UN+(S Nr,

» c'est-à-dire si 2p° ést de la forme P?Æ+alV?, je dis que p appartien- » dra nécessairement au diviseur quadratique singulier /y°+-28y2-#2f2", » ensorte qu'on aura p —fu?+#+ 29h + 2f°. »

Car à étant un nombre premier 8271, on peut faire «—2f°—£?, et cette valeur étant substituée dans l'équation 2p°= P?+aN*, il en résultera P?—2p° — (9°—2f°)N°. Les nombres P et p étant premiers entre eux, on voit que }V, diviseur de P? — 2p°, doit être de la forme æ— 26°; donc on aura P?—2p"—(0%— 2f#)(x?— 26"), équation à laquelle on satisfait généralement en faisant P+py/2—(g +fy2) (a+6y2); de là résulte p= fa" + 2ga6 + 2f6*; donc p est compris dans le diviseur singulier f}* + 2973 + 2f2°.

(579) Prorosrrron VII. « Je dis maintenant que les deux diviseurs » conjugués qui, pris pour U, satisfont à l'équation proposée... :.. » VU — PY* + 2Q0YZ + RZ?, sont les seules solutions dont cette » équation est susceptible. »

Pour démontrer cette proposition, cherchons en général les conditions qui doivent avoir lieu pour que deux valeurs différentes de U, savoir :

U=py + 2qyz + 2nz U=py + 2qyz+ 2m

satisfassent également à l'équation proposée U—=PF+20YZ+RZ,

où F'et Z sont des indéterminées qui doivent être fonctions des indé< terminées y et z. :

Nous supposerons que les deux valeurs de U sont préparées de manière que p et p” soient des nombres premiers; cela posé, on trouvera d’abord que les quarrés de cès valeurs sont compris dans deux formules de cette sorte :

Pr + 2072 + Ÿs

Py+297:+ 4e, lesquelles doivent se réduire, l’une et l’autre, à la forme donnée... Py° + 2Q7yz + Re. De là on voit que p* doit être compris dans la formule p''y°+29yz+\V'z, et réciproquement p* dans la formule p°y® H29y7z—+ 2. On peut donc faire tout-à-la-fois |

P° = pa + 29'u'6 + 4/6":

p°= pa + 2946 +6. Soit p'a+®6—7, on aura p'p°—7y+a6?, ou (Pp°+ y) (pp— y) = aË?.

Puisque a est un nombre premier, et qu'on peut prendre à volonté le signe de y, on pourra supposer pp +7 divisible par a, faisant donc 6 = 4BC, l'équation précédente se partagera en ces deux-ci :

pp +7 =a4l?, pp +y=a4C,

d’où résulte pp —2:4(C*+ aB°). Maimtenant, pusique p et p’ sont premiers, les seules valeurs qu'on peut donner à 4 sont 1, 2, p ou p, 2p Ou 2p'.

On ne peut faire 4=—=p, ni 4—2p; car alors 6 étant divisible par p, la quantité p* égale à pa? H 2946 + L6* serait aussi divisible par p, ce qui est impossible : par la même raison , on ne peut avoir 4=p,