AT DITES PARUS LR

(ep!

$ VIT. Démonstration du Théorème contenant la loi de réciprocité qui existe ertré deux nornbres premiers quel- 'conques (n°164).

(581) Lèmme. « Mois p un nombre premier positif (2 excepté), # un » entier quelconque non divisible par p;,st on divise par ples produits

. —"1 ÉD » successifs 4, 24, 5K..... Ê ——#, les restesude ces divisions seront

La e À .

» composés en partie de nombres 2°, a";a"”... aplus petits que =p,

. Z | » en partie de nombres 88 0”, 0%... b plus grands que :p:Gela posé, » # désignant le nombre de ces derniers restes’,.je dis qu'onsaura

(«en ie he (— 1; - . Ne 1 si p est paix "et » (= — — 1 514 est impair. »

Il'est clair d’abord que les restes 2’, 2%, P#"etc: sont. inépaux entre eux. Car si deux de ces*restes, dus aux multiples £4!, #4", étaient égaux , il faudrait que la différence k(4—2). fut «divisible spar »p ; c’est Ce quin'a pas lieu , puisque.p'est un nombre premier quine divise ni 4, mA — À; car d'ailleurs Z’ et 4 sont inégaux et plus pelits que Ep. On prouvera de même que tous les restes 447, 4”, etc. sont inégaux entre eux.

Il suit de là que tous les nombres p —#f, p— 07, p— BL", etc. sont inégaux et plus petits que 2p°: or je dis qu'aucun d’eux!ne peut être égal à l'un des nombres à’, a”, a",.etc. En effet, si deux restestels que a etb sont dus aux Rtoples KA, kAi ; On pourra supposer ak A—px, b= kA'— px”; si ue on avait p — b — 4’, il en résulterait. . . pa Es me = k(4 + 47); donc il faudrait que 4 (4 +- 4°) füt divisible par p; or k ne l'est pas non plus que 4<+ 4’, puisque Zet 4 sont tous deux plus petits que + p donc l’équation*précédente est impossible.

5 de # À SE 2v Maïntenant , puisque fnsérie 4, a”, a°.,.V a, et lassérie p— D, p—b",

RER er LE A

En on = — —r AE D

né D te TA Ro a A a 7 Et te NM AL EEE

QUATRIÈME PARTIE. 887 ps Pis b*, sont l'une et l'autre composées de nombres différens, positifs et plus petits que £p; puisque d’ailleurs le nombre total A -E x des termes de ces déux séries est égal à £(p—1) nombre

oùils tirent leur origine | ils’en-

des multiples 4, 24, 3k...l

suit que le produit de: tous ces nombres ne peut être que 1.2.3... —,

et qu'ainsi on a l’épalité da'a. A a (p —0 (p—&") .….. (p=t")= 1.213. on L(p— 1),

dans laquelle, en rejetant le multiples de p; on obtient dara"...aà.bbb".. db ee 1) = 142,5... (pt).

Mais d’un autre côté, en rejetant aussi les multiples de p, on à

H0R.3K...2(p— 1)k aa". à b'b'b"... LÉ

et le premier membre de celle-ci = 1.2.3... :(p — 1). Le De la comparaison de ces deux équations il résulte

ARE A ON 1.223... (p— 1).

Doné'on a APT 1)" x, où EP = 1)E Mais PT 0 est, en rejetant les multiples, de, p; la valeur de lexpression É >); done

enfin on à, conformément à aénoncé du lemme,

C) = (— La

(382) Puisque lenombre w, selon qu'il est pair ou impair, détermine

; ke 290: k Ÿ la valeur de l'expression (=), il importe d’avoir une valeur analytique de ce nombre. Pour cela, j'observe que à désignant l’un des nombres

4, d'... a, et b Vun des nombres b!, 0"... BF, on aura, par les suppositions déjà faites, 24 < p et 20 > p.

Représentons à l'ordinaire par Æ (x) l'entier le plus grand contenu dans une quantité quelconque.x, ensorte que x — E (x) soit toujours une fraction positive plus petite que l'unité.

« * 1: . : pemil « .

Si on considère les divers multiples, #, 24... — k, d'où naissent

Le RAA RE ES en 2 GT FR re ST A ES TES 4 A PE 2 Nm 7 os és __————

les resies a’; l’, etc., et qu'on désigne particulièrement par ZX le muls tiple qui donne le je a, et par Pkcelui qui donne le reste à, on aura

ARR Sr e ee ete —E(5 > L; d'où résulte FE 7 2 e = 0,

P P Ajoutant ensemble toutes lés équations qui auront lieu semblablement pour toutes les valeurs de Æet B, dépuis r jusqu'à £(p —\1), il est clair que le second membre sera Composé d'autant d'unités qu'il y a

de nombres B; et ce nombre d'unités ayant déjà été désigné par w, on aura donc

CE + OC nl

D'ailleurs, comme on n’a besoin de la valeur de que pour savoir si elle est paire ou impaire, on peut dans la formule précédente omettre: les termes divisibles par 2, ce qui donnera simplement

PSE MH er(rr(e) Fe + E (SE (CS),

(383) Cette expression est susceptible de réduction; d'abord si l'on ait À mp+r, miétant posiifet <p, on aura Er = km 1 LE donc Æ ro 1h 1 —E Or pareillement on aura Æ (ES = k— —2(® —), ainsi des: autres.

Il faut substituer ces.valeurs dans la formule, et pour cela distinguer deux cas, selon que p est de la forme 42-71 ou 42-53.

sera —27. Les 7 RCE forment la suite

EC ) LE és Es je HE().

QUATRIÈME PARTIE. 389 Les 7 de , écrits dans l’ordretinverse, forment la suite (p—1) À (p—3)k (on—+o) k 2 = =) He 2) Éoe FACE =),

. lesquels, suivant la transformation précédente , a,

n(E—i)—E(5)—E(T)- —2(T) et —E(E).

Donc on aura

Bip) +2 (D + E (À Me +40)

Ajoutant au second membre le nombre pair 2E (L}42E É re. ne) é ce qui est permis pour notre objet, on aura plus simplement B=i(pi)r)+E (D +E (D +E(0)...+8 (2.

2°. Si lon a p—4r—+3, il y aura 22+ 1 termes dans la valéur’de BR;

les premiers seront toujours 2 HE (+ (C —).… + E 2); les (2-1) autres seront

CRETE) et par la transformation imdiquée ils deviennent: | | de sorte qu'on aura Fr