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(584) Cnc E(p—1) dans le en cas, et +(p—-1) dans le

second, sont des nombres entiers; lorsque À sera impair, les deux formules se réduiront généralementäune seule; sävoir:

den (Ey+E0)+E (0e ECS

(385) Lorsque k est pair, les deux formules peuvent aussi se réduire à une seule, savoir :

= (PEr)ki) + E (D +E(E DH+Er(Ë re + £(: IG,

pourvu qu'on détermine le signe ambigu de manière que = (pH 1) soit Le

un entier, et alors on peut même réduire E(p—r)(k=T) àÆ (pi); car il n’est toujours question que de’sayoir siy est pair ou impair:

(386) Soit, par exemple, # =%", alors tous les Hermes Z ÉSE

E (a). V2) CE sont nuls, et on à simplement p=—"®%(pÆ1). Donc si p—8n+-1 ou 8n+4-7, le nombre uw Sera pair, et on aura

G)=tr

Si, au contraire, p —8n+-3 ou 825, /1le nombre wsera unpar,

et. on aura (&) = — 1.

On parvient ainsi très-simplement aux théorèmes connus contenant

a relation ë s le re res premiers (n° 14€ éorème la relation de 2 à tous les autres nombres premiers (n° 148), th 168 qui étaient regardés comme difficiles à démontrer, lorsque la science des nombres-était moins avancée.

(587) Soient maintenant k et p deux nombres premiers, impairs quel-

conques ; ayant. déja fait (5) —(—1)", faisons semblablement...…. É

(E) —(—)); nous aurons, "suivant la formule du n° 384,

H+r=E( HEC +E(E).…. + E (EG Le) Le (0 RP) RCE)... PO)

Supposons #<p, ét faisons > P=2p hr, F—2# +4, ce qu

donne

umÆEy=E(x) + E (2x) + E (3x).....+ E (px) Pe() CE) 8 C).+2(E

je dis que le second. membre se réduit à p'#.

En effet; considérons d’abord la suite Z=E (x) HE (2x) HE (8x)... .+E (px), et obServons que les termes.de Cetter suite croïssent par degrés > depuis zéro , qui est la valeur de Æ(x), puisque x 1 Ah A K, qui est p'k , la valeur de Æ(p'x); car on ap'x — ET ES pt KL ;

donc £ (px) —K. 11-faut maintenant REA ee he dans cette suite .il.y a de termes.égaux à 1, Combien d'égaux à 2, et aïnsi «de suite.

Pour cela prenons des indéterminées 72,, m,, 7,...my, telles qu'on. ait

—— — / ML, ME 2, MT — 3, MX—4.,... MX =".

Aucun des nombres »71,, m»,, etc.ne pourra être entier, pæsqueileur

Z : AD expression généralé mr. = TL, z étant 4. ’Soit donc...

TE E(m.)—=M,, ensorteique #7; tombe entre.les entiers Consécutifs M, M-Ex; il suit évidemment de ces suppositions, :

1°. Queles premiers'termes E (x), Æ (2x)... jusqu'à ZE (M x) sont zéro; leur nombre —N,.

°. Que léstermes suivans £ (M,= 1x), E(M.= Fox). ...,jusqu'a ao x) inclusivement ,-ont pour valeur : ; leur nombre = M. —Mx

5°: Que les termes suivans £ (M, +:x) + E (M, +5x),. Ge ss E(M;x) inclusivement, ont pourswaleur 2; leur nombre —M,—IN..

Et ainsi de” suite jusqu'aux dérniers iermes dont la valeur est 4° et dônt le nombre —p—M,.

Donc en réunissant tous les termes qui coniposent Z, on aura

ZE 0x ME x (M, — M)