CM, ='M

+ CE) M M) HO (pP—My ) ;

ou en réduisant ,

Zi M, MM... M,

KE-r

Mais en général M = £ (m,)—#Æ( =); donc 5 z 2 z

hp BONE (E VE (É)... —E(S)

Substituant cette valeur dans celle dem + », on en tire cette formule irès=simple u+y=—p'#, ou

Br (pr) (Ai).

(588) De cette formule se déduit immédiatement le théorème contenant la loi de réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconques p et k. Si lun des nombres p et #, ou tous les deux, sont de . la forme 42-71, la quantité (p—1)(k=—1x) sera un nombre pair; ainsi les deux nombres w et » seront tous deux pairs ou tous deux impairs,.

s k ce qui donnera CE ) = Q)

Si les deux nombres premiers p ét k sont tous deux de la forme Anb4=5, la quantité 2(p—x1)(Â%—1) sera un nombre impair; doncy et » devront toujours être l’un pair, l’autre impair, ce qui donnera

RER (?) (= Ce) D'ailleurs la formule générale 92 satisfait à tous les cas, se déduit

des expressions (; M ANA nn me :) > Éa donnent

( )= Çe = VAS nc ÿ comme au n° 164,

DEEE ee

Ainsi se trouve démontré généralement un théorème qu'on peut regarder comme le plus important de la théorie des nombres , et qui a offert sous diverses formes des difficultés presqu’insurmontables à ceux qui ont entrepris de le démontrer par d’autres voies.

La démonstration que nous venons de donner, d'après Fred. Gauss , est d'autant plus remarquable qu’elle repose sur les principes les plus élémentaires, et qu’elle n’exige aucune théorie préliminaire. Il est à croire que beaucoup de théorèmes, réputés très-difficiles dans la science des nombres, sont dans le même cas; et il y a toujours lieu d'espérer qu'on peut démontrer très-simplement ceux qui ne l’ont encore été que par des méthodes longues et compliquées.

$ VIE D'une lortrès-remarquable observée dans l’énumération des nombres premiers.

(389) Quorquz la suite des nombres premiers soit extrêmement irrégulière, on peut cependant trouver avec une précision très-satisfaisante, combien il y a de ces nombres depuis 1 jusqu'à une limite donnée x. La formule qui résout cette question est

“2 7 dog. X — 1.088366 ? * log. x étant un logarithme hyperbolique. En effet la comparaison de cette formule avec l’énumération immédiate faite dans les Tables les plus étendues, telles que celles de Wega, donne les résultats suivans :

Nombre y Nombre y Limite x | [Limite à | par la formule.|par les Tables. : par la Formule:|par les T'ables.

— | ——————< me

10000 1250 1230 100000 9588 sé 9592 20000 2268 2263 150000 15844 13849 30000 5252 3246 200000 17982 17984 40000 4205 4204 250000 | 22035 22045 50000 5136 5134 3500000 26023 25998 60000 6049 6058 550000 | 29061 20977 70000 6949 6936 400000 33854 - |: 3386x 80000 7838 7837: || 90000 | 8717 8715 |

(390) Il est impossible qu'une formule représente plus fidèlement une série de nombres d'une aussi grande étendue et sujette nécessairement à de fréquentes anomalies. Pour confirmer encore mieux une loi aussi remarquable, nous ajouterons qu'ayant cherché, d’après un procédé que nous exposerons bientôt, combien il y a de nombres premiers de 1 à 1000000, noùs avons trouvé quil y en a 78527, sauf une erreur de

QUATRILME PARTIE. 305 ‘quelques unités, qui peut être due à la’ longueur des calculs. Or en. faisant x — 1000000 la formule précédente donne 7178543. Il n’y a donc aucun doute, non-seulement que la loi générale est re-

présentée par une fonction de la forme RER , mais que les coefficiens Z et B ont en éffet les valeurs très - approchées 4=1,... B——1,08366. Il resterait à démontrer cette loi a,priori, et c'est une recherche intéressante sur laquelle nous donnerons ci-après quelques

essais.

(591) Si on appelle & la quantité dont il faut que x augmente pour que y devienne y ++, on aura pour déterminer & l'équation suivante, dans laquelle on à fait pour abréger c= 1,08366,

PRES VAUT a EN ER AN Aae EU Trdog(x tal clope:

De là résulte, en supposant que x est un nombre très-grand, a —(logx—c#+i1) ( SRE >.

ou simplement. «= log.x—0.08366; car ces déterminations ne com portent pas une précision rigoureuse.

I suitde là qu'à mesure que x augmente, la différence entre deuxnoms bres premiers voisins de x augmente aussi, ét peut être représentée avec beaucoup d’approximation, quant àlavaleur moyenne, par log x—0.08566; de sorte que dans un intervalle de 2» termes compris depuis x — m jusqu'a x-m, on devra compter autant de nombres premiers qu'il ÿ

PT 28366» Pourvu que 7 soit assez petit par rap-

a d'unités dans : 108 x— port à x.

Ce résultat s'accorde très-bien d’ailleurs avec la nature des nombres premiers qui, en général, doivent être plus éloignés les uns des autres, à mesure qu'ils deviennent plus grands. En effet, la probabilité qu'un nombre pris au hasard est'un nombre premier, dimimue toujours à mesure que ce nombre augmente, puisque le nombre des divisions à essayer pour s'assurer qu'il est premier, devient de plus en plus grand.

(392) D’après le résultat qu'on vient d'obtenir, il semble que les suites convergentes qui dépendent de laloides nombres premiers, peuvent

être sommées, comme si cette loi était régulière et telle qu'un terme quelconque étant. æ, le terme suivant füt æ + log æ —c+1. Voiciun essai de ces ae nes qui d’ailleurs seront à yérifier, soit par le calcul numérique, soit par des méthodes plus directes.

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