PREMIÈRE PARTIE
chait le plus grand commun diviseur. Voici le type de cette opération, en supposant M> N.
MN SE LS, 2 reste D{= reste Ola? reste À *
Par ce moyen, on a successivement
M 1e Ney Q PES Donc M 1 ÉRRES à Ne are Crete a" etc + æ + etc
Dans ce cas, les termes de la fraction continue ne sont autre chose que les quotiens successivement trouvés par l'opération du commun diviseur, et il est clair que la fraction continue sera toujours bornée à un certain nombre de termes qui pourra être plus ou moins grand,
rs :
selon que la fraction ;- sera plus ou moins composée.
(5) Nous ayons appelé quotiens les termes successifs 4, à”, «”, etc. de la fraction continue; nous appellerons semblablement quotiens-complets lés quantités x, x’, x”, etc. résultantes de l'opération du développement k et dont les entiers &, «’, «&”, etc. font la plus grande partie. Chaque quotient-complet DETTE implicitement, outre l’entier qui y est contenu, tous les quotiens suivans de la fraction continue, puisque c'est , par le développement de ce quotient-complet qu’on trouve suceessivement tous les quotiens suivans.
Si on a une expression algébrique qui représente la valeur de la fraction continue prolongée jusqu’au terme a® inclusivement, et que dans cette expression on substitue, au lieu de a(, le quotient-complet x°, il est clair que le résultat sera la valeur. exacte de x; car quand même la fraction continue s’étendrait à l'infini, on aurait rigoureusement
1 1 1 La), X=aH 1 Er Co x : tk.
De là il suit. qu’au moyen de chaque quotient-complet, on peut toujours FOprotNe Ja valeur entière et exacte de la quantité développée, quelque ‘loin qu'on ait poussé le développement. Cette propriété recevra par la suite un grand nombre d'applications utiles.
(4) Étant proposée une fraction continue
za; D ER A
pour la réduire en fraction ordinaire, ou pour en trouver la valeur; quel que soit le nombre de ses termes, il faut observer la loi que suivent les résultats obtenus, en prenant successivement le premier terme, les deux premiers, les trois premiers, etc. de cette quantité; or on a, par les réductions ordinaires :
Era ÉSES. aéy y + æ—",; “He —— ; ie 1 ER ee £ Hs, 1 © © © — — etc.
C+- Cy3+d +6 2 y FPE
De là il suit que - 5 . étant deux résultats consécutifs, et 4 un nou-
veau quotient, le résultat suivant sera ns : 7;
vant laquelle ‘en peut calculer facilement la valeur de la fraction continue proposée, quel que soit le nombre de ses termes, Voici le type de l'opération ;
; c’est la loi générale sui-
Quotiens.....a4,6, 7; din ...H4,m, ut... "ete.
ec conyergentesf ‘ *"o? 1 .… pou . "
Ro dite To ES pe IE |
Sur une ligne on écrit les quotiens successifs & , 6,7, d', etc. ; au- . . 1 « 1 dessous des deux premiers on met les deux fractions =, = (la première
étant mise seulement pour mieux faite sentir la loi), ensuite on multiplie chaque numérateur par le quotient écrit au-dessus, on ajoute le numérateur précédent, et la somme est le numérateur suivant; on fait de même à l'égard’ des dénominateurs , et la suite des fractions qui résultent de ce calcul représente les diverses valeurs de la fraction continue proposée, selon qu’on en prend plus ou moins de termes. Ces valeurs doivent approcher de plus en plus de la valeur totale de la fraction continue, c’est pourquoi nous les appelons fractions convergentes ; si la fraction continue ne s'étend pas à l'infini, la dernière des fractions convergentes sera la valeur exacte della fraction continue:proposée.
ER ne Re - ae UE qu mesen re he Fate aus CES
PREMIÈRE PARTIE: TT 1 (5) Pour rendre raison de la loi que nous venons-d'indiquer ; sup= ” posons qu’elle ait été vérifiée au moins jusqu’à un certain quotient w; soit la fraction, convergente qui répond . au quotient w, ou qui, est,
placée immédiatement au-dessous; soient,.en. même temps. À: de : Ja frac
tion convergente qui précède 5 et 7 - Ce qui la suit en cette
AE SOMEÉ Te Sie eteteleleee eiatelerere bag ot do SEL ARTE TEA Fe RE D on aura, suivant la-loi dont il s’agit:
P=pRHp f=gu+;
et la fraction & sera celle qui résulte de tous les quotiens de la fraction continue jusqu'à incinsiyement Ajoutons maintenant un-nouveau quotient H' à la suite de w, et soit e “la valeur de la fraction continue calculée jusqu’ au quotient m’ inclusivement, il est clair que la valeur
analytique de? ; ne sera autre chose que celle de Ë 7 dans. laquelle, au
lieu de w,.on ee BH 575 donc on aura
p' ; nr Cra)+r ’ o(e+s + RE
Donc la fraction convergente Fm se déduira des deux précédentes -
r ,; et du: Sope 14 DERAEt à à la dernière, suivant la loi
p'= Phi p J= TRE 4
: Ainsi cette loi de continuation. aura lieu généralement dans toute l'éten< due dé la fraction continue.
(6) Il est à remarquer que les fractions convergentes successives € (a - , >” Et -, EE, etc.-sônt alternativement plus grandes et plus petites que la valeur totale x de la fraction continue; c’est une suite de ce que les quotiensæ, 6; y; d\, etc. sont supposés tous positifs. En effet;
r6 THÉORIE DES NOMBRES. sion prend üm Seulterme «, on a évidement a<{x; si on en ptfend deux, oh aurd 4 HS x; Car pour avoir la vraie valeur dé x, il fi drait augthèntèr lé détiominateur 6 Cie certaine quantité. On Yerra de mème ‘qu'en prenant (trois terres & pe e +2 ; Je résultat est plus petit que À, et ami dicrhiüvement.
Donc «la valeur de x est toujours comprise entre deux fractions con- ». Vergentes. consécutives. » .
Cela posé, je dis que si = È sont deux Ifractions‘éonvergéntés cons sécutives, On aura pq° — p°q = A, savoir 1 si la fraction 2 est du nombre des. fractions plus brandes que x, ou si elle est de rang impair ls étant censée la prériière ), ét. —1 si elle ést de räng pair.
effet, si l'on considère trois fractions ds ‘consécutives ë. Ge 9° BE 7 et que ‘Soit le quotient qui répond à Lo on aura, suivant à Téi démontrée, p—up+p, g —= mt q"; d'où résulte....... p‘q A le —p°q). Maïs par ‘la même raison, ‘si la fraction
= est précédée de = gs > ON aura Pg—p Gr PE q°=—p°°q°). Remontatit
ainsi jusqu'aux deux premières fractions - £ ; Où la différence analogue 1X1—a4X0=—1, on én'conélura qué la différence Pg°—p°q est toujours égale à l'unité avec le signe +," si Ê ‘ést de rang impair, et avec le signe —,.dans le cas contraire. :
(7) Cherchôris présentementiquéllé ‘st/la- différence ‘entre une frac: tion convergente ? et la valeur-éntière æ-de la fraction continue. Pour ecla, soit toujours Ë ë “la fraction converbente qui précède À de et y le
quotient-complet + ui répond à celle-ci; ©n aura, Suivant ce qui a été
py+p°
démontré, x= ==" ;, d'où l'on tire
gY+9
oc Pie PAT Pois ET
9 q9@Y+9) — qGy+Ed) < P° Ç ‘SES Jp iage 4 pg)ÿ y
gg (gY +99) TT ggy +99
ss Da vas so 5 RP ne
PREMIÈRE PARTIE: 19 * De là où voit 1°. que cn et x — r sont: toujours de: signes cons
traires, et qu’ainsi la valeur exacte de x est toujours comprise entre deux fractions convergentes consécutives 3 Comme on. l’a déjà nsponré.
°, Que la différence R est en général moindre que = cg et par
er) “ee peut étre représentée par —, d étant plus petit que l'unité.
*. Que la quantité p—gx est plus petite (abstraction faite de son
1 pq se que P° — gx. Car on a He pare b or par la nature des fractions continues > 7 est toujours plus grand que l'unité.
Donc à plus forte raison, TE est plus petit ques Ex ; donc « «chaque
» fraction convergente Ë est plus approchée de x . toutes celles qui
» la précèdent. » He qui justifie la dénomination dé ces fractions.
(8) Soit maintenant? une fraction quelconque dont le noms ?
soit moindre que y; je dis que la quantité x — gx, abstraction faite de son signe, sera-plus grande: que p—gx. et même que pi = qÆnei o1p Car si l'on prend M=pe — 4% # + Hi@ pote 5: OR Aura, réiprgr quement, :
(pq —p Depp É ssvssimte CPE PQ) Q = PGM Or on suppose @ < g,et on a.,pq° —p°q—=2#1; donc les nombres M et V seront nécessairement de même signe. Cela posé, on aura (pg° TP °q) (r—gx)=M(p? ak: x) N(p— gx), Mas. M et N sont de même signe, les quantités p°—qx et p—qx sont de + signes Coniraires et ‘on a: d’ailleurs pq°=—p°7 = 1; doncim—@x est- non-seulement plus grande que chacune des quantités p° —$ æy dois mais élle est au moins égale à leur somme.
Puisque. étant supposé «<< g ; on a généralement ARR > P—9&;
‘l.s’ensuit, à plus.forte raison, qu'on à c z>b x; donc la fraction .convergente É est tonjours-plüs-approchéé de x queltoute autre fraction = = dont le ns es est-:moindre que: g:
Es propriété des fractions continues s “applique avec ayantage, toutes “les: fois qu'il est question d'exprimer ‘par des rapports les plus st
eides-plusapprochés qu'il est possible ;-dés rapports entre de très-vrands DUR ou, des nombres irrationnels.
HO] Étant ee une Haas 2 dont la différence avec une quanüté quelconque x est Æ +? io d' étant plus petit que l'unité , on demande
quelle est la condition Pour que la fraction s soit l’une is fractions con-
vergentes données par le développement dé x en fraction continue.
“Het 200 SIDII
Pour cela, supposons que le développement de la fraction: È produise
les quotiens & successifs a, 6,7y....14,au moyen desquels on calculera les
chons one entes vers P comme il suit :
LD. € [los à Hero JD % 3h
ne Quotiens... rs. @ A le ? 1 a ac Hi P° p Frot ss NS era P
-S1 1x fraction 2 est une fraction convergente vers x, il faudra que les
quotiens 436,724}. naissent. également du développement de xytet “quelé ‘quôtient soit suivi de plusieurs autres ’, 4','etc. Appelons. Ÿ le quotient-complet me dans le développement de x, répond: à la py +P° gy+9 PRE STE
AK esrdmox 29l as Bb. :£ P=PQ TP ce) A Flo -.sndie 7, JGY#T) Free
fraction convergente Éa > On aura x = d'où résulte
Re Ccue quantié doit être dalée : à no, ainsi die faut d'abord. que le signe
de P'q pq": soit le méme sue celui de. s Or.c'est ce qu'il est tombnss -possible d'obtenir. api En effet, la suite des quotiens ds 6. “he Etant Hiréé de Ja if
“donnée ? = > par la mème opération * qui servirait! À trouver. lé/<ommun “diviséhr' des p'etq, le dernier de ces ‘quotiens WEST totijours à gfatid
«t a Ù Hé PL { 2! d À PRE s )
ique l'unité: Car:s'ilétaitiégal à l'unité, la fraction continue-«+ 3 1400»
au lieu d’être déterminée par les ‘deux termes ee 13" le lseraït par de à UC LE à Ë
est OLIS ZE J9V£ 9 loar'e ti er -o } EAe 1 dr: b'i , < ° x s «seul terme —#, Réciproquement donc on pourra, si on le-juge à pro=
an 5 5 TRE R RP RE mt. nt re - MMS. An -ren—. muiess one 2 MAR
PREMIÈRE PARTIE. - 2x pos, étendre le dernier quotient w en deux autres w—1, 1; de sorte que le calcul des fractions convergentes vers L pourra être terminé à vo-
lonté, de l’une ou de l’autre de ces deux manières :
de A SUR cu A y MI, 1 Paie Te BE TRE ’ LEE] n? q n ? qg—n? g
‘Soit Ë la fraction convergent q qui, dans l'une ou l’autre hypothèse, pré
cède ? g> 9 pourra donc prendre Ou p=m, jun, Où ppm,
PRE mais le signe de pg°—p°q est le contraire dans un cas dé ce qu'il est dans l’autre ; donc en effet on peut toujours faire ensorte que la quantité pq°—p°q ait le signe qu’on voudra.
Fe d 3 On aura donc sans ambiguité = —", où 7% Orilfaut HOTOLÉ 8° 4GY +4) 9Y+9
que y soit positif et plus grand que l'unité, Hs que y soit le Tor complet qui répond à la fraction convergente ze. donc on aura d es s
et réciproquement si on a d'< la valeur de y sera positive et plus
q qg° 2 grande que l'unité, donc £ sera l’une dés fractions convergentesivers x. C’est la condition qu'il s'agissait de trouver.
Cette condition serait remplie éntre autres cas, sion avait d'<+, parce que g° est toujours <Zg.
(10) Nous placerons ici une application de la propriété précédente, laquelle sera utile dans la résolution des équations indéterminées du second degré. |
Soit p°— Ag=rt D une équation indéterminée dans laquelle D est << t/A,7je dis que silcette équation est résoluble;sla fraction É sera comprise parmi les fractions convergentes vers KE ns
En effet, de cette équation on tire p—qy = nu 77
Es : + D: Dq TT g(p+ PF) D UPRUI — p+qyd'
Soit la fraction convergente “ précède À £ et qui est déterminée de
3 et ainsi
P Se A que je représente par +
re que le ER de d' soit le même que celui de D, il restera à
prouver:qu'on a Va ou D(g+q°)<p-+qv 4; Danse
second membre je mets, au lieu de p, sa valeur 7ÿ/ A? , et l'inés galité x prouver pourra s’écrire ainsi:
