P (ES) — 04 (EN

Cette propriété aura donc lieu aussi pour les fonctions I et T, qui sont des cas particuliers de la fonction P.

# La fonction P (2) s'accorde avec la quantité Z (= 2e toutes

les fois que x est un multiple de Q ; dès-lors on voit que Z (©) peut

s dé la val de PUNESensort etre regar ee comme la valeur moyenne e 5 ; ensorie que.. de

P (2) — Z (2) est une quantité qui ne peut passer Certaines limites,

en plus ou en moins.

PES n ao!

La quantité Z (5) augmente cotstinment de — à mesure que 7

QUATRIÈME PARTIE. | dar augmente d’une unité; la fonction P (=) n'augmente pas aussi régu= lièrement; cependant lorsque » est devenue x + Q, elles ont augmenté

l’une et l’autre de la même quantité Q’. En général comme le (741 )*" terme de la suite 4—C, 24—C, etc. est (n+1)4—C, on voit

’ que PEN?) sera — o ou — 1, selon que (n+ 1) 4—C

est divisible ou non divisible par un des facteurs de ©.

(426) Lorsqu'on considère la progression 1,5, 5...(2n — 1), la fonction P se change en T', et il faut faire e—:(Q — 1). Soit donc F(Q—:1)=0, et on aura

DORCETE) :

Decette équation on déduit, en changeant le signe de », | (ES) =n(s)n (2)

Mais comme la progression 1, 3, 5, 7, eic. continuée dans le sens né-

gatif, est— 1,—5,—5, etc., il est clair qu'on à HE Hé » Donc des deux équations précédentes, on tire

n(e+)-+n(E) = an (e)

Si l’on fait dans celle-ci 2= 56, il en résulte IT (= 211 (2): mais

puisque 20 + 1 = ©, il est clair qu'on a I (2) Es: — ES NE donc 11 (2) —+Q", ce qui donne les deux formules

n (EN + 9) ….. .…... ss. (h°)

T(E)=n (ES) ro... TR)

Réciproquement de la seconde on déduit

n(2) = TES +zr 0... (k')

Et cette valeur étant substituée dans la formule (c‘), on aura l'expres-

4ao THÉORIE DES-NOMBRES.

- sion générale dé 2 en fonction de 7°, laquelle sera

PONS Dee ee es ere

D'où il suit qu'une progression quelconque 4—C, 24—C...nA—C, contient autant.de termes premiers à @, qu'il y en a dans un pareil nombre de termes consécutifs de la suite des nombres impairs pris, non depuis le commencement de la suite, mais depuis le terme..... 26— 25 + 1 jusqu'au terme 27 + 26— 25—1 inclusivement.

Cette propriété établit une relation très-remarquable entre une progression arithmétique quelconque et la simple progression des nombres impairs, 11 faut en eflet, d’après le résultat qu'on vient d'obtenir , que ces deux progressions étant disposées, terme à térme, comme il suil :

LAËC, ER EP GA ee fndC, ete

ee 2é—27 5, 2E—20— I, 2E— 20 HI, 26205... , 26—202n—1, etc.

deux termes correspondans quelconques soient tous deux divisibles ou tous.deux non-divisibles par l’un des facteurs de Q. Or c’est ce qu’il

est facile de vérifier.imdépendamment de la théorie précédente; car deux termes correspondans quelconques étant représentés par 24— C et 26 2n—25— 1, si on observe que 4e C'est divisible par Q, et que 25 +1—Q, ces termes deviennent , en rejetant les multiples de Q, l'un 4(n+e), l'autre 2(7 + €). Donc ils seront tous deux premiers à Q, ou/tous deux non premiers à Q, selon que z+-e sera premier ou non premier à Q.

Il résulte encore de cette propriété ou de l’équation (|), que si on ne peut avoir plus de « termes consécutifs dans la suite 1,3, 5, 7,0, etc. qui soient divisibles par quelqu'un des facteurs de Q, il ne pourra non plus y avoir plus de & termes consécutifs dans une progression quelconque A— C, 24—C, etc., qui aient chacun un diviseur commun

HAT RAIN IURSE tm

avec @. Car si la quantité me ) augmente d’une unité lorsque

n devient z + «&, il faudra qu'en même temps P(E), qui devient P( (0)

théorème du n° 405.

) , augmente aussi d’une unité. C’est ce qui s'accorde avec le

(427) Les fonctions I, 7, P ont encore quelques autres relations assez remarquables. D'abord, comme la progression 1, 2, 5..... 2n

relative à (), est composée de la progression 1, 3, 5...(22—1)

ä ee \ TL és relative à T(=) et de la progression 2, 4; 6...2n, dont les termes

divisés par 2 donnent 1, 2,5... », il est clair qu'on a en général

D = DE) ne es mr On trouverait semblablement

T(E)= HE) n (Et): 200 Et comme on a P(2) I (=) — I (5) , Si on fait n— 6, cette équation donnera

PS) = ner)... (pY

Faisant »— € dans la formule (F), on aura donc T(£) —= 7 (

Li CE SDS FE AR 2 ,

€ — FN: » ER . > \ r . - — T{ = je Mais dans cette dernière équation € est à volonté, puis-

- qu'il ne reste plus de trace de la progression d'où € est tirée; donc on a, quel que soit »,

TONER Je TS). So ER (q')

Cette formule se déduirait aussi de la combinaison des équations (K') et (m').

$ XII. Méthodes pour compléter la résolution en nombres entiers des équations indéterminées du second degré.

(428) Ne avons donné dans la première partie les méthodes nécessaires pour résoudre en nombres entiers les équations indéterminées du second degré, qui sont de la forme ay° + byz + c3° — H ; c’est en effet à cette forme que peut être réduite toute équation proposée du second degré ; mais il reste une condition à remplir lorsque l'équation dont il s’agit contient des termes du premier degré.

Soit en général ay° + bys + cz + dy + fs + g—=0 l'équation proposée ; pour faire disparaître les termes où les indéterminées sont au Yÿ+a z! +6

premier degré, je fais y = > 4—=—7—, et j'ai la transformée

0 = ay + by'z' + 03/4 2aay' + 2067 + au? -- dal + 06 + baz +baC+fée0 + dy + flz+c6 Lol.

Supposant donc 244 + b6 + d—0o, 26 ba + f8—0o, on aura |

æ __ocd—fb CE oaf— db % \ y; 5 $ Rs ÿ nn ee d’où l’on voit que si dans l'équation pro-

posée on fait immédiatement __# +2cd—fb Pam IT bb—4ac ? “T7 bb—/ac ?

la transformée sera

ay 4 by = — (af — bdf-+ cd) (bb — ac) — g (bb — 4ac)..

Je remarque maintenant qu’on peut supposer que les coefficiens a, b, c des termes du second degré dans l’équation proposée, n’ont pas de diviseur commun ; Car s'ils avaient un Commun diviseur © , il faudrait que dy + f:—+g füt aussi divisible par © ; or cette condition est facile à remplir, en introduisant une indéterminée nouvelle à la place de ÿ ou de 3, et alors toute l'équation devient divisible par «.

QUATRIÈME PARTIE. ! 423 Je remarque aussi qu’on peut faire abstraction du cas où bb — 4ac est une quantité négative, parce qu'alors le nombre des solutions de Ia transformée étant toujours limité, le procédé le plus simple est de sub. stituer successivement les valeurs trouvées de y” et.z, dans les formules Ty +ecd—fhi 2af — db 77 bb—%ac ? PR — 4ac donnent pour y et 3 des ee entiers.

; afin de voir quelles sont celles de

On peut se dispenser encore de discuter le cas où — 4ac, quoique posiuf, serait égal à un quarré, parce qu’alors la tansformée n’a encore qu'un nombre de solutions limité (n° 70). Il ne reste donc à examiner que le cas où db — 4ac est un nombre positif non-quarré. |

(429) Alors la transformée, si elle est résoluble, aura toujours une infinité de solutions routes dans un ou plusieurs CRE Ha Fe système Pourra étre représenté par Îles formules sai

# =yF+dG —=<"+ÇG.

Lo (6 — ac) = F+ Gb — 4ue).

Pour éviter la considération des cas particuliers , nous supposerons que ces formules sont préparées de manière que les nombres 7 del 0% sont des entiers’, et que l’exposant 7 est un nombre à due Quelquefois la solution immédiate donnera, pour ces coeMitiens, des n0ombres affectés de la fraction =; il pourra arriver aussi que l’exposant 7 soit d’une forme désignée paire ou impaire. Maïs dans tous les cas, il est facile de réduire les formules à la forme” que nous ‘supposons , ‘où tous lés nombres sont entiers ‘ét l'exposant n à volonté : : il faut de plus se rappeler qw'on aura toujours (ne (D? 22 ac) — Feu Cela posé, il s'agit de trouver en général la Yaleur de D ‘telle que

les quantités | nn yF+9G+a Lt eFÆEG+C 3: Dre bb— 4ac

rt A r

NA PRIE ne eue due |

Ainsi en substituant ces valeurs de Fet G, on voit: que, Ja question se

5@" + Eng +e

réduit à déterminer n de ranière que les quantités tete, T— 4acC -

FH He tt soient des éutiers. Pour céla j nous distinguerons deux

cas, selon que n est paif où impair.

Soit 1°.n="2r, l'équation ç°— 4: re = 1, donne;-en népli-

geant les multiples de D? — 4ac,.@" = 1 on peut donc , au lieu

de.æ et 6, mettre ag"et 6g°",.et alors supprimant le facteur q@”"—" qui né peut ‘avoir aucun. diviseur. commun ayec D — {ac , on trouve que Ja détermination de » ne dépense plus que des équations, du PIRE

‘degré

BD ae à e. C+oobatim

bb—4ac Re PAF TA bheetac € ER?

| lesquelles dora s’accorder entre elles, pour que l'équation proposée

soit résoluble en nombres entiers.

Soit 2°. n— 2m 1, alors, en négligeant les Hlénies de eee à on aura encore 4 — ag" et Ég", et la détermination de »# dépendra des équations du prémiér degré” sf

+2 + (mi) ns RM EE bb—"Zac ? bb — fac

hesiellés: doivent encore s’accorder entre elles. +

Donc dans. tous les cas on trouver a les valeurs convenable. de l'expo-

Sant z par la simple résolution d'une équation: indéterminée du premier degré; et la valeur de » qui résultera de cette solution étant en ‘général ‘de la forme » -L (b— 4ac)k, où est une‘indéterminée, äl s'ensuit qu'on aura ane infinité de valeurs de 2 qui satisferont à Ja question, de sorte

qu'on aura aussi. une: ‘infinité de Us de ÉApAAAE proposée ‘en

différentes solutions. : PRIT ESA

(430) Soit proposé maintenant , pour "compléter" ‘cette one à de résoudre la question suivante: 1.1:

Les nombres F et GC étant donnés par la nb o+4 y’A }* = F + Giy/A vins luguelle léxposant n est-indéterrniné, et où lon a g° — V'A — 1, trouver toutes les valeurs de n telles que la quantité

°AF2+ ji y ait divisible:parün nombre premier o qjuine divise pas A4.

Voici-une méthode qui a été indiquée pour cet: objet bag Fagrnge (Mém. de Berlin, 1767).

Je suppose d’abord qu’on connaisse une les de l'exposant ? ñ qui

satisfait à la question; soit cette valeur p.,.ilfaudra qu'en faisant

(O4 4 VAY=f+8 V4, là quantité see soit un: entier. Je

cherche’ ensuite un exposant 9, tel qu’en fiat (CEE v'4ÿ=f" +g! V4, le nombre £” soit divisible par ©. Il est certain que cet exposant existe, puisqu'on peut toujours satisfaire à l'équation 2° — Aw*y* = 1. Cet exposant étant trouvé, oi peut supposer en mème temps que fx soit divisible par ©; si cela, n’était Pape .0D doublerait l'exposant g; et faisant (+ Ly/4}* où (f'+ g v 4} ASE g” VA; on aurait f'=f" + Ag = 1248", et g"— 2f'g, de sorte que f"—1 et g° seraient a-la-fois divisibles par ©. Donc en Re les HRÉPArAEUEE convenables.,. on ‘trouvera toujours un exposant g, tel yuére faisant. . (+4 VAN =$f + g VA, les nombres f”— 1 et g*soient l'un et l'autre divisibles par ©.

Je dis maintenant qu'en préhant 7 — = qu + p, la quantité proposéé AF + GE sera divisible par ©, quel que soit l'entier x. Gar soit (f'+g VAY=F'+Gy/A, on aura F+ re =(f+gyA) (FH G VA), d'où lon tire F=fF +<gAG, G=fG+gF", et AF+pG+r=(Qf+ug)E" + (AgA + pf) G + ». Mais les valeurs développées de, F et G' étant F— ff" + = — LEA + etc.

G'=nf"""g + etc., si on néglige les multiples de w, on aura G=0, et Æ/=f*— 1; donc en négligeant les mêmes nu plee la quantité AFHpG +» se réduit à Af-+ug+v, donc elle est-divisible par ©.

Puisque toutes les valeurs de 7 comprises dans la formule 7 — g2+p sasfont à la question, il y aura toujours une de ces valeurs qui sera moindre que 4; de sorte qu on pourra toujours Suppôser p 7. Donc pour avoir l'exposant p qui donne la première FREE » il fautélever ® ++ 4 à ses puissances succéssives 0,1, 2, 3.../—1, et essayer, pour, chaque puissance représentée par f+- 8 4 4 ; Si la quantité Af+ug +» est divisible par ©. On peut aussi former directement la Suite des quantités Af + up, en observant que ceite suite est récurrente, et qw'elle.a pour échelle de relation 29, — 1; d’où il suit qu’au :moyen des deux premiers termes connus-A, AQ -+- 4, on formera aisément tous les autres. Ces calculs sont d'autant plus faciles, qu’on peut rejeter les multiples de w, à mesure qu’ils se présentent, et si le-pro-

blème est possiblé ; il faudra que dans les g premiers termes de la suite dont il s’agit, on trouve une ou plusieurs fois Af + ug += 0. (431) Connaïssant l'exposant le plus petit p qui rend ÀAf po ty divisible parcçun nombre premier ® Voici la méthode qu'on peut suivre our trouver. priori une valeur dé ni telle que À F + BGH soit divisible p par. une puissance donnée ©.

Nous “observerons, d'abord | qu'on peut résoudre (généralement l'équa-

da d Le Max + No - + Pet Qs* ete.

c'e dans laquelle Z et M sont des

sobres donnés, ét A P,, Q, etc. Fe fénctions RTE entières

sat

de LC: SEA cèlas il Rudra déterminer x de manière que D LOT T

un entier; ayant trouvé NN ,. si on substitue cette es dans

l’'équation:iproposéez elle: deviendra, de la: forme.:..,......,1.,4.4 F [EE À tL4 ° ,2 (4 © DH SrhBEe SD oi JO Rois = é semblable à la proposée ; mais

dont. le dénominateur. est d'un degré. moindre d’une unité. On aura ue , par uue suite de ‘procédés “semblables , z=l+ ox, xl +ox",

pp ox", etc. ;- d'où l’on conclura æ —/+ l'© + Pa + lo + etc. Susqu'à un terme de la forme œ mx) dans lequel ER sera une nouvellé indéterminée: , , :

Cela posé, si l'on veut, par bte dti la RES de » telle que la ‘quantité AE kG+y soit divisible par w° } on fera) Commè ci-dessus ; 2= gx -p,-etltoutes choses étant d’ailleurs: le mêmes», faisant de plus AfHug=N , 184 Huf=k , on aura A FE uG+ y = NE" pG +7. Dans cb quantité, qui est déjà divisible par ©, «quel. que soit{;x, il faudra;substituer, au leu de.” et G leurs valeurs développées, en.omettant la troisième PHARE et les puissances supérieures. de & ; ces valeurs RON PE NUS ot PRET Aa

U F2 je +2 Lire BA, G! af 8" AE On distinguéra” ensuite deux cas > Sélon .que x Us pi ôu impair

°: Six est pair, où pourra, à la place de», méttre T0 #1Ÿ; Let äbfélopper cette quantités" en-omettant les térmes qui contiennent “8° et lés ‘puissances supérieures de g”. Par ces‘substitutions, l'équation

at G£ proposée Le es 26 deviendra

QUATRIÈME PARTIE. ë 429 x (P= + V2 D T1 mes A4) Lu .æf"2T 19) 4 Ly (F2, re

CÈ

Or f! n'étant pas divisible par © , puisque f—1 l'ést, on peut supprimér du numérateur le facteur commun Jo ce qui fait disparaître la variable en exposant ; si de plus on fait ë = oh, \ÆEy=0L;, l'équation à résoudre deviendra—

7 2 CRDP EE MEN ACC NUS ui jet Et celle-ci pouvant se ter par la méthode précédente, on aura le

, CL 2. Six est impair, il faudra, à la place de »; "mettre »(f—2"4) 2,

et d’ailleurs le calcul sera entièrement semblable à celui du premier cas.

On voit maintenant le procédé à suivre, pour faire ensorte qu'une quantité de la forme AF- uG + » soit te par un nombre quelconque P. Ayant décomposé P en ses facteurs premiers, soit w" un de ces facteurs, on cherchera les valeurs de >, telles que la quantité proposée soit divisible par æ", et ainsi successivement par rapport à chacun des autres facteurs. On aura différentes valeurs particulières de z qu'il faudra combiner ensemble , afin d’avoir une valeur générale qui satisfasse à toutes les conditions , et le problème ne sera résoluble qu'autant que toutes ces conditions pourront être remplies.

(432) Nous remarquerons que la valeur de 4 dont on a besoin dans: la solution précédente (n° 431), peut être donnée directement par le théorème suivant.

» viseur de 44, je dis qu'on peut faire 9 —®— 1 si l’on a (6) +1, » où qg=@"+#+ 1 si l'on a = I

En ‘effet on trouvera, comme au n° 129, que la quantité... (DHL y 4) —(p+ Ad VA), divisée par ©, laisse le même reste qu'une quantité semblable (g— #44 4/4) — (D —%L4 y 4), dans

D) + hu LE ER SPAS EL

laquelle X est un entier quelconque. Soit k—=@, on aura ainsi, en omettant lés multiples de ,