H 4 VA) (+ NV A = VA) V

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et le sécond Diable à cat de L’—=+%, devient Ÿy/4(42 — 1) ou dy 4 LC) — 1 | Soit a°. (É)— 2, on aura (+44) (0H y 4) = 0; donc (244 y 4) T7 — 1 est divisible par © , donc on peut faire 9 = 1. Soit 2°. (2) =— 1, On aura (e +4) = 9 —4 V4; donc (+ Ly4) Te — Al 1, donc on peut fire = 01.

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QUATRAÈME PARTIE. 43x

$ XIH. Méthode de Fermat pour la résolution de l'équation Y*—=atbx+cx?+dx3 + ext en nombres rationnels.

(433) ASE été conduits à traiter fort au long de la résolution des équations indéterminées , nous devons faire mention d’une méthode indiquée par Fermat pour résoudre «en nombres rationnels l'équation Jia + bx +cx* +- dx + ext, dont le second membre est un polynome rationnel où la variable ne passe pas le quatrième degré. Voici les cas principaux dans lesquels da: résolution est possible. 1°. Si le nombre « est égal à un quarré positif f#, les valeurs x—=0, | ÿ =$f donneront immédiatement une solution de l'équation proposée. -Pour avoir üne autre solution, on supposera 4-02 0207.24 das = (f + gx + hx*)*, ce qui donnera, en développant et ;ordonnant, ; 0 = f*" + 2fgx + 2fhx° + 29h44 hat —a—b + gt — d —e

Or on a déjà f° = a ; si pour faire disparaître les deux termes suivans, on fait 2%$—b—=0, 2fh+g —c=0, 9e en tirera les valeurs des Crée

coeficiens g et h, lesquelles. seront g — D h=— - F. Alors l'équa-

tion étant Ledaite : aux seuls termes qui contiennent x° et at, il en

résultera une valeur rationnelle de x, sayoir x — RTE -Gette ya-

leur donnera donc une nouvelle solution en rnonrbnes: ratiomnels de l'équation proposée ; si toutefois*on n'a pas 22h d, mie.

La nouvelle:solition étant désignée par à = #2, si l'on fait généralement &15= mi x", ét qu'on. substitue: cette ÉsrPes ais: l'équation proposée,-le sécond membre deviendra de la forme a! + Dix c'x d'art «dans laquelle: 4’ .sera encore un quarré.positif. On. Prpcéderardone:de la mêmematière, por trouver une nouvelle valeur. de x" et ainsi à d'anfii. D'où lon-voitiqu'une première :valewr, connue de x suffit pour'en taire trouver une jinfinité-d’autres ,-sanf quelques cas par-

tculiers qui ne peuvent guères avoir lieu que lorsqu'il est absolument impossible de résoudre l'équation proposée autrement que par les premières valeurs données.

. Si le coefficient e du terme exf est égal à un quarré positif h°$ on a a + bx + cx° + das + ext — HE + hx*)*, ce qui donnera, en développant et réduisant,

+ 2fgx + 2fhx* + 2ghx Re M LE 0 NE Se

Maintenant on Eure faire disparaître les x? et x°,, en prenant,s — 2

aps.

f= LE ;et alors Ve équation réduite au premier degré, Jonne x ei

Cette solution en fournira ensuite une infinité d’autres comme dans-le cas a Die mais il faut qu'on n'ait pas 2/2 — db — 0.

.« Si l'équation proposée est de la forme y* = f2, + dx + ca + Due h°xt, ensorte qu’elle tombe à-la-fois dans les deux ças précédens, on pourra fie usage de chacun des moyens indiqués. On ‘peut. anis tout d’un coup faire 7 = f + gx + (Le ; Ce qui donnera, en substituant, développant et réduisant,

0 — 3fex + a — b He —d

RE