A EE DE

Or on peut satisfaire à celle-ci de deux manières , soit en faisant 2 — .

ce qui donne x = ER > Soit en faisant = ES, d’où l’on tire

Æogh—d ?

PR ofg—b ; Te rafh

4°. Si on a une solution désignée par x m, on ri à et l'équation sera ramenée au premier. cas.

Nous pourrions ajouter un grand nombre d'applications de cette méthode tirées des problèmes d’analyse indéterminée, dont Euler a donné les solutions dans plusieurs de ses Mémoires, et das le second volume de son Algèbre. Nous nous bornerons à un ou ‘deux. exemples de ce genre, afin de donner une idée de cette branche d'analyse, qui. exige une grande sagacité dans le choix des moyens de solution, mais qui étant trop particulière, n’a qu'un rapport éloigné avec notre sujet.

TE 2 nn =— RESTE ns -

QUATRIÈME PARTIE. * 433 (434) Proposons-nous de: trouver trois nombres #,7, z, tels que les trois formules

LH 22, 2H", JE H 22 soient égales à des quarrés.

Comme on peut supposer que ces nombres sont premiers entre eux;

il est aisé de voir qu'ils doivent être tous trois impairs : on peut donc faire Y=x+ 2p, 3—x+2q, et on aura

LP + 2 42° HA(P Ha) +4 (pt 29°).

Je fais cette quantité = 4(x+f), et j'en tire ere La se-

conde formule donnera semblablement x — et pour faire

accorder ces deux valeurs, je fais :

P'Hag fig aps, —p—2=2%—q—2p;

j'en tire des valeurs rationnelles de f et de g , savoir f— 1(5q + SP); Le £g=2:(bp +3), au ose desquelles la valeur de'x detdeds

7D°— Bopq + 70°

8(p+q) Cette valeur satisfait déjà aux deux premières conditions : on aura d’ailleurs les valeurs correspondantes de y et 3 par les formules 7 =x+ 2p, z—x +29; de sorte qu'en supprimant le dénominateur commun , on pourra faire

7p° — 50pq + 79° BE API 04:

7P° — 14pq + 254.

-Substituant ces valeurs dans la formule y? -+2°+-2x*, et faisant...

P—:-10, il restera à satisfaire à la condition q ’ :

1 + 20. 20° p.95 + 162 0f — à un quarré.

Or on trouve immédiatement Ü—0o, où Ü——1, ou {——2; maisilne résulte de.là aucune solution. Soit donc, suivant la méthode précédente, 1+ 20 + 20 LOS LL I690— (1 Hal 180); si l'on développe cette équation , et qu'on prenne æ—"#,, on aura.

@— 208; donc p— 209, g9— 1, ce qui donne cette solution

À Hdi

lobes THÉORIE DES NOMBRES.

Il serait facile d'en trouver plusieurs autres , mais elles seraïent pro bablement plus composées , quoique la code dont nous avons fait usage ne prouve pas que les nombres, trouvés sont.les moindres posfiles qui satisfont à la question.

Soit proposé encore de trouver trois quarrés inégaux x°,7°, 2", tels que les trois formules x? +72, 22 — y, y it, soient égales à des quarrés.

On trouve aisément que les deux premières conditions sont remplies, en faisant :

LE 7 — St 2 I — 75 — $?,

1 reste donc à satisfaire à la troisième, Hiquelle devient, par la substitution de ces valeurs; rf— 4195 sf à ün quarré. Soit r—05, la question se réduit à faire ensorte que 0t— 48° + 1 soit un quärré. On pourrait prendre —0 , ou Ô— 2, mais il ne résulte de là aucune solüution convenable ; pour avoir d'autres-valeurs soit 0 — 249, on aura 1 169 + 2097 + 89% + 89 — à un quarré. Je fais celte quantité

= (1+ 89 + 9°) ; prenant ensuite à = 1, je trouve ® ——-’}; donc O——15, r— 15, s—#4, d'où résulte cette solution :

HAT = 200)» 325140; Ce sont vraisemblablement les moindres nombres qui satisfont à la ‘question. On aurait pu faire encore & — — 22, ce qui aurait donné — 12, 0—##:, our—442,.s — 161 : mais de là résultent des nombres beaucoup plus considérables que les précédens. On peut suivre un autre procédé pour faire ensorte que la quantité 1 16p+ 209° + 8p° + ot soit égale : à un quarré. Représentons ce

quarré par, (1 + mp + n9*), nous aurons, en Rae et dévelop pant,

D — DNROre + RAS gi 16 + mt -— 8: — 1 20 à

16—0m. L:18—92mn 2n + m° CURE n° — 1

(8m) n° + (n° — 20m 8) Rp Em 720:

Soit ® — , On aura entré meUr l'équation

‘Maintenant, EE avoir une valeur rationnelle de 7, soit m——8, on

aura nn =, P— ir) Ce qui est “la seconde 4 deux solutions trouvées par l’aütre méthode:

Usage de l'analyse indéterminée dans la résolution de l'équation X2— 1 — 0, n éfant un nombre premier.

(435) S,; l'on écarte du premier membre le facteur x— 1, et qu'on fasse

A — dt Li ns Las, cos Xl,

on saît par le FR de Côtes que le polynomie Æ a pour facteur général x°— 2x cos 227 + 1, k étant un nombre quelconque non-

divisible par 7 ; de sorte qu’en donnant à k les valeurs successives 1,2, 3,...:(n— 1), on aura tous les facteurs dont ce polynome est composé.

Les connaissances des Analystes sur la résolution de l'équation

&'— 1—0, étaient presque réduites à ce seul théorème , lorsque M. Gauss publia son excellent ouvrage intitulé Disquisitiones Arithmeticæ , où l’on: trouve une théorie nouvellé et trés-complète de la ete de la même équation, ou, ce qui revient au même, de la division de la circonférence en » Dértés égales.

Comme cette théorie est une des applications les de intéressantes de l'analyse indéterminée , et qu’elle conduit à des résultats irès-curieux, nous avons cru faire plaisir à nos lecteurs, en l’exposant ici avec tous les développemens nécessaires,

(436) Si on appelle r l’une quelconque des racines imaginaires de

l'équation x"— 10, c’est-à-dire ;-si l’on-fait r—cos x 1 FAess k étant un nombre quelconque non-multiple de » ,. toutes les racines de cette équation seront r, 7°, r°..... 7"; desquelles séparant la racme r— 1, il restera pour les ns d Rss À=O, ces n—1 valeurs :

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