HÉROS

En général donc r sera une racine quelconque de l'équation XY—0, pourvu que æ ne soit ni zéro ni multiple de ».

Avec cette restriction il n’y a que 2 —1 valeurs différentes com

| prises dans HSPIE SION æ — r°3; Car si on avait & — nk+i, il est chair qu'on aurait r —1r, puisque r"—1; et par la même raison, on — à — kn— aurait aussi r —7r! ir .

D'ailleurs on prouve aisément que les 2— 1 valeurs précédentes sont

différentes entre elles; car si on avait pe « et 6 étant plus pe=

: . # 5 5 TE r , tits que 7, il en résulterait r —1,€ étant Æ(aæ—6) et par conséquent plus petit que #7. Maïs comme » est un nombre premier , les

deux fquations, P=1,r—i,tne sauraient:avoir Jieu ensemble, à, moins qu on n'eùt nn Ce qui est contre la supposition.

sis Cela posé , le polynome X peut être mis sous la forme X=(x—r) (x 7) (x — rt)... (x — 7).

Et comme on peut mettre 7*, où en général r° r* au lieu de r, On aura aussi

Xe) (x rt) (x —7r)..... CREME et sr É É | XL = (er) (or) (ar) (are).

Donc puisque le second terme du polynome X a pour coefficient +:r, on aura

O=1IHrhr bre... He, et en général, 0— 1 + RCE ee + Fée ye..

équations qui ont lieu sans GÉASRes celle des racmes de l'équation X=0 qe OREPTENTEPOUL FR PER RARE EE

(438) « Tuéonèmz. Soit @(r, s, #, u, etc.) une fonction rationnelle

NQUIÈME PARTIE. :! 457 »- etentière (x) des racinesr, s, 4, etc. de l'équation X—0;, ou sèule- » mentde quelques-unes d’entre elles ; si dans cette fonction on substitte:; ». successivement, au Heu des racines r, s, t,.etc., leurs quarrés , leurs » cubes, et.ainsi jusqu'aux. puissances .de l’ordre.z, lesquelles seiré-,, » duisent toutes à l'unité; je dis que la somme des 7 fonctions ainsi » formées,

».E(r;s,t, etc.) Æ (rt, s°, €, etc.) +. 2. +0 (1, sHHEiC.), : »sera égale à un PAR den. » | En effet SPA terme en particulier de la fonction Q] étant . de ka.

forme -4r°s D, et les racines s, £, u, etc. étant des puissances déterminées de‘lune d'elles r > il est Cie que ce terme se réduira toujours

h-la forme Ar, où l'on ‘peut supposer € < Donc la fonction entière (Tr, St, u, et) se réduira à la forme “a A+ ATH Ar ie 2 AO, Si l’on met ensuite 7° à la place de r, ce qui change en même temps sen s*, é en #, etc. , la fonction @(r°, s°, {*, uw, etc.) sera représentée par | | [2 " nn) AH ATH Art ee AOrES, Mar : 2 æ et :

et en général la fonction @(r ,; s , & , etc.) le sera par

D en +0 De:

Donc la somme de toutes ces fonctions ; jusqu'à GUrESSEEE etc. ) inclusivement , sera

"nd ELA (r ER ET...) HE A (PE D rs... 7°

2 AO (ET LE ps LE pins, MOD),

G) Nous appellerons désormais Fonction rationnelle et entière des quantités r, s, t,u, etc. toute fonction composée de tant de termes qu'on voudra, de la forme

AP) 'etc/, A'étant un entier.

quantité qui se réduit à 74° (n° 437) et par conséquentiest, un multiple den.

Il ést bien à rémarquer: que ce théorème à lieu, quel que soit le nombre des racines 7, s, t, etc. qui entrent dans la fonction 9.

(439) Tuéonèmr. « Si le polÿnome Z = x" + Aa Bars » Cx"—3+ etc., dans lequel les coefliciens 4, B:, C, etc. sont entiers, » est divisible par le polynome P = x" + ax" ba"? -L etc., dont » tous les coefliciens a, b, c, etc. sont rationnels ; je dis que ces der= »'niers doivent ‘aussi être de nombres entiers. »

Car après avoir réduit tous les termes de P, excepté le premier x", à un méme dénominateur, soit ce dénominateur — &'A, a étant la plus haute puissance de un des nombres premiers qui en sont divi-. seurs; on pourra supposer (n° 44), |

P=PHEHE

P',P", P" étant des polynomes en x dont tous les coefficiens sont entiers , le premier du degré 7 commençant par x", les deux autres du degré 7 — 1 au plus: Si on appelle Q le quotient de Z divisé par ?, on pourra faire semblablement

Cela posé, le produit PQ devant se réduire à un polynome dont tous

les coefliciens sont entiers , il faudra que le terme = - disparaisse de

lui-même, puisque les autres n'offrent dans leurs ui que des puissances moins élevées de &. Donc l’une au moins des Re

P" et Q" est nulle: ce ne peut être P”, puisque P contient «°° dans ses dénominateurs ; donc on a Q”’—0o, donc « ne se trouve pas dans les

dénominateurs de . Mais alors ayant d’une part P= P+T no :

de l’autre Q—=Q 2Q7 <> le produit PQ ot la pie — +

Ë , dont le dernier terme peut être changé en LE fe Ge EURE 3 DEA et

; étant des nombres entiers (n° 14). Or la rie Ja . élevée

"CINQUIÈME PARTIE. 439 de æ dans fP"Q" est moindre que dans ?”Q°, puisque Q con- . PQ" + fP'Q"

tient le terme x"7*; qui n’est point dans Q”. Donc = ne a

saurait se réduire à*un entier. Donc le polynome ? ne doit contenir dans ses coefliciens aucun terme fractionnaire. -

(440) Tuéorème. « Le polynome X, dans lequel x est toujours sup- » posé un nombre-premier ; ne peut se décomposer en deux facteurs » rationnels. »

Car supposons que le polynome X du degré 7 — 1; ait pour ee le polynome de degré inférieur

PR tax -Lix 2. LE Ame, il faudra, par le théorème précédent, que tous les coeñiciens 4, b, ce, etc. soient des entiers. De plus on peut observer que » doit étre pair et À positif; car si ces conditions n'avaient pas lieu à-la-fois, l'équation P = 0 auraitau moins une racine réelle, laquelle serait aussi urie racine del’équation X— : or on sait que celle-ci n’a que desracinesimaginaires.

Soient 7, $, £, u, etc. les racines de l'équation PE=9 ; ensorte qu'on ait l'équation rtnteta À US

P:= (x: —.1) (&.— s) (x —.t) (x — u) ral

le nombre, des facteurs æ—r, æ—51} etc. étant». On'peut donner-une valeur quelconque à x dans cette équation ; soit donc x = 1, et appe- Jons p' ce que devient P; nous aurons

= G 90 (0 de Di

Le ne pi aura aussi pour valeur 1 +4 + b 4 c+ etc, etainst 1l sera entier; dé: plus, il devra.être positif, puisque toutes. Tes racines LS) 6tCESONT imaginaires.

Au moyen de l'équation P—o, dont les racines sontr, s,/#,"u;,etc!,

‘il est aisé de former une autre étquation PE Ru déntlés races Soient

AT è F,S, , etc.; et parce que les coefliciens du polynome P sont en-

tiers, le premier, étant =: » ‘ceux du polynome de même degré Pa seront pareïllement entiers , ainsi qu'il résulte des formules connues. Donc

si on fait x=—1 dans chacun des polynomes PE ?, ét que les nonibrés

drnédisss. RE a EE

pre —

4ho THÉORIE DES NOMBRES.

résultans soient successivement :

p'= (ir) (as) (18) (1—u) etc p'= (ir) (is) (16) (1—u) etc.

D (ere) (rs) (1e) (ru) etc. ;

il est clair qué tous les nombres p', p”, FF ,...p®-® seront des entiers positifs.

"Maintenant si on multiplie toutes ces équations entre elles, et qu'on observe que par l'équation À = (x—r) (x—s) (x—t), etc., on a pour chacune des racines r, s, £, etc.

(Gr) Gr) Gr)... (7) = n Ga) Ce RO De cn ni etc.

le produit sera:

PPP'... Re =».

* Mais puisque toutes les quantités p’, p",....p®® sont des entiers po-

sitifs, et que leur nombre 7 — 1 SA y, il faut, pour que leur

produit soit 7, que quelques-unes d’entre elles soient égales : à nouà une’ puissance dei», .et que d’autres soient égales à l'unité. Le nombre de ‘celles-ci ne-peut être moindre que 7—1—y; si on l'appelle Æ, il

est clair que la somme p +p'+pf....-+pf? sera de la forme +47.

Or on a démontré (n° 438) que la même somme, en y comprenant p®, qui est zéro, est un multiple de 7. Il faudrait fie qu'on eùt ktAn—Bn, ‘équation npbssble, puisque Æ'est <vet >n—1—v, où — Het). Doncsi P est diviseur della fonction X,, les coefficiens:de P ne peuvent être des nombres entiers. Donc la Re Xne peut avoir que des facteurs irationnels.

Remarque. Ce théorème n'aurait pas lieu si 2 était un nombre com-

po par exemple , lorsque z—9, on a À (aa) (xx).

(445) Puisqu’il est démontré que le polynome X ne peut avoir aucun facteur rationñel, 7 étant un nombre premier, la résolution de l’équation Ÿ=—0 ne peut se faire qu’en décomposant X.en facteurs irration-

are T SE es EMEA di LS SOLE PR RER ne im me» Rm— a AE . cr - + me =

: CINQUIÈME PARTIE. 4x nels. Or la théorié que nous allons exposer d'après M. Gauss, a pour but de démontrer cette proposition -très-sénérale :

« Ayant décomposé 721 en facteurs premiers, a, b, c, etc., de

» sorte qu'on ait 2—1 Ve ,; etc., je dis que la résolution de l’é- » quation-Ÿ —0, ou, ce qui revientau même; celle: de:æ"—1—o , » pourra toujours se réduire à la résolution de plusieurs Ares de » degré inférieur, «savoir: & équations dB degré a, 6 du degré b;, y du » degré c, et ainsi de suite.»

Par cubes silon az—75, ce qui donne 2— 1 —2°.5", la résolution de l'équation x — 1 —0 s'effectuera moyennant trois. équations du second degré et deux du troisième,

Si lona z—17,ce qui donne n—1—52, la Polib on de l’équation x'—1—0o se réduira à celle de quatre équations du second degré. On peut donc diviser géométriquement la circonférence en dix-sept parties égales, ce qu'on était loin de regarder comme possible ayant la démonstration de M: Gauss.

En général, si le nombre premier est de la forme 2" 1, on pourra réduire la résolution de l'équation x"—1=—=0 à celle.de "1 équations du second degré; il ne faudra même que »—1 de ces équations, sil

agit de la division du cercle en 2 parties égales.

Observons que 2" 1 ne pourrait être un nombre premier , si » était

impair ou qu'ileùt seulement un diviseur impair, car 2*#+Er a pour

facteur 3, et AR 1 a pour facteur 244 , si 6 estimpair. Donc2"+r ne pourra être premier que lorsque 77 sera une puissance de 2,-et cependant il ne sera pas premier toutes les fois que 72 sera une puissance de'2; car il y a exception lorsque m=— 2=— 32.

Après les cas de m—1, 2, 4, qui sont déja connus, si l’on prend celui de m—8, il en résulte ñn— 21257, qui est- un nombre premier. Donc on peut diviser géométriquement la circonférence en #7 parties égales, ce qui se fera au moyen de sept équations du second

degré.

La division géométrique peut se’ faire aussi en 255 et 256 parties, puisque 255—53.5.17 et 256— 2" ; de sorté que les trois nombres consécutifs 255, 256, 257, ont la propriété de diviser géométriquement la circonférence. Dans les nombres inférieurs, il faudrait descendre jusqu'à 15, 16, 17, pour rencontrer une semblable propriété.

Et parce que 2° 1 —65537 est aussi un nombre premier, si on re-

marque que 2/5—=1—4(2%—;).(2 +1) 255.257, on verra que les

LE PIEDS DES NS TIR ire

agi EC AE 2 He 2 Am LOT a à GRR eo een tn ru

trois nombres consécutifs 65535, 65536, 65557, quoique lrès-grands ; jouissent encore de la mème propriété. Mais on né peut Continuer immé: üiaterent cette suite, parce que 2° 1 n’est pas un forbre prérnier.

(44 2) Toute racine de l'équation X—0 pouvant être Les par r”, & n’étantnizéro nimultiple de 7, nous désignerons celté racine par l’expression abrégée (a). Cela posé, deux racines (æ) et (6) seront les mêmes siæ—6 est divisible par , et différentes s'il n’est pas divisible, Deplus , il suit de l'origine de cés racines que le produit ()X (0 = (a+ 6), et que la puissance (a) =(n2) 3 propriétés analogues à celles des loga= rithmes. On observera aussi qu’on à OERr ; (a)=1 ,'et en général (4n)=1, puisque ces expréssions représentent 1°, 1, 1%, Qui Sont égales : à l'unité.

Toutes les racines’ de l'équation À —0o sont représentées par la suite (1) (2), (6)....(n—1); mais comme au lieu de r on peut prendre.en

ire æ . . R .

général r , pourvu que & ne soit pas divisible par 2, ces mêmes racines

‘seront représentées par la suite («), (24), (54)..:(n— 1.4), quinedifféréra de la première que par l’ordre de ses termes.

(443) Considérons maintenant l'équation mdéterminée x""—1—=c{(n), dont le second membre désigne un multiple quelconque de 2: On sait que les 7 — 1 racines de cette équation, supposées positives ‘et moindres que »;, sont la Suite des nombres naturels &, 22, 3..:.(2=——4x). On sait “en nrème temps (n° 336) qu’il est toujours possible detrouver un nombre g qui par Ses puissances successives ee toutes les racines de la même

équation ; de sorte que la suite g, g°, g°;.2.8"", où, ce qui revient au même, 1, Br 8" donne, en omettantles saltigies de », lesimêèmes termes qui sont contenus danis la suite, 2, 5... .(4—1).

Ce“nombre g, auquel nous donnerons le nom délracine primitive , doit être tel que ?r'étant plus petit que 2— 1, on ne puissé avoir 2" —1 , où g"— 1 —cl(n). Alors & étant un nombre quelconque non-divisible par 7, on pourra toujours trouver un exposant p tel que g"— C2 c’est-à-dire ,

tel que ge —a—=c(n) ; car'lenombre a, ‘sil se trouve dans la suite 1,2, 3 ..n—1, doit également se trouver-dans la suite 1,2, 2°, g7..2"?,

et si « est plus igind que », il suflit de considérer le reste de æ‘divisé par 2.

Au moyen dela racine primitive g-.on peut donc ‘exprimer toutes les

-à ces À équations :

(FÉRIER TANT

: -"CINQUIÈME PARTIE. | 443 racines de l'équation X=0, de cette manière: (1), (2), (g°)...(g"—), et-plus généralement, en prenant pour & un nombre-quelconque nondivisible par.» , ces racines pourront être représentées par la suite

(a), (ag), (ag”)......(ag"—);

elles le seraient également par la suite (a), (aG}s:(&Gt).....(aG"),

si G était une autre racine primitive de l'équation x"! — 1 —={(n); or il en existe toujours plusieurs, excepté le cas de 7—3, où il n'y en a qu'une. .

(444) Soitmun diviseur quelconque, premier ou non-premier, de—1, et soit »—1—m#, l'équation indéterminée x" — 1 —={{n), qui devient a®*—1 —=ch(n), pourra se décomposer en un nombre k d'équations de la forme x" — 4= (n).

Pour cela il faut faire 4=1, c’est-à-dire, Æ\—1=—c(n); et si on représente par 1, À, 4”,..AG70 les {—1 valeurs de Z qui satisfont à cette équation, il est clair-que l'équation a"*—1—c/(n) sera équivalente

x" — 1 — (n) x" — A —"cH(n) x" — A" —= c(n)

et toutes les solutions de l'équation x"='—1=—c{{(n) seront ainsi partagées en. X groupes de chacun » termes, puisque,chacune des équations précédentes doit avoir.» solutions. |

(445) Appelons &, à, a”... arr, les m yacines de l'équation imdéterminée x° — 4’—@l(n)" Ces mêmes racines considérées comme exposans de » et transportées à l'équation X —0 , formeront le groupe de raCines correspondantes

(a), (&), (@).....(am),

que nous appellerons une:periode, et que nous désignerons par l’expres-

1| fl

LÉ

NET 12 à D à on ie

.e ÉcéBti

sion abrégée (m, a), où m est le nombre des téfmes de la période ; et &

Fexposant | d’ un de ses termes. 3 Sous ce point-de-vue, la totalité des racines “de l'équation Hs =Si0

forme elle-même une période de 7—1 termes, dont un terme est 7’

ou (1); et cette période peut se désigner par Et, 1) Ou (2—1, & Es æ étant un nombre quelconque non=divisible par 2.

Lorsqu'on faitn—1=mk, la: période totale (as , 1) ou (mk, 1) se décomposera en k périodes 5 m termes, dont une quelconque sera désignée par (m, æ). Mais il convient d'examiner plus particulièrement la formation de ces périodes.

(446) Pour trouver toutes les valeurs de Z qui satisfont à l’équation A\—1=c(n), j'observe qu'on peut faire. 4*= 8" — 9", ce qui-donnera /=—g"; et cette valeur élevée à ses puissances successives donnera toutes les autres, de sorte que les # racines de l'équation 4*—1 —/(n), seront De.

LS pm. RS 8.

Ces valeurs sont toutes différentes entre elles ; car sion avait # EE %5

il en résulterait gi D —1, Ce qui ne peut avoir lieu (445) ; puisque ‘

m(—) est plus petit que DE ou. n—1.

Les valeurs de À étant connues 5, Al sera facile de résoudre chacune des équations x°— 4=— cH(n).

Et d’abord l'équation x"— La) étant la même que...... a"—g"*— cn); on en üre.x=g". Soit donc kg", etes m Le de x dans l'équation x" —1= (7), seront.

Mer a; RS TES ER

On Poe ait d’ailleurs , comme. ci-dessus, gs elles sont toutes die rentes entre elles.

La seconde équation x — 4’ Mn): où l'on a 4 di donne x —=g , et dela les #7 solutions-comprenant le. second BFORPe

oo, gh, Di Da BR:

La troisième. x” — 4” —=cl(n), où l'on a d'=gr, donne pour les valeurs de æ composant le troisième groupe, De Bla She cghes el ainsi de suite.

CINQUIÈME PARTIE. : 445 “Revenant donc à l'équation X—=0, on voit que les racines formant a période (m, x) sont

(GE (4), Po ee

que les -nirdcines de: la seconde période (m, 8) sont

(g); (gh), (8)..4..(8r);

que les » racines deïla troisième période (m”,g*) sont

(eg); (gh)3, (g'h)es. CRT),

. . ’: pers É— .

et ainsi jusqu'à la période (w, 8"), qui comprend les racines. .,

(BEBE VO EE (er Poe uR MG Te

(447) La période (n—+1, 1) ou (mk; 1) comprenant toutes les racines de l'équation #0, se divise donc en # périodes de » termes, lesquelles sont :

(GTS de ge (mie. (ms ST);

el parce qu’ au lieu de r on peut mettre r° » OÙ parce qu on peut suppo= ser 4—g', ces À périodes péuyent aussi être ee par

(m, 4)5 (mere) (nm, don. (mn ape), æ étant un nombre quelconque non-divisible par 7.

Chacune de ces périodes représentée par: (1, 4) est composée. des termes (æ), (ah); en .. (ah); et comme cette suite estiréntrante sur elle-même ;‘puisqu’en omettant les multiples de 2, on à a4"— «il est clair qu’au Léa du terme (&), on peut prendre un térme. quelconque de la période, et qu’ainsi la période désignée par (me, «) peut l'être également par (x, ah), (m, ah), etc."

(448) Ayant ainsi-décomposé la Sbode (mk,.x) en k:pér de de »+ termes, dont une quelconque est (7, «), si ona m—»#, on pourra décomposer de même chaque période (#7, «) ou (r'K, ke en k’ périodes de m' termes. j 7

Soit x"— 4 —cl(n) l'équation idée dont Jes racines servent à former la période (m1, &) , de sorte que æ soit une des valeurs de x, ou qu’on ait a=—4 ; nous Commencerons par décomposer l’équation

| cf + |

indéterminée 2”"— A=,cM(n) ou a%"— 4—cû(n) en #: équations ‘de la forme x"— B —ch(n). | Pour cela il faut qu'on ait B“— 4=ch(n), ou pour abréger , :...: B"'—4=2"—4""; de là on tire B—a", ou plus généralement Ba" ; + étant l’une des racines de l'équation y“ —1= cA(n). Celle-ci donne; en omettant toujours les multiples de », yŸ =1=8" = gi = ges donc y = g"*. Es #4 Soit pg’—=2"*— 9%", et les % valeurs de 2” seront

ap On aura ensuite à résoudre les A équations

cH(n) cH(n)

age EE RE DE

a" = a" m m' DA — € S ls is — =. &" : 2

AE = angl) — cn) ;

et le groupe de racines provenant de chacune de ces équations servira à former l’une des périodes de #° termes, dans lesquelles se décompose la période (m7, æ).

(449) La première x" —a"—ch(n) donne x—«, ou plus généralement x=—=ày,7 étant une des »”° racines de l'équation y"”—1—c4(n). Gelle-ci donne, en omettant les multiples de », = 1 =g" ge donc y=g"#, Soit = g"=gtn:#", et les racines de l'équation … æw a" >= Mn), seront : |

dé ah oh Dh ED

La seconde équation x"— &"2’—ch(n) ne diffère de la précédente qu’en ce qu’au lieu de a" on a «"2’ ou 4"'2"*; ainsi il suflit de mettre ag* à la place de «, et on aura pour les racmes-de la seconde équation

ag', agh, ag'ht,.....,ag Re); celles de la troisième seront semblablement

2% K7 xp DMC ag, ag, age... se. ag" ha,

et ainsi de suite.

-: Donc la période (is a) ou (n'K, æ) se décomposera en 4” périodes de r»/ termes, savoir :

(nm, a), (mn, agt), (mn, ag*)......(nr, AOREUIT,

et l’une quelconque de ces périodes, désignée par (x, 6), contiendra les racmes

LE) COR) CGR ESS. ABRE D Li A

elle pourra être également désignée par (n', 6), (m', GR), etc.

(450) Maintenant les autres sous-divisions, s'il y a lieu, ne présentent aucune difficulté. Par exemple, si d'ona »m—m'k#", et qu'ou veuille de nouveau décomposer la période (#', a) où ("K, «) en k périodes de 7" termes, ces périodes seront, en faisant e— AK",

(ni, a), (n', aff) "(mt ne). RS Rates 100 ; et chacune d'elles, par exemple la période (m°, «), sera composée des

racines

(2), (aH), (a)... (@H°"T),

où l'on a H=g%-1:", Ainsi on peut directement'obtenirtes périodes sans recourir à celles qui précèdent.

(451) Soït pour exemple #— 19; comme 2 est une des-racines primitives de l'équation x'°—1—c{l{(r19) , onpourræfaire g—2. Si ensuite on décompose le nombre 7 —r=—18 en deux facteurs 6 et 3, on fera ni==0$ EEE; h= g"=8. La période (18, 1) contenant toutes les racimes de : équation X—o, se décomposera donc en trois périodes de six termes, savoir : (6,:1),.(6, 2) et (6, 4).

La mn (6, ) comprend les racines (1), (8), (8°), etc., lesquelles, par l’omission des multiples de 19, deviennent: (r), (8), (7), (18), (ui), G).

Multipliant les nombres ainsi réduits par 2, et omettant encore les multiples de 19, on aura (2), (16), (14), (17), (3), @) pour lesxacinés qui composent la période (0 27)

Enfin on trouve de même que les racines composant la période (6, 4) sont (4), G3), @), (5), (6), (10).

Ainsi les 18 racines de l'équation X# —0o sont distribuées entre les trois périodes (6, 1), (6,2), (6, 4), et toute période désignée par

(6, «) se rapportera à l’une de ces trois périodes, savoir, à celle-dans laquelle () est compris. Aïnsi on a (6, 3) — (6, 2), 6 #5) == (6,32)5 (G, 6) —(6, 4); ete.

(452) Si l'on veut décomposer ultérieurement l’une des périodes de six termes en trois autres de deux termes, on aura, d’après les formules du n° 448, m2, K=5, g—8. Donc la période (6, 1) se décompose en trois autres, savoir:,(2, 1), (2,8), et (2, 64) ou (2, 7).

Et pour avoir les termes dont chacune de ces dernières périodes est composée, il faut prendre h'=g"*—2=— 18, D'après cette valeur de ’, les deux termes de la période (2, x) seront (1) ét (18), ceux de la ol (2, 8) seront (8) et (11), et ceux de la période (2, 7) seront (7) et (12).

Décomposant de la même manière les périodes (6, 2) et (6, 4), on formera le tableau suivant, qui contient les-périodes’ de six, de deux et d’un seul terme, dans lesquelles se es te les racines de l'é-

quation À —0.

Périodes. k Périodes Termes

de six termes. de deux termes. simples.

(6, 1) : (3; 8) ( 8), (xx)