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| @, D |(D, 65) (6, 4) (2, 15) (15), ( 6) re ( 9), (10)

# (453) Tuéorëme. «Soient (m, &), (m, 6), deux périodes sem- » blables, où du mème nombre de termes », mais d’ailleurs égales ou

+.» inégales; si on désigne par /(r, «) et /(m, fa la somme des racines

» dônt ces périodes sont composées, et que le produit de /{m, a) par » f(m, 6) soit appelé IT, je dis qu'on aura

34 H=/(m, «+ €) +f(m, ah+6) Re ah 6) Hetc.

» (&), (ah), (&h°), etc: étant les différentes racines comprises dans la » période (m1, æ&)..»

. Eneffet, soit comme ci-dessus 2—1= mk et A—2*, on aura par ce

qui re (m, æ)—(m, ah) —(m, ak) , etc. On aura aussi.......

(ms 6) =\É)+ (6h) + (ÉR) + etc. Donc le produit Il peut se mettre

sous la forme

(6) J'(m, æ) + (6h) [(ni, ah) + (ÉR) [(m, ak) + etc., le dernier terme de cette suite étant COTE ah"). Mais puisque [Gn, a)=(a)+(ah)+-(ah)+ etc., et qu’en général (a) x(6)=(a+6), on aura OC», æ) = (a+46) + (ah+60) + (ah +6) etc. Développant de même cheue des autres produits partiels, on aura le produit tot ll

Ca HE) +Cah+e) RC +e) +... HAE CE) Æ (ah + Ch) + (ah + Ch) + (ah HR) +... 4 ah" Ch) + (ch + CP) + (ah + CR) + Cœhf + CR) +... Cam RE CR?)

(RMI LCR) Re (ah CRM) JE (ARMELLE) Le, Hahn Cp),

Prenant la somme des différentes colonnes verticales qui donnent chacune une, même période, on aura le produit cherché à

RÉ Je a+-6) + [(m, 4e) + f{(n, ah4€).... + +, der

(454) Voici maintenant quelques corollair es BUS aux qui se dense de cette proposition.

I. Les différentes parties dont le test IT est composé se réduiront toujours soit à l'expression /{”1, o) ou /(m, n) dont la valeur est 77, soit à quelques-unes des quantités /(mn, 1), /(m, 8) J{m, g°) etc. Donc on aura toujours

U— am [(m, 1) + a [(n, g) vus dm, g°) + etc.

les coefliciens a, a!, a”, etc. étant des entiers positifs ou zéro.

Il. À étant un entier quelconque , le produit de f("», ia) par AP, je) sera — /(m, iati€) + f(n, iah+416) Æ [(m,.ial+i6) + etc.; ce même

roduit s’exprimera donc aussi par P

TE — am +- DU i) + a" fn, ig) + a” f(m, 18°) + etc. Li,

a || J|l ou :

SAMI II IL eV

If. Le produit de deux quantités de la forme f'(m, æ) pouvant toujours se réduire à la somme de plusieurs quantités de la même espèce, il est claix que le produit d’un nombre quelconque de quantités de cette forme , et par conséquent aussi leurs puissances etles produits de ces puissances se réduiront toujours à une forme linéaire telle que........ Am An, 1) + 4'[(m, g) + etc. , les coefliciens 4, 4’, 4", etc. étant des entiers ‘positifs ou zéro.

IV. Donc si une fonction F est composée de plusieurs termes de la

forme Méalv", etc., où NV est entier, et, u, », etc. ‘désignant les quantités J{m, &), [{m, 6), [(m, y), etc.; cette fonction se réduira toujours à la forme 4 + 4" [(m, x) + 4"[(m, 8) + etc., les COGHCRERS" Æ, A!, A", etc. étant pareïllement entiers.

Si ensuite, au lieu de t, 4, », etc., on substitue /{m, a) ; J(m,16), J(m, ty), etc: respectivement, le résultat formé avec les mêmes coefliciens, 4, 4’, 4”, etc., sera À Æ A’ [(m, 1) + A'[(m, ig) + etc. Car le Changement dont il s’agit se fait en substituant simplement 7° à r, puisqu’alors toute racine désignée par (z) devient (1&); il faut seulement que 1 ne soit pas divisible par ».

(455) Tuéorime. « Si l’on considère comme donnée la "quantité » {(m, «)=p, je dis que toute autre quantité de la même espèce /(m, 6) » se déterminera rationnellement parle moyen dep, de sorte qu’on aura

» S{n, = A+Ap+ApÆ... HA,

» À, A’, A", etc. étant des coefliciens rationnels. »

Désignons par p’, P' , P', etc. les quantités /(m, ag), [(m, 48°), J(m, ag*), etc. respectivement; parmi ces quantités se trouvera nécessairement /(m, 6), dont on cherche larvaleur.

La somme des racines de l'équation À — 0 étant — 1, on a pour premiere équation

0 —=1<p+p +p"+ etc.

Si ensuite par le théorème précédent on développe les puissances successives p°, p°,...p"", pour les réduire à la forme linéaire , on aura 4— 2 autres équations de la forme

A ET Re + etc. - PEN P RER IpIE RE PIE TERP + etc.

pi = cm + cp + cp + cp" + etc:

etc. ‘re où les coefliciens doivent être des entiers POS UE ou Zéro.

Au moyen deces k—x paons; il est clairqu'on pourra déterminer les 4—1 quantités p’, P'; p', etc. en fonctions de p, et la valeur de chacune sera de la forme 2 4'p+ 'p.. AGPEEt, A, A,

A”, etc. étant des nombrés rationnels.

C’est ce qui aura.lieu nécessairement par la nature des équations linéaires , à moins qu'il n’y ait dans le probléme une indétermination fondée sur ce que l’une des équations ci-dessus serait une conséquence des autres. Mais comme elles contiennent dans leurs premiers membres différentes puissances de p, nulle de ces équations ne pourra être une conskquence des autres, à moins qu'on ne suppose qu'entre les quantités p, p'5peic., il existe une relation telle que 0o=f4-fp+-f"p +. SR A: Or cette relation ne peut avoir lieu.

En effet, les équations qui donnent les setus linéaires des puissances p*, p’, etc: donneraient également celles des puissances de p’,p", etc., puisqu'en général si une fonction entière de f(m, æ&) est........ A+ A'[ (mn, x) + A'[(m, g).+ etc. , une semblable fonction de /{n, iæ) sera À + A'f(m, 1) + 4" (m, ig) + etc. Donc l'équation qui déterminerait p, savoir : 0—=/f+f'p +f'p.. .ÆfGTOpITt, conviendrait également aux autres quantités p’, p’, etc.; elle devrait donc être du degré Æ et non du degré *—+1, ou d’un degré inférieur.

Si on objecte que parmi les quantités p, p', p’, etc. il pourrait y en avoir qui fussent égales entre elles, je répondrai que suivant la marche ordinaire de l'analyse, l'équation en p n’en devrait pas moins être du degré Æ, mais qu'alors elle aurait des racines égales.

Au surplus, il est facile de faire voir par une autre considération que deux des quantités p, p', p”, etc. ne EE pas étre En entre elles. En

effet, p désignant une somme telle que x x Pa x” LE etc., et p” une

€ a . » £ Lé somme semblable x x etc., si ces deux sommes étaient -égales il faudrait qu'on eut 4 4

a g K Eee (a x Ha Ha etc. 0x —X —X mêéC=0, -

les nombres a, 6, a”, 6,etc. étant positifs et plus petits que 2—1. Donc il faudrait que Te premier membre de cette équation eût un commun diviseur avec la fonction X, et ce commun diviseur serait nécessairement rationnel, ce qui a été démontré impossible (n° 440).

(456) Exemple. Soit comme ci-dessus 7=19, m6, #5, nous

LOS OS SPIP AE RRe ve es TETE