CINQUIÈME PARTIE. 453 sont les racines de l'équation
RE Peri0p 0,
Cette équation est du troisième degré et ne souffre aucune réduction,
mais elle jouit de cette propriété, qu'une de ses racines p étant trouvée,
les deux autres p’ et p" s'expriment rationnellement au moyen de p.
Toutes les équations que nous aurons à considérer dans la résolution : de l'équation X —0 jouissent, de la même propriété.
(457) Tuéorème. « Soit @ une fonction invariable et entière des » racines (4), (æ’), (&4'), etc. comprises dans une méme période (m, &); » je dis que @ sera toujours réductible à la forme B + B'f{(m, 1) » Æ+B" (nm, g) + B"[(m, 8°) + etc., où tous les coefliciens B, B',
» B”, etc. seront entiers. »
Nous appelons ici fonction invariable des quantités s, £, u, etc. toute fonetion qui ne change pas par une permutation quelconque faite entre ces quantités. Tels sont les coefliciens de l'équation qui aurait pour racines les quantités s, #, , etc., et une foule d’autres fonctions.
Cela posé, la fonction dont il s’agit, comme toute autre qui ne serait pas invariable, mais dont les coefliciens seraient entiers, se réduira toujours à la forme 4 4'(1) + 4"(2) + 4"(5) + etc., où 4,4", 4°, etc. seront entiers (n° 458). Il s’agit donc de faire voir que dans cette valeur développée, les différentes racines d’une même période (#», 2’) ont des coefliciens égaux, car alors les termes dépendans de ces racines auront ‘pour somme /(m”, £*) multiplié par le coeflicient commun.
Soient (6) et (>) deux racines d’une même période; en faisant... gATim— h, on aura y— 6h", h' étant une puissance donnée de .
Si dans l'équation
p [(a), (a), (a), etc.] = 4+ 4'(1) + 4"(2) + 45) + etc. on met æh° à la place de &, le premier membre restera toujours le même, puisque la suite (æh°), (æ'h°), (a'h‘), etc. ne diffère que par l’ordre des termes, de la suite (æ), (æ'), (a), etc., et que l'ordre est ici indifférent. On aura donc par cette substitution
[(a), (a), (a), etc]=4+ 4 (h) + 4'(oh) + A"(BR) + etc. ;
d'où l’on voit que dans'le développement de la fonction o deux termes
re OR ES F o ER ne as éme dt nrabi gg A CA M2 2 M me a
454 - THÉORIE DES NOMBRES, tels que (x) et (H‘); (2) et (24°), et en général (6) et (62°) ou (6) et (>) ont des coefliciens égaux.
La fonction @ pourra donc toujours se réduire à la forme....., B+ P'[(m; 1)+B'[(m, g)+etc., où tous les coefliciens sont entiers. Ainsi cette fonction sera connue si on connaît toutes les quantités /{m, 1),
[{n, g); fm, g°), etc.; dontde nombre est k.
(458) De là il suit encore que la même foncüon des racines d'une autre période (m,iæ), sera exprimée par la suite: B + B°/f(m, i)
+ B'[(m, ig).+ B"[(m, ig*) + etc., qui contient les mêmes coeflicrens
B, B', B', etc., et qui ensuite s’ordonnera, si l’on veut , de la même manière que @. ;
Comme ce corollaire est Miméme un théorème très-remarquable À il ne sera pas inutile de le démontrer par une autre voie qui d’ailleurs est propre à faciliter les calculs quand on en vient aux applications.
Toute fonction inyariable et entière des quantités #, 5, u,v, étc. se détermine d’une manière rationnelle, si on connaît la somme de ces quantités, la somme de leurs quarrés, et en général la somme de leurs puissances de même degré. Or les racines composant Ja période (7m, æ) étant (a), (æh), (ah°), etc., la somme de leurs quarrés est (24)-+ (22h) (ouh) +etc., laquelle se réduit à / (n, 24). La somme de leurs cubes se réduirait de même à /(7», 34), et ainsi de suite. Comme d’ailleurs les produits de ces quantités peuvent se réduire à la forme linéaire (n° 454), il s'ensuit que toute fonction invariable et entière des racines contenues dans la période (77, &) s’exprimera rationnellement par la formule ME M'f(m, «) M'f(m, 24) etc., ou, ce qui revient au même, par la formule B + B'f{m, 1) B'f{m, g) + B"f{m, g°) + etc. ; mais de plus on voit par la démonstration de Particle précédent, que les coefñiciens BP, B’, PB”, etc. devront être entiers, si tous ceux dés termes de la tonte ® le sont. :
(459) Soit proposé, par exemple, de trouver la somme des produits deux à deux, trois à trois, etc. des racines (æ), (&'), (æ*); etc. comprises dans la période (re, &); on fera V’=—/(m, à), V'=f{m, 22), V'=/{m, 54), et désignant les sommes cherchées par f(aa”), f(aa'a"), etc., on aura pour déterminer ces sommes les équations :
mp
CINQUIÈME PARTIE. 455 S(a) = 2f (au) = (a) — ’ Sf(au'a) . = (ax) — Va) +4
4f Mae = Af(aa'a") — V'f(œa) Æ Aa) — 4
Au reste, toute fonction rationnelle et entière: des racines («); (&/), (4), etc. devant se réduire à la forme 4 + (1) 4"(2) + etc., dont tous les coefliciens sont entiers, il faudra pareïllement que: les valeurs de fax”), f{aa'a"), etc. déduites des équations précédentes, ne contiennent aucune fraction dans leurs coefficiens.
Au moyen des quantités /{m, 1), /(m,g), fan, g°),-etc. supposcées connues par une équation du degré 4, on pourra donc former l'équation qui a pour racines toutes aie qui Ar RO une période déterminée (1, «). Car en représentant cette équation, qui est du degré », par... 2 — Pa" LE P'amrt P'xms LE etc. — 0:, on aura
y (e) jme), P'= (ax), P'=— faux"), etc.; de sorte né les coefliciens de cette équation seront Connus au moyen des quantités [/, 4”, 4”, etc., ou, ce qui revient au même , au pet des quantités f(m, 1), /{m, 8), Un, 8° ):5. etes
On peut observer de se que la dernière des quantités P, P'; P', etc. sera toujours égale à l'unité; de sorte que le dernier terme Fe PS dr sera + 1 si est pair, et —1 s'il est impair.
En effet, le produit des racines comprises dans la période (77, &) est
(ta ah cs ah®....+ ah"): or le nombre compris dans la parenthèse
nd, = = = ch(n) ; donc le produit dont il s’agit = (o)= 1.
(460). Exemple. n étant 19, cherchons l'équation qui contient les ra- .cines de la période (6, x). Pour cela nous férons comme ci-dessus JG, 1) = p, /X6,2) = p', [(6, 4) = p', ce qui donnera d/—»p, VE, 27’, V'=/(6, 5)=p", = /(6, 4)=p", V'=/(6, 5)=p", À"=/(6, 6) = p". Soit donc l'équation cherchée
RS Pas + P'at — P'as + Pat — Pret P'=0; on aura ARS 2P'= pP = p = 6 + 2p + 2p" 3P°"= pP'=pP+ p = 6% 6p + 3 4P°E pP'—p'P' pl pe 12 + 4p + 4p';
