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d’où résulte P—3+p+p", P'= 2 + 2p +p', P°—= P! on trouverait de même P"—P et P'—Y+. En effet les racines comprises dans (6, x) étant r', 77,78, 70,7, r'8, si on met 7" à la place de r, et qu'on les multiplie par r'°=—7, énés deviennent r',r", 7, r$,r7,r!; c'est-à-dire qu’elles sont toujours les mêmes ; d’où il suit que l'équation en x ne

doit pas changer en mettant = à la place de x.

(461) La même propriété aura lieu en général toutes les fois que 7:

2 : - 2 & ah ah sera pair. Car les racines comprises dans (m,æ) étant 7 , r , r , etc., si on change r en 77’, elles deviennent

—2 © —uh ah —2h" À HS REA HT ; 71—1 Mais la racine primitive £& est toujours telle qu'on a £g ? =—1; donc 5 q ; uk

si m est pair et qu'on fasse m—2p, On aura g ——1,Ou = — 1,

La suite précédente pourra donc s’écrire ainsi :

eh” ah HS SEA APE 4 SHICiCS:

c’est-à-dire qu’elle contient les racines (ah ) CR (ah+®), etc., lesquelles ne diffèrent que par l’ordre des termes, de la suite (æ); (ah), (ak), etc.

Lorsque "2 sera impair on ne pourra plus mettre = - à la d der,

c’est-à-dire que les coefliciens de deux térmes ddléient éloignés des extrèmés ne seront plus égaux ; mais l’un se déduira aisément de l’autre. Soit l'équation dont il s’agit

a Par Par P'ars.., A Q'as —Q'x + Qx — 1 = 0;

je dis que Q se déduira de P, Q’ de P", Q" de ?”, etc., èn changeant simplement chaque quantité f° es 6) quiy est contenue, en sa ROME mentaire /(m, n—6).

En effet par le changement de ren 77’, ou de x en x", les racines

4 ah ak : Ë —& ah —2h re ris 3-etésdeviennent toujours r 57: ;: 7 , etc.; et à

cause de r"—1, celles-ci pouvant être mises sous la forme Ti—t (n—2)h: (n—&) h° à 7

r , 5 HÉLC.S

*CINQUIÈME PARTIE. . 457 et alors on voit-qu'elles appartiennent à la période (m, 7 —a). De plus on peut toujours supposer z—a@—ag, puisqu'il suffit pour cela .de prendre i=—+(7— 1); donc la période précédente devient (m, æg').

Soit donc pour la période (m, «) le coeflicient P—a+«f(m, à) + af, ag) + a"f(m, ag*)+ etc. : si on change «& en ag', on devra avoir Q — aa fn ag") + a'f{m, ag) +Ha”f[(m, ag'**) Hetc., ou, ce

qui est la même chose,

Q=a+ a f(n, n—2) + d'f{, n—2g) + d"f(m, n—ag*) + etc.,

car en supprimant les multiples de 7 on a n—4—ag, n—29—ap*", etc. Donc chaque terme a/(m,6) compris dans la valeur de P, devient af(m, n—£) dans la valeur de @:; il en sera de même de deux autres coeñliciens tels que P'et Q’, P'et Q”, etc.

‘ Gette proposition a Cg#ement lieu lorsque 72 est pair; car alors L période (m, æ) estla même que (2, n—a). ASE OA — 0-0 P=9 etc. 2 et l'équation en x est de la forme

nm Pr P'ar: — + Pa — Px + 1 —o.

(462) Dans l'exemple de l’art. 460, on a trouvé que les six racines de la période (6, 1) sont déterminées par l'équation oO 2 — pr + (5+p+p'hxt — (24+2p+px Hi pe + (G+p+tp)x;

si dans cette équation on change p, p',p" en p',p", p, respectivement, on aura l'équation qui donne les six racines de la période (6, 2),

o— à — pa + (5+p+phat — (2+2p+p a Hi — px + (5+p-+phr;

enfin celle qui donne les six racines de la période (6, 4) sera semblablement :

o—= 2 — pa + (3+p'+p'hxt — (242p'+pxs ir — px + (3+p'+p'x:

ces équations, à cause de leur symétrie, se réduiraient au troisième degré, en faisant x°+1=—xy, ce qui revient à décomposer chaque période de six termes en trois de deux.

Si on joint à ces équations celle qui détermine p,p', p', et qui est : ñ

p°+p°—6p—7—=0, on aura tout ce que l’analyse peut. offrir de plus simple pour la résolution de l'équation x'° —:1=—0 ,1ou pour la division de la circonférence en 19 parties-égales. Et comme on peut se borner à la résolution de l’équation qui regarde la période (6, 1), puisqu’une racme suffit pour délerminer toutes les autres, on voit qu’en conformité de la proposilion générale (n° 441), la division du cercleen 19 parties'égales dépend de deux équations du troisième degré, ce qu'indiquent les facteurs 2°.5* du nombre 19— 1.

(463) Ayant détermmé, comme il a été dit ci-dessus, les quantités Sn, 3), [{m, g), [{(n, g*), etc. qui résultent des Æ périodes dans les-

quelles se décompose la période totale (n—1, x), ou (n£, 1); supposons m=—nk"; chaque période de 7» termes, désignée par (1,4), se décomposera en # périodes de » termes, savoir :

(m, a), (m', ag), (mn, ag)......(m, ag"),

où l'on à g’—g— gi"; et l’une es de ces périodes, désignée par (7, 26). contiendra les termes

(6), (6K), (EN) AREA .(ÉRT D) à où l’on a Apt — 9m Dim, Cela posé, désignons par 1,s,u, etc: les quantités /{m'; a), /(m', ag”), J{n', ag°°), etc. respectivement, et soit ® une fonction rationnelle et

entière des quantités {, s, u, », etc., ou de quelques-unes d’entre elles, cette fonction pourra se fire e à la forme

A ae A'fn', 1) + Afn,8) + Ar, 8 RS EC im) k

où les coefhiciens sont entiers. C’est-ce qu'on démontrera comme au n° 457, attendu que chacune des quantités 4, s, u, v, etc. désigne, une somme de racines entre lesquelles la permutation peut avoir lieu, et qui ne doit pas changer en mettant (&h’*) au lieu de la racine (a).

(464) THÉ ORÈME. « Les mêmes choses étant supposées que: dans le » n° précédent, si on suppose ,-de plus, que 9 est une fonction invariable » des quantités £, s, u, v, elc.,.ensorté qu'une permutation quelconque »entre ces AAA r'appoile aucun changement à la fonction @;je dis

DRE RE RE AR PR RE She md éme ie Sr

CINQUIÈME PARTIE. 459 ÿ que la valeur développée de cette fonction sera de Ja forme

# B + B'J{n, 1) Le UNICA 8) + Bftn, 5 *). + + BOT, Be) » Jes cocfficiens B,, B', B", etc. étant des entiers.»

En effet, les périodes {x', «), (mr, 28°), (m', ag'*), etc., dont la péiode (rn, «), ou (m'k, «) est composée, restent lès mêmes en mettant ag'* à la place de «. Donc dans la Me développée 4+ 4! Jo, 1) +Af, g)+ Afin, g°) Æ'ete., l'un des termes /{w/, 8) doit avoir le même coeflicient que le terme /{w', 08 ‘), l'exposant e étant à volonté. Mais en donnant à e les valeurs successives 0, 1, 2, 3...k—1, la période (#1, 02‘) donne successivement toutes les HéteUes partielles comprises dans la période totale (”#, 0). Donc toutes les quantités /{#', 8), fm, 88°), f{m', 02°), etc. ont le même coefficient dans la valeur de ®; donc cette valeur se réduit à la forme

l B+ P'f{n, x) + AIG £) + B'fm, g*)....—+ BO fm, 2°),

où tous les coefliciens sont entiers.

(465). Si dans le résultat du n° précédent on met z4 au lieu de æ, on en conclura que toute fonction invariable . et entière’ des quantités JG, iaY, S(n';'iap"), (nr, 1ag"®) "ete, formées repré ès les diverses périodes DiRtoNES (n, ia), (m', tag'), (m', iag*), etc. qui composent la période totale (m'#, i&), aura pour valeur B + B'f{m, 1) + B'[(m, 19) + B"J{m, ig*) + etc, les coefficiens B, B', B", etc. restant les mêmes, quel que soit +

Donc si on connaît la somme des racines dans chaque période de » termes, c’est-à-dire, si lon connait toutes les quantités Jin, »), Jon, g), fn, g s), etc., on He facilement léquation qui a pour racines les sommes semblables dans les diverses périodes de z/ termes qui composent une période déterminée. (»,.4), ou (#'K', 4). En effet, les coefliciens de cette équation sont des fonctions invariables et entières des sommes inconnues, et par conséquent pourront s'exprimer au moyen des sommes connues /{m,1), /{m, 2), etc. Et l'équation qui a lieu pour la décomposition d’une période (1, «), a également lieu pour la décomposition de toute autre période semblable (77, iæ); puisqu'il suffit de changer chaque quantité /{r, 8) en /{m, 19), pour passer d’une équation à l’autre.

(466): ‘On pourra suivre la méme méthode pour trouver l'équation

APN ITS A RONES