CP DAC PO ENREEAPREE

(470) La période (8, 1) se décompose. en.deux périodes de uatre termes (4,:1).et (4, 5°); de, même la période (8, 5).se décompose en deux. autres (4, 3) et (4, 3°). Ces périodes, rangées par ordre de formation, avec les racmes contenues, sont :

(SH). 1219 (13) 110); (4) j

(hs 10): 20); (1) C7) (6). :

Soit donc (4, 1)=9, ACT 5)= 4", AC 9) TE gs ACT 10)=—9"",

on aura

D PL NE ee J HIT Ph 99e — 1,

#2 RLEAOS x 9 os Qt D a D D D 0 on

d'où résultent les équations

(eg) (ag) = xt prit (age) = at — pa — 1; avec lesquelles on déterminera g', g", g'; g'".

(471) Chaque période (4, «) se décompose en deux dedeux termes ; or celles-ci forment la suite (2, 1), (2,5), (2, 9), (2, 27) ou (2, 10), (2, 30) ou (2, 13), (2, 39) ou (2, 5), (2,15), (2, 45) ou (25 11). Soit donc fe, D=t, JB 9)=r, Je =, Ja, 10) ana) Es Vaso) a 10) DE fout)

on trouvera dela même maniere :

Yiiu

HE = gs LU = qu (el) (a = 227 dE Hume gl" = g", (at) (x ) = x —g'x + q PR PE QE iQ, (RE) (a) = gate qu PUR UN qu OU go, (ae) (a) = a gx + g Enfin connaissant chacune des quantités £ ouf(2, «), on connaitra les deux racines contenues (æ) ; (n— 2), par l'équation

—ix+i1—=o.

(472) Lorsqu'on connaît une seule des racines (&), onen déduit toutes les autres.par les puissances successives de celle-ci ; mais lorsqu'on descend des valeurs de p à celles de de £et enfin de (x), il est à craindre

2 2 qu’on ne commelte quelqu’erreur , à cause de lambiguité que présentent les solutions successives. Dans les exemples particuliers , on pourra évi- , P ter ces erreurs, au moyen des formules connues des sinus. En effet 2 3

2RT : 2 \ posant Tam Hi peut prendre laracine (1) —cos®-y/—1 sine,

et de là unc racine quelconque (m) = cos me + /—1 sin (me), et la somme de deux racines réciproques lune de l’autre (m) + (a—m) — 2 Cosn>. On obtient amsi les diverses valeurs de #{, savoir :

ca 2 COS®, Ly=-2C0S 30,2) ii 200500,&: LY —,2c057œ

Î —,2 005130, 2cos Dons, saicosa bas. dE 2 C0 110

mer

Ces valeurs substituées dans celles de 9’, g”, 4", g"', donnent ï

g —=2cos © + 2c0513® — 4cos6w cos 70, q" —= 200539 + 2c0s D» — 4cos © cos 46, q“ — 2c0509% + 2c05 15% — 4cos 5w cos 126 ,

g'"=:2c05 70 + 2C0S11®© = 4COS 20 COS 0.

Enfin on conclut de celles-ci :

si p' = 4cosG» cos 70 + 4cos 30 cos 120, p' —4C0s & COS 4® + 4COS 2 COS 00.

(475) Ces diverses ‘équations ont lieu sans supposer aucune valeur par- SRE ; TR. 27 es ; ticuhière à k; soit A=+, ce qui donne DES alors on reconnaît immé-

diatement que g° et g° sont positifs , g” et g'* négatifs; qu’enfin p' est positif et p° négatif. Ces signes suffisent pour diriger la solution de manière à éviter toute ambiguité.

En effet , puisque p’ et p” sont les racines de l’équation x*+x—4—0, on aura d’abord

pP=—i+iVig, p=—i—E Vi: Ensuite l'équation qui donne g' et g” étant x? — px —1=0, on en tire g=sP+VGP +1), | f'=sp = V(P? +1).

A l'égard de g", il se déduit de équation x°— px — 1 — 0, et puisque g" doit être posiuf, on a d'=ip + VGPi Hi).

On pourrait aussi déterminer g” par le moyen de 9 et °, car on a l'équation 9° = 4 + g” + 29", laquelle donne Ga PT) VRP ET = (P ET)

Connaissant g et. 9”, on aura {el £" par l'équation #— yt+g—0, laquelle donne 4= 9 + y(%g*—g"). Ces deux racines sont toutes deux positives, puisque g' et g” le sont ; et en effet, on a “ —2cos0, £ — 2005 13 — 2C0S4# ; mais Comme la séconde est évidemment la

nes PR diner FR en D a me nm ne - ae ut an LEZ ——— 2h a een E 4

| GINQUIÈME PARTIE. : 465 ‘plus petite, on aura

D'ailleurs cos 40 — cos = sin. Donc enfin la division de la cir=

conférence en 17 parties égales s’exécutera au moyen de l’une ou l’autre

des formules CRAN Fe

cos 4 9e V (79)

DRE ANS ET 1 rt 7\. nr = ra (499); et on peut remarquer qu’il suflit de trois extractions de racines , savoir v17, V(Ep® +1), V(Gg°—dg"); pour parvenir au résultat. 74). Par ces exemples 1l &st manifeste qu’on résoudra généralement T4 P qu SE l'équation X— 0, ‘en la ramenant à des équations de degré inférieur ,

.de sorte que ssonanz—1— 2357, etc., la résolution s'effectuera

moyennant « équations du deuxième degré, 6 du troisième, + du cinquième, etc.

Comme z— 1 est pair, on pourra toujours diriger le calcul des sommes de racines , de manière qu’on finisse par la détermimation des racines contenues dans chaque période à deux termes (2, æ). Ces racines étant (z) et (72— a), leur somme est réelle et de la forme 2cos m» ; d’où il suit que les équations précédentes qui déterminent les sommes de différentes périodes, "auront toutes leurs racines réelles. On opérera donc de cette manière sur des quantités toujours réelles, excepté dans la dernière opération où, pour distinguer chaque racine (&) de sa réciproque (7— «) , il faudra résoudre l’équation x° — 2x cos (aw) +1 —0o dont les racines sont imaginaires. Lorsqu'il est question de la division de la circonférence , cette dermière équation devient mutile ; ainsi il ya une équation du second degré de moins à résoudre, et on peut éviter entièrement les racines imaginaires.

Les principes que nous avons développés sont tels, que le succes des calculs ne peut laisser aucun doute. Aïnsi se trouve établie une trèsbelle théorie concernant la division du cercle , ou la résolution de l’équation x"—1—=0.

(475) Pour faire une application de cette théorie ; nous nous propo+

| d || La nl £ 2} m1 sil 4 F

PA Er

Ls - RTS RD À communs suis

serons de décomposer généralement l'équation X = 0.en deux autres du degré (7—1), ce qui conduit à un théorème très-remarquable.

Soit 7— 1— 2m, la période (2m, 1) contenant toutes les racines de l'équation X — 0, se décomposera en deux autres périodes (m, 1),

(mn, g) ; et Bis ne 1)—=p!, f(m,g)—=p", on aura don + p"

= /(2m,1)=— 1. Ensuite comme on a

Jn,8) = (8) + (8) + (e)+ (eg),

le produit de cette quantité par /(77, 1) sera, suivant le théorème n° 455

pPp'=f(m, g+3)+f(m, 8 +3) + f(m,g +)... + f(m, gr).

Comme il n’y a que deux périodes de la forme (», «), savoir (m, 1) et (mr, g) , auxquelles il faut joindre l'expression (#7, 0) qui n’est pas propre” ment une périqRe, mais pour laquelle.on a /{mn, 0) —1m, il s'ensuit que la valeur de pp" se réduit à cette formæ

PP = Am + A'p + 47.

Pour déterminer les coefliciens 4, 4’, 4”, observons 1°. que p’ et p” pouvant être échangées entre elles, on a 4°= 4"; 2°. que le nombre des termes /(mn, g+ 1), f(m, gx), etc. qui composent la valeur de pp" est m, et qu'ainsi on doit avoir 4 + 44 4"= m. Par ces deux conditions on aura pp 4m + 4'(p+p") = Am — A’ et A+ 24 —1m. Il faut maintenant distinguer deux cas, selon que m est pair ou impair.

. Si m est impair, comme on a toujours 9" =—— 1, c’est-à-dire g” Là 1 —ch(n), il y aura nécessairement dans la suite 1 +8 1-2", z Fe etc. un terme — 0, et il n'y en aura qu’un. Car si on avait une autre puissance g°—— 1, il résulterait des deux g"—*— +2 1, ce qui ne peut avoir lieu, g étant une racine primitive. Donc alors on aura A1, A'—E(m—:), et PP" = }(m+ 1), 2°. Sim est pair, ayant toujours g®— — 1, on ne pourra avoir en même temps g‘——1, e étant un nombre impair; Car il en résulteraït g‘T" ou g"T*— 1, ce qui ne peut avoir lieu. Donc alors on äura 4—0, d'=EMIEUPp = 2m.

U suit de là que l'équation qui a pour racines p' et p” sera....... p°+p+i(m+ 1) —=o, si m est impair ou z de la forme 4:+ 5, et qu'elle sera p°Æ p—ïm=0, si m est pair ou z de la forme 41+ 1.

CINQUIÈME PARTIE. 467 Donc on aura ù FIV (—n),sir est de la forme 4i+3, : Vu , Si 2 est de la forme 4:+ 1.

(476) Soit 2 — ax" bar — ca" + etc. — 0 l’équation qui a pour racines ie celles de la période (m, 1), on aura le coefficient a —=f[f(m, 1)—p'; quant aux autres coefliciens, c, etc., leurs valeurs se trouveront par CL méthode du n° 459, et ces acts seront toujours de la forme B + Bp'+ B'p", les cocfliciens B, B°, B” étant des entiers.

De là on voit qu’en faisant

Z = 2 — QT Da x" TS Re etc.,

‘le polynome Z se réduira à la forme Z = P + Qp =: y", où P, Q, R désignent des fonctions de x dont les coefliciens seront des entiers déterminés. :

Si on considère pareillement la fonction ZL'= 2 — d'a LE b'amrs — cam L etc.,

laquelle égales à zéro, donne toutes les racines de la période (m», 9), on aura

Z’ = P + Qp + Rp’.

Il faut mamtenant substituer les valeurs de p' et p”, ce qui donne deux cas à examiner.

1°. Si z est de la forme Ai + 3, on aura p=—;+ip—x,

p=—i—;vy—n, ce qui donne

Mais ZZ’= X ; donc, dans ce cas, on a

LA GP—Q— BR) +n(Q—Ry.

2. Six est de la forme 45 1, les. valeurs de p’ et p” sont les mêmes au signe près de 7; on aura donc alors . :

d’où résulte ce théorème très-remarquable :

CARRIER IONNSS TE

« nm étant un nombre premier quelconque, et la fonction X étant » le quotient de x"— 1 divisé Par x — 1, on pourra toujours trouver » deux polynomes F'et Z, quisatisferont à l'équation 4X = Y*ænZ*, » le signe supérieur ayant fes si z est-de la forme 4:53, et linférieur » si est de la forme 4:+ 1. »

Il serait très-difficile de démontrer ce théorème sans le secours ‘de l'analyse indéterminée ; d’où l’on voit que cette analyse n’est pas bornée aux spéculations sur les nombres, mais qu’elle est utile au perfectionnement de l’analyse algébrique.

(477) Sachant ainsi 4 priori que la fonction 4X peut étre mise sous la forme F°Æ 727, il est facile de trouver les valeurs de Yet Z dans les différens cas. Pour cela, on peut extraire la racine quarrée de 4X, d’abord par la voie ordinaire qui donne les deux premiers termes 2x" x"; puis, pour Continuer l'opération, on ajoutera au premier coefficient de chaque reste le plus petit multiple de, positif ou négatif, qui rendra possible la division par 4, ce qui donne un nouveau termé à la racine. Lorsqu'on sera parvenu aux termes qui occupent le milieu du polynome 2x" + x": Letc., l'opération sera terminée, parce que les coefliciens sont égaux à égale distance des extrêmes; de plus, ils ont le même signe lorsque » est de la forme 4: 1, et des signes différens lorsque 7 est de la forme 41 + 3. So FY°, on aura Z par V Meet

équation Z°=— ar

Par ce moyen, l'équation X—0 sera décomposée en deux autres da degré m, F+Zy(n)=o, F—Zy(-n)—=o; décomposition d'autant plus remarquable, qu’elle n'aurait pas lieu si 7 n’était pas un nombre premier.

(478). Il y a une autre manière de trouver directement la fonction F, d’après l'équation F? Æ nZ° —4X.

Si on rejette les multiples de 2, on aura F=2V/X:0or À —

am 1 —\#

LAN 1 AE L Re C ne) G —-) 5 donc VA A (s —2), (:— æ). !

Mais comme dans la valeur de F on n’a besoin que des puissances

à : : : HN entières de x, il est clair qu'on peut supprimer le facteur(x — #7)

Er CR a eee - de — i— e ne S

qui n’a d'influence qu après les pense x", pose on:aura simplement

F = 2%" EG in aix ar +7 pe 2 axmT4 etc.

Fe SE = 5.5 4? 4. 2:61% 4.6.8?

bres entiers , au moyen des multiples de 7 : qu ‘on est censé avoir négligé, et qu’il faut rétablir dans les numérateurs pour rendre la division possible par les dénominateurs. Au reste chaque coeficient servira à former le

Il restera à donner aux at t one à etc. une valeur en nom-

£ : 420 c suivant; Car si, par exemple, Ce) se change en un entier k, la

fraction suivante (ee

(ÉÈTS 2) devient (a )}e et si elle n’est pas dejà un entier, on la rendra telle, en ajoutant à son numérateur 94, le multiple convenable de », le plus petit possible. e

Soit, par exemple, z2—17, on trouvera de la manière suivante les valeurs des différens coefficiens fractionnaires :

Gare;

(£ 2) — CS 5 — 25 UE, ÉD CD = mi CCE

On s’appercoit par le terme 7 déjà trouvé avant Je , que celui-ci

occupe le milieu de\la fonction Y. En effet on a par les coefliciens trouvés

1 20 Le 207 4 Bof pars Æ at pat Bar x 2 2.

F étant connu, on déduira Z de l'équation 17Z°= F°— 4X, laquelle donne

Z = x! + 2f + 2 RE arf 28 2 2° LE x.

On trouverait semblablement pour le cas de 7 = 19, Fo 209 + 28 — 4x LE Bat Das — Bat — BAS 4x — x — 2 ; et pour le cas de n— 29, = 224 208 Bat — Bat 20 2H8 Le 5x8 + Où, 2 x 8x 5x he xt mu 220$ 2 Bart,

des | à | c] À a À

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