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470 THÉCRIE DES NOMBRES.

(479) Soit maintenant 7 — 3m + 1 ; Comme alors la période (3#, 1) contenant toutes les racines de Véqnalon X = 0, se décompose en trois autres (m, 1), (mn, g), (m, g*), nous chercherons généralement l’équation qui a pour racines p'—/f(m, 1), p—/[(m,g), p” —f\m;, g*). Et d'abord'il est visible qu'on a p'+p+p"=/f(5m, 1)=— 1; l'équation cherchée est donc de la forme

pp +Pp—Q—o, où il faudra déterminer les coefficiens P et Q d’après les valeurs développées 2 = pp" pp" + pp; Q=ppp".

Comme on a p =(x )+(g°)+(g°) + etc, le produit pp" est la somme de » quantités de la forme /(m , «), dans lesquelles & a les valeurs successives 1 +g, g°+g, 8 +g, etc. Or en général la quantité STE ne peut pas être un multiple de 7; car . la propriété de la racine primi-

tive 2, on doit avoir gs" = — 1, où g° Frot (n), pp étant 5m; on ne saurait donc avoir Ho 1. Donc la valeur de pp se ra à la forme

pp =Ap" "+ Bp°+ Cp,

dans laquelle 4, 2, C, devront étre positifs, et tels qu’on ait (a! > D; UC; P , T

De cette valeur on déduit PP = CET Ap” — Bp” —+ Cp’ ; La PP = Ap"+ Bp' + Cp".

La somme de ces trois produits = (4+4-B + C) (p+p+p")=— Donc P=—1m.

(480) Pour avoir la valeur de pp'p", je mets celle de pp" sous la

forme pp=— C4 (420 +(B— 07; et multipliant de part et d’autre par p”, puis substituant les valeurs des produits pp", pp", jai ppp = Cp" + (4— 0) (Bp'+ Cp + A4p") +H(B—C) (Cp + 4p"+ Bp").

Le premier membre étant une fonction invariable de p’, p”, p", le second