LAMPE RUES SN
(484) Indépendamment de la théorie précédente qui ne laisse rien à
ES CEST de en RS use | tt mr me. 2
CINQUIÈME PARTIE. 475 désirer sur la résolution de l'équation x"— 1 —0, M. Gauss a indiqué une méthode particulière, au moyen de laquelle les équations auxiliaires données par cette théorie, peuvent se réduire à des équations à deux termes de même degré. Comme cette réduction est assez remarquable, et qu’elle offre peut-être le seul exemple un peu général qu’on puisse produire de la résolution des équations au-delà du quatrième degré, nous allons l'appliquer à l'équation x'°— 1 — 0.
Dans ce cas, l'équation X — 0 pourrait se décomposer en deux du cinquième degré, dela forme Y+Zy(—11)=0, F—Zy(—11)=0;
mais cette décomposition n'ayant aucun avantage , il est plus simple de . 1 » Q e1 faire x + ZE Z) Ua —x5 +10, et alors l’équation du dixième degré À =0, se réduit à celle du cinquième, 5 LE PS Re LE ÈS 3 +3 4z z + 3 +L1—=o. (a)
Ce procédé, comme nous l'avons déjà remarqué, revient à décomposer la période (10, 1) en cinq autres, lesquelles sont (2, 1), (2, 2), (2, 4), (2, 8) et (2, 16) ou (2, 5); car l’équation indéterminée x°—1— ch (11) a pour l’une de ses racines primitives 2, et-ainsi faisant g — 2, on a la suite des périodes précédentes. Soit maintenant
GG D 7 RTS BR) REETE c=/f(2;4 =rt+r, d= f(2,8) = +, Cfa 0) rime
De ces équations on tire soit immédiatement, soit par les principes précédens , &@—b+2,ab—a+d,ac—d+e. Or on peut regarder les quantités a, b, c, d,e, comme formant une suite rentrante sur ellemême , dans laquelle a est précédé de e ; on peut dont, en avancant successivement chaque lettre d’un rang, former, au moyen des trois équations précédentes, les quinze qui suivent :
&—b+o, ab = a + d, a—=d+e, b — c + 2, bb =b+e, bd—e+a, “—d+a, cd=c+a, ce = a + b, ®—=e+2, dæ—=d+b, da =b+e, e == à + 2, ea—=œ e+c, eb = c + d.
Par ces équations il est évident qu'on pourra réduire toute fonction
GROS DROLE eva SE PES
rationnelle’et entière des quantités &, b, c, d, e, à la forme linéaire A + Ba + Cb + De+ Ed + Fe, où Fon pourra même faire disparaitre un terme à volonté, au moyen de l'équation 0 = 1 + a+ b + e
PR
(485) Nous allons faire voir maintenant que l'équation (a), quoique pourvue de tous ses termes , peut être résolue à l’aide d’une équation à deux termes & — Ÿ, dans laquelle 77 est une quantité connue de la MEN y— 1.
Soit RÀ l’une des racines imaginaires de l'équation 5 — r —0, les cinq racines de cette équation seront 1, À, R°, R, R', et leur somme étant zéro , On aura
O— 1 + À + R° — RS —E R& Les racines de la même équation seraient également r, À, R', R5, Rÿ;
ét en général, 1, R°, R°", R5r, Rf", pourvu que 72 ne soit pas divisible par z, de sorte RE ’on aura aussi
0 nb Red ne, An Ré Soit maintenant - T= a + OR + cR + 4R + eR#,
et imaginons qu'on élève ce polynome à la cinquième puissance ; puisqu'on a A — 1, cette puissance pourra se réduire à la forme :
