PREMIÈRE PARTIE

xs... 6, à, qui ne sont autre chose que les termes de la fraction continue proposée, pris dans l’ordre inverse.

Donc s’il arrive que ces quotiens forment une suite symmétrique , c'està-dire une suite telle que &, 6, 7...7, 6, æ, dont les extrêmes soient égaux, aïhsi que deux termes quelconques également éloignés des ex= itrêmes, ilest clair qu'on aura re. , Ou g°—p. Réciproquement si on a g—p, on peut en conclure que la suite des quotiens est symmétrique.

On verra des exemples deces suites dans le développement desracines quarrées des nombres en fraction continue.

once em

$ IT. Résolution des Équations indéterminées du premier degré.

(x2) US donnés deux nombres a et à premiers entre eux, on pourra toujours résoudre en nombres entiers l'équation

. 4x — by =.

Pour cela, il faut réduire > en fraction cohtmue, et calculer la suite des fractions convergentes Vers + - Soit ‘ celle qui pr écède + 5» On aura l'équation ab°—ab="Æ# 1. Si le Un. a lieu, on aura M ps x=4, y—4, ou plus généralement, en prenant une indéterminée 3, x = b° + bz J=S-+ ar.

Sil'on a ab°—xb=——1, alors on peut fairex =, y=—a, ou plus généralement x = — 0° + bz J=—0"H+a3,

3 étant une indéterminée qu'on peut prendre à volonté, positive ou négative.

En général, si on a à résoudre l'équation ax — by =c, a et b étant toujours premiers entre eux, on cherchera de même, pee les fractions continues , les nombres &° et % qui donnent GBiEs ab=Æ%r, ét de là RE |

= 03 be NIUE ete CRC:

Au moyen de l’indéterminée 3, il est facile de trouver une solution telle que x ne surpasse pas 14, et une autre telle que y ne surpasse pas E+a. En effet, si b°c surpasse 7, on peut prendre pour 3 l’entier le

plus proche de 2 , €t alors b°c—#5 sera plus petit que +2.

* On suppose que à et ® n’ont point de commun diviseur; car s'ils en avaient un, l'équation ax —by=— c ne pourrait avoir lieu, à moins que « lui-même ne füt divisible par ce commun diviseur, et dans ce cas, il faudrait le faire disparaître par la division.

Remarque. Sans connaître lesnombres 4 ‘et 4 qui peuvent être indéterminés , il suffit de savoir que l’un de ces nombres w est premier à un nombre donné 4, et on pourra toujours supposer qu'il existe déux nombres 7 et 3, tels que é—nu— A3; on pourra supposer en même temps que z n'excède pas +4. Cette propriété recevra par la suite un grand nombre d'applications.

(15) L’équation ax — by = c que nous venons de résoudre, satisfait à

. L aT — C . .

la question de trouver une valeur de x telle que —— soit un entier,

.. . giie . AT —C . .

condition que nous exprimerons ainsi ———e. Or on peut avoir si-

multanément plusieurs conditions de cette sorte à remplir; supposons qu’on demande une valeur de x telle que les troïs quantités

ax—c dx a'x—c" RDS ES DENT AIDE soient des.entiers. La première condition donnera une valeur de x dé la

forme x = m + bz : cette valeur étant substituée dans la seconde quantité,

f f (4 : ; : HS dbz + d'm—c .

1l faudra déterminer 3 de manière que Aer e. Ici peut se ma-

nifester un signe d’impossibilité : car si à et &’ ont un commun diviseur 8, il est clair que l'équation précédente ne’peut avoir lieu, à moins que le nombre déterminé 4’m— c’ ne soit divisible aussi par 8.

En général, la valeur de 3 qui satisfait à la condition prie (si

elle n’est pas impossible) sera de la forme z—=n-V'z", ou s—n+e ,

si Ÿ’ et à ont un commun diviseur 0. On aura donc en général xæ— m4 B'z, B' étant ou #4 ou le moindre nombre divisible à-la-fois par à et D". Cette valeur étant substituée dans la troisième quantité qui doit être un entier, on en déduira la valeur finale de x, qui sera de la forme x = M + Bz, B étant le moindre nombre divisible à-la-fois par b, L', D", et 3 étant une indéterminée. Ainsi on pourra toujours trouver une valeur de x moindre ou non plus grande que + B : et de cette première valeur on déduira toutes les autres, en lui ajoutant ou en en retranchant un multiple quelconque de Z.

Lorsque les nombres sur lesquels on opère ne sont pas bien grands, il.est aisé de satisfaire aux diverses conditions, sans avoir recours aux fractions continues. Cherchons, par exemple, un nombre x tel que les trois quantités

3x —10 . 112 + 8 167 —1 TRE VAR GsEs

soient des entiers. La dernière quantité contient une partie entière 3x,

Te 1 .

et un reste ——; soit ce reste —3 on aura x—53#+ 1. Cette valeur,

qui satisfait à la troisième condition, étant substituée dans la première,

153 —7 on aura DOS

. . Z —e, Ou en supprimant l'entier, sn À donc 2—7u, et

x — 35u + 1. Ilreste à substituer cette valeur dans la seconde quantité,

et on aura rx

—e. Supprimant l’entier contenu dans le premier

LT fut

membre, cette condition devient Ra RON —e. Muli-

pliant le premier membre par 3, et supprimant l’entier, on aura

que le moindre nombre qui satisfait à la question est 211.

—e; donc u—6+ 176, et x—211+-5.7.17t; d’où l’on voit

(14) Toute fraction £ dont le dénominateur est le produit de deux

nombres m et 7 premiers entre eux, peut se décomposer en deux autres fractions qui auront 7» et » pour dénominateurs. En effet, m et x étant premiers entre eux, on pourra toujours satisfaire

1 LA Q 3 A L4 C à l'équation mx ny = C, d'où résulte D —=° +X.

Chacune de ces fractions pourra se décomposer ultérieurement en deux autres, si son dénominateur estle produit de deux nombres pre-

à ee rer : NC . ; miers entre eux. En général donc, toute fraction = dont le dénomi-

nateur est le produit de plusieurs nombres premiers entre eux 7,7, P, eic., pourra toujours se décomposer en plusieurs autres dont les dénominateurs seront les facteurs isolés », , p, etc.; etle problème deviendra de plus en plus indéterminé, à mesure que le nombre des facteurs augmentera,

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